（完整版）行测数量关系的常用公式讲解

（完整版）⾏测数量关系的常⽤公式讲解
⾏测常⽤数学公式
⼯作效率＝⼯作量÷⼯作时间；⼯作时间＝⼯作量÷⼯作效率；总⼯作量＝各分⼯作量之和；设总⼯作量为1或最⼩公倍数
（1）⽅阵问题：
1.实⼼⽅阵：⽅阵总⼈数＝（最外层每边⼈数）2=（外圈⼈数÷4+1）2=N 2
最外层⼈数＝（最外层每边⼈数－1）×4
2.空⼼⽅阵：⽅阵总⼈数＝（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）
2
＝（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。

★⽆论是⽅阵还是长⽅阵：相邻两圈的⼈数都满⾜：外圈⽐内圈多8⼈。

3.N 边⾏每边有a ⼈，则⼀共有N(a-1)⼈。

4.实⼼长⽅阵：总⼈数=M ×N 外圈⼈数=2M+2N-4
5.⽅阵：总⼈数=N 2
N 排N 列外圈⼈数=4N-4
例：有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？解：（10－3）×3×4＝84（⼈） (2)排队型：假设队伍有N ⼈，A 排在第M 位；则其前⾯有（M-1）⼈，后⾯有（N-M ）⼈ (3)爬楼型：从地⾯爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。

线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔；总长=棵数×间隔
（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。

（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M ⼑，则被剪成了（2N
×M ＋1）段
⑴路程＝速度×时间；平均速度＝总路程÷总时间平均速度型：平均速度＝
2
12
12v v v v +
（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（⼤速度+⼩速度）×相遇时间追及问题：追击距离=（⼤速度—⼩速度）×追及时间背离问题：背离距离=（⼤速度+⼩速度）×背离时间（3）流⽔⾏船型：
顺⽔速度＝船速＋⽔速；逆⽔速度＝船速－⽔速。

顺流⾏程=顺流速度×顺流时间=（船速+⽔速）×顺流时间逆流⾏程=逆流速度×逆流时间=（船速—⽔速）×逆流时间（4）⽕车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所⽤的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间（5）环形运动型：
反向运动：环形周长=（⼤速度+⼩速度）×相遇时间同向运动：环形周长=（⼤速度—⼩速度）×相遇时间
（6）扶梯上下型：扶梯总长=⼈⾛的阶数×（1±
⼈
u u ），（顺⾏⽤加、逆⾏⽤减）顺⾏：速度之和×时间=扶梯总长逆⾏：速度之差×时间=扶梯总长
（7）队伍⾏进型：
对头→队尾：队伍长度=（u ⼈
+u 队）×时间队尾→对头：队伍长度=（u ⼈－
u 队）×时间
（8）典型⾏程模型：
等距离平均速度：2
12
12u u u u u +=
（U 1、U 2分别代表往、返速度）
等发车前后过车：核⼼公式：212
12t t t t T +=，1
212t t t t u u -+=
⼈车等间距同向反向：
2
12
1u u u u t t -+=
反同不间歇多次相遇：单岸型：2
32
1s s s +=
两岸型：213s s s -= （s 表⽰两岸距离）⽆动⼒顺⽔漂流：漂流所需时间=顺
逆顺
逆t t t t -2（其中t 顺和t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）
五、溶液问题⑴溶液=溶质+溶剂浓度=溶质÷溶液溶质=溶液×浓度溶液=溶质÷浓度⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c%，则
⑶混合稀释型
等溶质增减溶质核⼼公式：3
122r r r r r += （其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）六、利润问题
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；利润率＝
成本
利润＝成本销售价－成本＝成本销售价
－1；
（2）销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝
＋利润率
销售价
1。

（3）利息＝本⾦×利率×时期；本⾦＝本利和÷（1+利率×时期）。

本利和＝本⾦＋利息＝本⾦×（1+利率×时期）=期限
利率）（本⾦+?
1；
⽉利率=年利率÷12；⽉利率×12=年利率。

例：某⼈存款2400元，存期3年，⽉利率为10．2‰（即⽉利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”
∴2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）
；①⼏年后年龄＝⼤⼩年龄差÷倍数差－⼩年龄②⼏年前年龄＝⼩年龄－⼤⼩年龄差÷倍数差
⑴两集合标准型：满⾜条件I 的个数+满⾜条件II 的个数—两者都满⾜的个数=总个数—两者都不满⾜的个数⑵三集合标准型：
C B A Y Y =C B A C A C B B A C B A I I I I I +---++
⑶三集和图标标数型：
⑷三集和整体重复型：假设满⾜三个条件的元素分别为ABC ，⽽⾄少满⾜三个条件之⼀的元素的总量为W 。

