(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
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似。
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
判别式在交点问题中应用
判别式与交点个数关系
通过计算判别式的值，可以判断反比例函数与直线交点的个 数。当判别式大于0时，有两个交点；当判别式等于0时，有 一个交点；当判别式小于0时，无交点。
题目三
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k > 0$) 的图像上有一点 $P$，过点 $P$ 作 $PA perp x$ 轴于点 $A$，$PB perp y$ 轴于 点 $B$。若矩形 $PAOB$ 的面积 为 8，求该反比例函数的解析式 。
XXX
THANKS
感谢观看
REPORTING
题目一
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = ax + b$ 的图像 交于点 $A(1, 4)$ 和 $B(3, m)$， 求这两个函数的解析式。
题目二
已知反比例函数 $y = frac{2}{x}$ 的图像上有两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < x_2 < 0$，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系。
判别式在求解不等式中的应用
利用判别式可以求解与反比例函数和直线相关的不等式问题 ，例如求解不等式组等。
典型例题解析
例题1
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$ 和直线$y = ax + b$相交于点 $A(1,2)$和$B(-3,-1)$，求 $k,a,b$的值。
例题2
已知反比例函数$y = frac{3}{x}$ 和直线$y = kx + 2$没有交点，
易错点二
混淆反比例函数图像与正比例函数图像，导致判 断失误。
避免策略
正确理解反比例函数和正比例函数的定义及图像特 征，通过多做练习题加以区分和巩固。
易错点三
在应用反比例函数性质时，忽视函数的定义域， 导致结论错误。
避免策略
在解题过程中，始终关注函数的定义域，确保结论在定 义域内有效。
拓展延伸：挑战更高难度题目
根据反比例函数的性质可知， 点P的坐标乘积为$k$，而矩形 $PAOB$的面积等于$|k|$，因 此可以求出$k$的值。注意考 虑$k$的正负两种情况。
XXX
PART 05
反比例函数在现实生活中 的应用举例
REPORTING
工程技术和物理学中应用场景介绍
电阻、电导与电流的关系
胡克定律
在电子工程中，电阻与电流成反比， 当电阻增大时，电流减小。这种反比 关系可以用反比例函数来描述。
解析
已知反比例函数 $y=frac{2}{x}$，求不等式 $y>1$的解集。
首先确定反比例函数 $y=frac{2}{x}$的图像位于 第一、三象限，然后根据不 等式的性质，将不等式 $y>1$转化为 $frac{2}{x}>1$，即$x<2$ 且$x neq 0$。因此，不等 式的解集为$x in (-infty, 0) cup (0, 2)$。
REPORTING
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为
反比例函数。
反比例函数图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象 限；当 $k < 0$ 时，图像位于第 二、四象限。
XXX
PART 04
反比例函数在几何图形中 应用
REPORTING
相似三角形判定定理回顾
相似三角形的定义：两 个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个
三角形相似。
01
两角对应相等，则两个 三角形相似。
03
三边对应成比例，则两 个三角形相似。
05
02 相似三角形的判定定理
两边对应成比例且夹角 相等，则两个三角形相
XXX
(完整版)初中数学反
比例函数知识点及经
典例
汇报人：XXX
2024-01-21
REPORTING
目录
• 反比例函数基本概念与性质 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数与不等式关系探讨 • 反比例函数在几何图形中应用 • 反比例函数在现实生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
XXX
PART 01
图像特征与性质
01
02
图像特征：反比例函数 的图像是由两支分别位 于第一、三象限和第二 、四象限的双曲线组成 。这两支曲线关于原点 对称，且无限接近于坐 标轴但不与之相交。
性质总结
03
04
05
反比例函数的图像关于 原点对称。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大（或减小） ，$y$ 值逐渐减小（或 增大），但永远不会等 于零。
反比例函数的图像永远 不会与坐标轴相交。
增减性与对称性
增减性
在第一、三象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小；在第二、四象限内，随 着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。因此，反比例函数在各自象限内具有单调性。
对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在函数图像上，那么点 $(x, -y)$ 也在图像上。这一性质反映了反比例函数的对称性。
反比例函数基本概念与性 质
REPORTING
定义及表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
表达式解析
在反比例函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。当 $k > 0$ 时，函数图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图像位于第二、四象 限。
利用反比例函数解一元一次不等式的步骤
首先确定反比例函数的图像所在象限，然后根据不等式的性质，将不等式转化为关于反比 例函数的形式，最后利用反比例函数的图像和性质求解不等式。
注意事项
在利用反比例函数解一元一次不等式时，需要注意反比例函数的定义域和值域，以及不等 式的性质。
经典例题深入剖析
例题1
解析
例题2
