2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价57二项式定理含解析新人教A版202105142115

课时质量评价(五十七)
(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练
1．在⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x n
的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为1∶64，则展开式中
常数项为( )
A ．240
B ．－240
C ．160
D ．－160
D 解析：在⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x n
的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为1∶64.
令x ＝1，得各项系数之和为1，二项式系数之和为
2n ，所以
12n ＝
1
64，得n ＝6.
故展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k
＝(－1)k ·26－k ·C k 6
x 6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3，可得展开式中常数项为－23C 36
＝－160. 2．若等式1＋x ＋x 2＋x 3＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋a 3(1－x )3对一切x ∈R 都成立，其中a 0，a 1，a 2，a 3为常数，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝( )
A ．2
B ．1
C ．4
D ．－1
B 解析：令x ＝0，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝1.
3．(2020·某某联考)若(2x 2－n )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 3
的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x
项的系数为( )
A ．－66
B ．－18
C ．18
D ．66
D 解析：令x ＝1，可得(2－n )(1－2)3＝5，所以n ＝7.
又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 3的通项公式为T k ＋1＝C k 3(－2)k x
3－2k ，在(2x 2－7)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 3
的展开式中，x 的系数为2×C 23×(－2)2－7×C 13×(－2)＝66.故选D ．
4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )
A ．63
B ．64
C ．31
D ．32
A 解析：逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n
＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 06＝64－1＝63.
5．(2020·某某一中高三三模)已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋1x －2(x －1)5＝a 0x －1＋a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋a 4x 3＋
a 5x 4＋a 6x 5＋a 7x 6，则a 4＝( )
A ．21
B ．42
C ．－35
D ．－210
C 解析：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －2(x －1)5＝(x －1)7
x ，a 4即为(x －1)7展开式中x 4的系数－C 37
＝－35， 所以a 4＝－35.故选C ．
6．(2020·某某预测冲刺)在(1＋x )8(1＋y )5的展开式中，记x 3y 2的系数为m ，x 5y 3的系数为n ，则m ＋n ＝( )
A ．1 260
B ．1 120
C ．840
D ．630
B 解析：二项式(1＋x )8展开式的通项为T r ＋1＝
C r 8x r (其中r ＝0,1，…，8)， 二项式(1＋y )5展开式的通项为T R ＋1＝C R 5y R (其中R ＝0,1，…，5)．
令r ＝3，R ＝2，可得C 58x 3C 25y 2＝C 38C 25x 3y 2，即m ＝C 38C 25； 令r ＝5，R ＝3，可得C 58x 5C 35y 3＝C 58C 35x 5y 3，即n ＝C 58C 35.
所以m ＋n ＝560＋560＝1 120.故选B ．
7．(2020·东城区高三一模)若二项式⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x n
的展开式共有7项，则n ＝________；常数
项为________．
6 －160解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式共有7项，所以n ＝6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6
展开式的
通项公式为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k
＝(－1)k ·26－k C k 6
x 6－2k . 令6－2k ＝0，解得k ＝3，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 6
的展开式的常数项为T 4＝－23C 36＝－160.
8．(x ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫ax －1x 6 (a >0)的二项展开式中的常数项是60，
则展开式中各项系数之和为
________．
2解析：(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax －1x 6＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax －1x 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax －1x 6
.
而⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫ax －
1x 6
的通项公式为T k ＋1＝C k 6(ax )6－k ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫
－1x k
＝(－1)k a 6－k ·C k 6x 6－3
2k . 令6－3
2
k ＝0，得k ＝4，
所以常数项为(－1)4a 2C 46＝60，所以a ＝2.
令x ＝1，得(1＋1)(2－1)6＝2，所以展开式中各项系数之和为2.
9．(2020·某某第一中学高三二模)若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则
a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.
80 211解析：因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80. 令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243； 令x ＝2，得a 0＝25＝32，
故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.
10．(2020·某某中学高三一模)已知多项式(x ＋2)m ·(x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m
＋n 满足
a 0＝4，a 1＝16，则m ＋n ＝________，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝________.
5 72解析：因为多项式(x ＋2)m ·(x ＋1)n ＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m ＋n 满足a 0＝4，
a 1＝16，
所以令x ＝0，得2m ×1n ＝a 0＝4，则m ＝2， 所以(x ＋2)2(x ＋1)n ＝(x 2＋4x ＋4)(x ＋1)n ，
所以该多项式的一次项系数为4C n n 1n ＋4C n －1n
1n －1＝16，
所以C n －1n
＝3， 所以n ＝3， 所以m ＋n ＝5.
令x ＝1，得(1＋2)2×(1＋1)3＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝72.
B 组 新高考培优练
11．(2020·某某高三三模)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12x 6
(x ＋3)的展开式中，常数项为( )
A ．－152
B ．152
C ．－52
D ．52
A 解析：原式＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12x 6
①.
而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6的通项公式为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12k C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝7
2∉Z ，故①式中的前一项
不会出常数项；当6－2k ＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项的常数项乘3即为所求，
此时原式常数项为3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－123C 36＝－15
2.故选A ．
12．(多选题)(2020·聊城一中高三模拟)对于二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋x 3n
(n ∈N *)，以下判断正确的
有( )
A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项
B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项
C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项
D ．存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项
AD 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x n －k
(x 3)k ＝C k n x
4k －n . 不妨令n ＝4，则k ＝1时，展开式中有常数项，故A 正确，B 错误； 令n ＝3，则k ＝1时，展开式中有x 的一次项，故C 错误，D 正确．
故选AD ．
13．(2020·某某第二中学高三冲刺)若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( )
A ．405
B ．810
C ．243
D ．64
B 解析：(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1. 令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n . 又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243， 令x ＝1，可得3n ＝243， 解得n ＝5.
所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. 故选B ．
14．(2020·某某一模)若⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 2n
的展开式中各项系数的和为1 024，则常数项为
________．
405解析：令x ＝1，得4n ＝1 024，解得n ＝5，所以该二项展开式的通项公式为T k ＋1
＝C k 5·(3
x )5－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 2k
＝C k 5·35－k ·x 5－k
2·x －2k ＝C k 5·35－k ·x 52－5
2k .令52－52k ＝0，得k ＝1，所以常数
项为C 15
×34＝405. 15．(2020·某某某某高三二模)设f (x ，n )＝(1＋x )n ，n ∈N *. (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；
(2)n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n
4－1. 解：(1)f (x,6)＝(1＋x )6，其通项公式为T k ＋1＝C k 6x k ，
故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.
(2)C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝1
4
(C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n
4n －2＋…＋
C n －1n 41＋C n n
)＝14(4＋1)n ＝5n
4.。