其中：满⾜⼀个条件的元素数量为x ，满⾜两个条件的元素数量为y ，满⾜三个条件的元素数量为z ，可以得以下等式：①W=x+y+z
②A+B+C=x+2y+3z
—x)T
原有草量＝（⽜数－每天长草量）×天数，其中：⼀般设每天长草量为X 注意：如果草场⾯积有区别，如“M 头⽜吃W 亩草时”，N ⽤W
M
代⼊，此时N 代表单位⾯积上的⽜数。

如果有⼀个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，⼀个周期前应该是当时的
1。

调和平均数公式：2
12
12a a a a a +=
等价钱平均价格核⼼公式：2
12
12p p p p p +=
（P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格）
等溶质增减溶质核⼼公式：3
13
122r r r r r += （其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）
核⼼公式： 2
12
1a a a a a +=
核⼼⼝诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。

闰年（被4整除）的2⽉有29⽇，平年（不能被4整除）的2⽉有28⽇，记⼝诀：⼀年就是1，润⽇再加1；⼀⽉就是2，多少再补算。

★星期推断：⼀年加1天；闰年再加1天。

注意：星期每7天⼀循环；
（1）⼀元⼆次⽅程求根公式：ax 2
+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)
其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=a
ac b b 242---（b 2
-4ac ≥0）
根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=a c
（2）ab b a 2≥+ ab b a ≥+2)2( ab b a 222≥+ abc c b a ≥++3
)3
( （3）abc c b a 32
2
2
≥++ abc c b a 3
3
≥++
推⼴：n n n x x x n x x x x ......21321≥++++
（4）⼀阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最⼤值或最⼩值时，其导数为零。

（5）两项分母列项公式：)(a m m b +=(m 1—a m +1)×a
b
（6）三项分母裂项公式：)2)((a m a m m b ++=[)(1a m m +—)2)((1a m a m ++]×a
b
2
（1）排列公式：P m n
＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1），（m≤n）。

5673
7??=A （2）组合公式：C m n ＝P m n ÷P m m ＝（规定0
n C ＝1）。

1
233
453
5=c
（3）错位排列（装错信封）问题：D 1＝0，D 2＝1，D 3＝2，D 4＝9，D 5＝44，D 6＝265，
（4）N ⼈排成⼀圈有N
N A /N 种； N 枚珍珠串成⼀串有N
N A /2种。

（1）s n ＝2
)(1n a a n +?＝na 1+21
n(n-1)d ；（2）a n ＝a 1＋（n －1）d ；（3）项数n ＝d a a n 1-＋1；
（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b ；（5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ；
（6）前n 个奇数：1，3，5，7，9，…（2n —1）之和为n 2 （其中：n 为项数，a 1为⾸项，a n 为末项，d 为公n 项的和）
（1）a n ＝a 1q n －1
；（2）s n ＝q
q a n -11 ·1）－（（q ≠1）（3）若a,G,b 成等⽐数列，则：G 2
＝ab ；
（4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ；（5）a m -a n =(m-n)d （6）
n
m
a a ＝q (m-n)（其中：n 为项数，a 1为⾸项，a n 为末项，q 为公⽐，s n 为等⽐数列前n 项的和）
4.2
4.3
4.7
★1既不是质数也不是合数
1.200以内质数 2 3 5 7 101 103 109 11 13 17 19 23 29 113 127 131 137
31 37 41 43 47 53 59 139 149 151 157 163 167 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 199
3.常⽤“⾮唯⼀”变换
①数字0的变换:)0(00≠=N N
②数字1的变换：)0()
1(1120
≠-===a a N
N
③特殊数字变换：2
4
4216== 2
3
6
84264=== 2
4
9381== 2
8
1642256=== 3
9
82512== 6
2
3
3279729=== 2510
3242
1024===
④个位幂次数字：1
2424== 1
3
828== 1
2
939==
1.勾股定理：a
2.⾯积公式：
正⽅形＝2
a 长⽅形＝
b a ? 三⾓形＝
c ab ah sin 2121= 梯形＝h b a )(21
+ 圆形＝πR 2 平⾏四边形＝ah 扇形＝0 360
n πR 2
3.表⾯积：
正⽅体＝62
a 长⽅体＝)(2ac bc a
b ++? 圆柱体＝2πr 2
＋2πrh 球的表⾯积＝4πR 2
4.体积公式
正⽅体＝3
a 长⽅体＝abc 圆柱体＝Sh ＝πr 2
h 圆锥＝
31πr 2
h 球＝33
4R π 5.若圆锥的底⾯半径为r ，母线长为l ，则它的侧⾯积：S 侧＝πr l ；
6.图形等⽐缩放型：
⼀个⼏何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则：
1.所有对应⾓度不发⽣变化；
2.所有对应长度变为原来的m 倍；
3.所有对应⾯积变为原来的m 2倍；
4.所有对应体积变为原来的m 3
倍。

