沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第7讲 二次函数解析式的确定

二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解
析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式，为二次函数的综合应用打好基础．
1、 一般式2y ax bx c =++（0a ≠）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ≠）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
二次函数解析式的确定
内容分析
知识结构
模块一：一般式y = ax 2
+ bx + c ( a ≠0 )
知识精讲
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x
y
O
【例1】 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像，那么a 的值为______．
【例2】 已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式．
【例3】 如图，二次函数图像过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（1-，0），点B 的坐标为
（4，0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB = OC ．
（1）求点C 的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数的最大值．
【例4】 如图，抛物线252y ax bx =++
与直线AB 交于点A （1-，0），B （4，5
2
），D 是抛物线A 、B 两点间部分上的一个动点（不与A 、B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD 、BD ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D 的横坐标为m ，ADB ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 取得
最大值时点C 的坐标．
例题解析
A
B
C
D
O
x
y
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1、 顶点式()2
y a x m k =++（0a ≠）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2
y a x m k =++（0a ≠）的形式，这叫做 二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数2
y ax bx c =++，都可以配方为：2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭的形式．
【例5】 顶点为（2-，5-）且过点（1，14-）的抛物线的解析式为____________．
【例6】 已知函数22y ax x c =++的图像的对称轴为直线x = 2，函数的最大值是3-，
则a =______，c =______．
【例7】 二次函数的图像顶点在y 轴上，图像有最低点（0，2），且经过点（2，3），则函
数的解析式为____________．
【例8】 顶点为（3-，6-）的抛物线2y ax bx c =++经过点（1-，4-），则下列结论错
误的是（ ）
A ．24b ac >
B ．26ax bx c ++≥-
C ．若点（2-，m ）、（5-，n ）在抛物线上，则m > n
模块二：顶点式y = a ( x + m )2
+ k ( a ≠0 )
知识精讲
例题解析
x y
A
B O
P D ．关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=-的两根为15x =-和21x =-
【例9】 已知二次函数2y x px q =++，顶点坐标为（2，9-）． （1）求p 、q 的值；
（2）这条抛物线与x 轴的两个交点A 、B ，设点M 在这条抛物线上，且24ABM S ∆=，求M 的坐标．
【例10】 二次函数2y x mx n =++的图像经过点P （3-，1），对称轴是经过点（1-，0）
且平行于y 轴的直线． （1）求二次函数解析式；
（2）如图，一次函数y kx b =+的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相 交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，:1:5PA PB =，求一次函数的解析式．
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1、 交点式()()12y a x x x x =--（0a ≠）
（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ≠），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两 个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函
数解析式； （3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为12
2
x x x +=
；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如
果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x
x +=；
（5）对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二 次方程的求根公式可得：2142b b ac x a -+-=、2242b b ac
x a
---=；
（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ≠），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）
时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
【例11】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是2-、2，且与y 轴的交点的纵坐标是3-，
求该抛物线的解析式．
【例12】 已知一抛物线的形状与217
22
y x =
+的形状相同，对称轴为x =2-，它与x 轴的两 交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．
模块三：交点式y = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) ( a ≠0 )
知识精讲
例题解析
【例13】 设二次函数()()112y a x x x x =--（0a ≠，12x x ≠）的图像与一次函数2y dx e =+
（0d ≠）的图像交于点（1x ，0）．若函数12y y y =+的图像与x 轴仅有一个交点，则（ ） A ．()12a x x d -= B ．()21a x x d -= C ．()2
12a x x d -=
D ．()2
12a x x d +=
【例14】 二次函数212y x kx =-++的图像与x 轴交点都位于（6，0）左侧，求k 的取值范
围．
【例15】 二次函数2y ax bx c =++在1x =-时，y 有最小值4-，它的图像与x 轴交点的横坐
标分别为1x 和2x ，且221210x x +=．求该二次函数的解析式．
【例16】 如图，抛物线经过A （2-，0）、B （12
-，0）、C （0，2）三点．
A B C O
M
x y
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA
∆的面积最大，求点D的坐标；（2）设M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足90
AMH
∠=︒，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
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1、 几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、 二次函数2y ax bx c =++的平移
（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：
向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2
y a x m b x m c =++++； 向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+． （2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：
向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++； 向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．
（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2
y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
向上（）或向下（）平移个单位
向上（
）或向下（
）平移
个单位
向左（
）或向右（）
平移
个单位
向左（
）或向右（
）
平移
个单位
模块四：二次函数的平移
知识精讲
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A B C
D
E x
y
【例17】 抛物线2
12
y x =
向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析 式是___________________．