7.⼏何最值型：
1.平⾯图形中，若周长⼀定，越接近与圆，⾯积越⼤。

2.平⾯图形中，若⾯积⼀定，越接近于圆，周长越⼩。

3.⽴体图形中，若表⾯积⼀定，越接近于球，体积越⼤。

4.⽴体图形中，若体积⼀定，越接近于球，表⾯积越⼤。

数量关系归纳分析
⼀、等差数列：两项之差、商成等差数列 1. 60， 30， 20， 15， 12，（） 2. 23， 423， 823，（） 3. 1， 10， 31， 70，123 （）
⼆、“两项之和（差）、积（商）等于第三项”型基本类型：⑴两项之和（差）、积（商）＝第3项；⑵两项之和（差）、积（商）±某数＝第3项。

4. -1，1，（），1，1，2 5.
，
，（），
，0， 6. 1944， 108， 18， 6，（） 7. 2，4，2，（），
，
三、平⽅数、⽴⽅数
1) 平⽅数列。

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121。

2) ⽴⽅数列。

1，8，27，64，125，216，343。

8. 1， 2， 3， 7， 46，（） 9. -1， 0， -1，（）， -2， -5，-33 四、升、降幂型
10. 24， 72， 216， 648，（） A. 1296 B.1944 C. 2552 D. 3240 11.
，
， 1， 2，（）， 24 A. 3 B.5 C. 7 D. 10
⼋、跳跃变化数列及其变式
13. 9， 15， 22， 28， 33， 39，55，（） A. 60 B.61 C. 66 D. 58 九、分数数列（分⼦、分母各成不相关的数列或分⼦、分母交叉看） 16. ，，，
，（） A.
B. C. 1 D. 17.
，
，
，
，（），
A.
B.
C.
D.
⼗、阶乘数列
18. 1， 2， 6， 24，（）， 720 A. 109 B. 120 C. 125 D. 169 ⼗⼀、余数数列 19. 15， 18， 54，（）， 210 A. 106 B. 107
C. 123
D. 112
技巧⽅法：
(⼀)观察数列的变化趋势。

1、单调上升或下降的数列。

“先减加，再除乘，平⽅⽴⽅增减项”
2、波动性的数列。

“隔项相关”
3、先升后降的数列。

“底数上升，指数下降的幂数列”“最后⼀项为分⼦为1的分数，倒数第⼆项为1”
1、1^6,2^5,3^4,4^3,5^2,6^1,7^0,8^-1,即 1，32，81，64，25，6，1，1/8；
整除判定基本法则
1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2(或5)整除的数（余数），末⼀位数字能被2(或5、0)整除（余数）;
能被4(或25)整除的数（余数），末两位数字能被4(或 25)整除（余数）;
能被8(或125)整除的数（余数），末三位数字能被8(或125)整除（余数）;
2.能被3、9整除的数的数字特性
能被3(或9)整除的数（余数），各位数字和能被3(或9)整除（余数）。

3.能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

4.能被6：能被2和3整除；能被10：末位是0；能被12：能被3和4整除
数量关系公式
1.两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2 两岸型S=3S1-S2
例题：两艘渡轮在同⼀时刻垂直驶离 H 河的甲、⼄两岸相向⽽⾏，⼀艘从甲岸驶向⼄岸，另⼀艘从⼄岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 ⽶处相遇。

到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。

这两艘船在距离⼄岸 400 ⽶处⼜重新相遇。

问：该河的宽度是多少？
A. 1120 ⽶
B. 1280 ⽶
C. 1520 ⽶
D. 1760 ⽶
典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 ⽶处相遇、距离⼄岸 400 ⽶处⼜重新相遇）代⼊公式3*720-
400=1760选D 如果第⼀次相遇距离甲岸X⽶，第⼆次相遇距离甲岸Y⽶，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是⼀边岸还是两边岸
2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺）
例题：AB两城由⼀条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需⾏3天时间，⽽从B城到A城需⾏4天，从A城放⼀个⽆动⼒的⽊筏，它漂到B城需多少天？
A、3天
B、21天
C、24天
D、⽊筏⽆法⾃⼰漂到B城
解：公式代⼊直接求得24
3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ）车速/⼈速=(t1+t2)/ (t2-t1)
例题：⼩红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运⾏，没隔6分钟就有辆公共汽车从后⾯超过她，每隔10分钟就遇到迎⾯开来的⼀辆公共汽车，公共汽车的速度是⼩红骑车速度的（）倍？
A. 3
B.4
C. 5
D.6
解：车速/⼈速=（10+6）/（10-6）=4 选B
4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2)
例题：⼀辆汽车从A地到B地的速度为每⼩时30千⽶，返回时速度为每⼩时20千⽶，则它的平均速度为多少千⽶/⼩时？（）
A.24
B.24.5
C.25
D.25.5
解：代⼊公式得2*30*20/(30+20)=24选A
5.电梯问题：能看到级数=（⼈速+电梯速度）*顺⾏运动所需时间（顺）
能看到级数=（⼈速-电梯速度）*逆⾏运动所需时间（逆）
6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝
例题：商店购进甲、⼄、丙三种不同的糖，所有费⽤相等，已知甲、⼄、丙三种糖
每千克费⽤分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在⼀起成为什锦
糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？
A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元
7.⼗字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)
例：某班男⽣⽐⼥⽣⼈数多80%，⼀次考试后，全班平均成级为75 分，⽽⼥⽣的平均分⽐男⽣的平均分⾼20% ，则此班⼥⽣的平均分是：
析：男⽣平均分X，⼥⽣1.2X
1.2X 75-X 1
75 =
X 1.2X-75 1.8
得X=70 ⼥⽣为84
9.⼀根绳连续对折N次，从中剪M⼑，则被剪成（2的N次⽅*M+1）段
10.⽅阵问题：⽅阵⼈数=（最外层⼈数/4+1）的2次⽅ N排N列最外层有4N-4⼈
例：某校的学⽣刚好排成⼀个⽅阵，最外层的⼈数是96⼈，问这个学校共有学⽣？
析：最外层每边的⼈数是96/4+1＝25，则共有学⽣25*25=625
11.过河问题：M个⼈过河，船能载N个⼈。

需要A个⼈划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次
例题(⼴东05)有37名红军战⼠渡河，现在只有⼀条⼩船，每次只能载5⼈，需要⼏次才能渡完？（）
A.7
B. 8
C.9
D.10 解：（37-1）/（5-1）=9
15.植树问题：线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1
例题：⼀块三⾓地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M，树与树之间距离为6M，三个⾓上必须栽⼀棵树，共需多少树？
A 93
B 95
C 96
D 99
12.星期⽇期问题：闰年（被4整除）的2⽉有29⽇，平年（不能被4整除）的2⽉有28
⽇，记⼝诀：⼀年就是1，润⽇再加1；⼀⽉就是2，多少再补算
例：2002年 9⽉1号是星期⽇2008年9⽉1号是星期⼏？
因为从2002到2008⼀共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期⽇的基础上加8，即加1，第⼆天。

例：2004年2⽉28⽇是星期六,那么2008年2⽉28⽇是星期⼏？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。

（08年2 ⽉29⽇没到）
13.复利计算公式：本息=本⾦*｛（1+利率）的N次⽅｝，N为相差年数
例题：某⼈将10万远存⼊银⾏，银⾏利息2%/年，2年后他从银⾏取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本⾦合计约为多少万元？（）
A.10.32
B.10.44
C.10.50 D10.61
两年利息为（1+2%）的平⽅*10-10=0.404 税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本⾦合计约为10.32万元
14.⽜吃草问题：草场原有草量=（⽜数-每天长草量）*天数
例题：有⼀⽔池，池底有泉⽔不断涌出，要想把⽔池的⽔抽⼲，10台抽⽔机需抽8⼩时，8台抽⽔机需抽12
⼩时，如果⽤6台抽⽔机，那么需抽多少⼩时？
A、16
B、20
C、24
D、28
解：（10-X）*8=（8-X）*12 求得X=4 （10-4）*8=（6-4）*Y 求得答案Y=24 公式熟练以后可以不设⽅程直接求出来
16：⽐赛场次问题：淘汰赛仅需决冠亚军⽐赛场次=N-1 淘汰赛需决前四名场次=N
单循环赛场次为组合N⼈中取2 双循环赛场次为排列N⼈中排2
⼆接近的整数为末次传给⾃⼰的次数
例题：四⼈进⾏篮球传接球练习，要求每⼈接球后再传给别⼈。

开始由甲发球，并作为第⼀次传球，若第五次传球后，球⼜回到甲⼿中，则共有传球⽅式（）。

A. 60种
B. 65种
C. 70种
D. 75种
公式解题： (4-1)的5次⽅ / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别⼈次数，第⼆接近的是60为最后传给⾃⼰的次数。