【例18】 已知抛物线()2
y a x h =-向右平移3个单位后得到的抛物线是()2
21y x =+，求a 、
h 的值．
【例19】 如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得的新抛
物线的解析式是______________________．
【例20】 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度或向上平移1个单位长度，我们
把这种变换称为抛物线的简单变换．已知一条抛物线经过两次简单变换后得到的抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能是（ ） A ．21y x =-
B ．265y x x =++
C ．244y x x =++
D ．2817y x x =++
【例21】 如图，平行四边形ABCD 中，AB = 4，点D 的坐标为（0，8），以C 为顶点的抛
物线1y 经过x 轴上的点A 和点B ． （1）求抛物线1y 的解析式；
（2）将抛物线1y 向上平移，使它经过点D ，求所得抛物线2y 的解析式．
例题解析
1、 关于x 轴对称：
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x m k =-+-．
2、 关于y 轴对称：
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x m k =-+．
3、 关于原点对称：
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2
y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x m k =---．
4、 关于顶点对称：
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x m k =++关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x m k =-++．
5、 关于点（p ，q ）对称：
()2
y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()2
22y a x m p q k =---+-．
【例22】 抛物线2243y x x =-+绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式__________．
【例23】 以x 轴为对称轴，将抛物线225y x =-翻折后，再向左平移3个单位，所得的抛
模块五：二次函数的对称
知识精讲
例题解析
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物线对应的函数解析式为__________________．
【例24】 抛物线2245y x x =+-关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________________，关
于直线x = 3对称的抛物线的解析式为__________________，关于直线y = 3对称的抛物线的解析式为_____________________．
【例25】 已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线267y x x =-+关于点A （1，2）对称，
则a =______，b =______，c =______．
【例26】 如图，已知抛物线1C ：()2
25y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点
A 在点
B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求点P 的坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线1C 与抛物线2C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的 物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180°后得到抛物线4C ．抛 物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在F 的左边），当以点P 、N 、F
为顶点的三角形是直角三角形是，求点Q 的坐标．
y
M
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【习题1】 已知抛物线的顶点为M （1，4），图像与x 轴的两个交点的距离是6，则抛物线的
解析式为___________________．
【习题2】 二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，则点A （24b ac -，b a -）在第______象
限．
【习题3】 已知一次函数1
2
y x m =
+的图像经过点A （2-，3）
，并与x 轴相交于点B ，二次 函数22y ax bx =+-的图像经过点A 和点B ． （1）分别求这两个函数的解析式；
（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于 点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ // x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位？
【习题4】 已知抛物线()2143y m x x =-+-开口向下，与x 轴交于点A （1x ，0）和点
B （2x ，0），其中12x x <，若221210x x +=，则抛物线的解析式为___________________． 【习题5】
【习题6】 在直角坐标系中，把点A （1-，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点'A ，
经过A 、'A 的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为（1，m ），且m < 3，若ABP ∆是等腰三角 形，求点B 的坐标．
【习题7】 对于任意两个二次函数：21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++（120a a ≠），当
随堂检测
x
y
O
12a a =时，我们称这两个二次函数的图像为全等抛物线．现有ABM ∆，A （1-，0），
B （1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C
”（“
”中填写相应三个点的字
母）．已知M （0，1），ABM ∆≌ABN ∆，如图．请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线．
【习题8】 已知抛物线23344y mx m x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若
ABC ∆是等腰三角形，求抛物线的解析式．
16 / 18
O
x y
3
【作业1】 二次函数的图像的对称轴是1
2
x =
，在y 轴上的截距是3，且过点（2，7），则它 的解析式为_________________________．
【作业2】 抛物线()2
214y x =-+关于原点对称的抛物线的表达式为_____________．
【作业3】 若二次函数的图像与x 轴只有一个交点，对称轴是直线x = 3，与y 轴的交点是
（0，6），则二次函数解析式为____________________．
【作业4】 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，函数的解析式为___________．
【作业5】 已知抛物线()
22
1
312
y x m x m =-+-+-的顶点在y 轴的正半轴上，求抛物线的
表达式、顶点坐标、对称轴，并分析抛物线的上升、下降趋势．
课后作业
【作业6】 已知直线l 经过点（4，0），且与x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于8．如
果一个二次函数的图像经过直线l 与两条坐标轴的交点，以直线x = 3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式．
【作业7】 若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，求a 、b 的值．
【作业8】 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，
与y 轴相交于点B ，AB =P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴交于点D ．设点P 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长；
（3）当3
tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．
18 / 18
x
y
A
B
O
【作业9】 已知抛物线22
12m y x mx =-+与抛物线2223
4
y x mx m =+-在同一平面直角坐标系
中的位置如图所示．
（1）试判断哪条抛物线经过A 、B 两点，并说明理由；
（2）若A 、B 两点到原点的距离AO 、BO 的长满足112
3OB OA -=，求经过A 、B 两点的抛
物线解析式．
【作业10】 已知抛物线24y ax ax t =++与x 轴的一个交点为A （1-，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积 为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴距离的比为5 : 2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上且 它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使APE ∆的周 长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。