首先根据平移性质得出对应边 和对应角，然后根据相似三角 形的判定定理证明△ABC和 △DEG相似，最后根据相似三 角形的性质求出AG的长度。
已知点P是反比例函数 $y=frac{k}{x}$的图像上一点 ，过点P作$PA⊥x$轴于点A， $PB⊥y$轴于点B，若矩形 $PAOB$的面积为3，则$k$的 值为____。
实践活动设计
结合学生的生活实际，设计一些综合性实践活动，如调查 市场供需情况、分析投资风险等，让学生在实际操作中感 受和理解反比例关系的应用。
数学建模挑战
鼓励学生参与数学建模挑战，选择涉及反比例关系的实际 问题进行建模和求解，提高学生的数学应用能力和问题解 决能力。
XXX
PART 06
总结回顾与拓展延伸
投资回报率
在金融学中，投资回报率与投资风险 成反比。风险越高的投资，其回报率 往往越低；而风险较低的投资则可能 带来相对稳定的回报。这种关系也可 以用反比例函数来描述。
跨学科综合实践活动设计建议
跨学科案例分析
组织学生分析不同学科领域的案例，如物理学中的牛顿第 二定律、经济学中的供需关系等，引导他们发现其中的反 比例关系，并尝试用数学模型进行描述。
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内具有单调 性，当 $k > 0$ 时，在每个象限内 单调递减；当 $k < 0$ 时，在每个 象限内单调递增。
易错难点剖析及避免策略分享
易错点一
忽视反比例函数定义中 $k neq 0$ 的条件， 导致解题错误。
避免策略
在解题前务必检查 $k$ 的值，确保 $k neq 0$ 。
已知反比例函数 $y=frac{k}{x}$（$k neq 0$ ）的图像经过点$(2, -3)$， 求不等式$y<-2$的解集。
首先根据已知条件求出反比 例函数的解析式，即$3=frac{k}{2}$，解得$k=6$，所以反比例函数的解析 式为$y=-frac{6}{x}$。然后 确定反比例函数的图像位于 第二、四象限。接着根据不 等式的性质，将不等式$y<2$转化为$-frac{6}{x}<-2$ ，即$x>3$。因此，不等式 的解集为$x in (3, +infty)$ 。
只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤
02
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
03
不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改
变。
利用反比例函数解一元一次不等式
反比例函数的基本性质
反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像是双曲线，且当$k>0$时，图像位于第 一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
判别式在交点问题中应用
判别式与交点个数关系
通过计算判别式的值，可以判断反比例函数与直线交点的个 数。当判别式大于0时，有两个交点；当判别式等于0时，有 一个交点；当判别式小于0时，无交点。
题目三
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k > 0$) 的图像上有一点 $P$，过点 $P$ 作 $PA perp x$ 轴于点 $A$，$PB perp y$ 轴于 点 $B$。若矩形 $PAOB$ 的面积 为 8，求该反比例函数的解析式 。
XXX
THANKS
感谢观看
REPORTING
题目一
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = ax + b$ 的图像 交于点 $A(1, 4)$ 和 $B(3, m)$， 求这两个函数的解析式。
题目二
已知反比例函数 $y = frac{2}{x}$ 的图像上有两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < x_2 < 0$，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系。
判别式在求解不等式中的应用
利用判别式可以求解与反比例函数和直线相关的不等式问题 ，例如求解不等式组等。
典型例题解析
例题1
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$ 和直线$y = ax + b$相交于点 $A(1,2)$和$B(-3,-1)$，求 $k,a,b$的值。
例题2
已知反比例函数$y = frac{3}{x}$ 和直线$y = kx + 2$没有交点，
易错点二
混淆反比例函数图像与正比例函数图像，导致判 断失误。
避免策略
正确理解反比例函数和正比例函数的定义及图像特 征，通过多做练习题加以区分和巩固。
易错点三
在应用反比例函数性质时，忽视函数的定义域， 导致结论错误。
避免策略
在解题过程中，始终关注函数的定义域，确保结论在定 义域内有效。
拓展延伸：挑战更高难度题目
根据反比例函数的性质可知， 点P的坐标乘积为$k$，而矩形 $PAOB$的面积等于$|k|$，因 此可以求出$k$的值。注意考 虑$k$的正负两种情况。
XXX
PART 05
反比例函数在现实生活中 的应用举例
REPORTING
工程技术和物理学中应用场景介绍
电阻、电导与电流的关系
胡克定律
在电子工程中，电阻与电流成反比， 当电阻增大时，电流减小。这种反比 关系可以用反比例函数来描述。
解析
已知反比例函数 $y=frac{2}{x}$，求不等式 $y>1$的解集。
首先确定反比例函数 $y=frac{2}{x}$的图像位于 第一、三象限，然后根据不 等式的性质，将不等式 $y>1$转化为 $frac{2}{x}>1$，即$x<2$ 且$x neq 0$。因此，不等 式的解集为$x in (-infty, 0) cup (0, 2)$。
REPORTING
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为
反比例函数。
反比例函数图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象 限；当 $k < 0$ 时，图像位于第 二、四象限。
XXX
PART 04
反比例函数在几何图形中 应用
REPORTING
相似三角形判定定理回顾
相似三角形的定义：两 个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个
三角形相似。
01
两角对应相等，则两个 三角形相似。
03
三边对应成比例，则两 个三角形相似。
05
02 相似三角形的判定定理
两边对应成比例且夹角 相等，则两个三角形相
XXX
(完整版)初中数学反
比例函数知识点及经
典例
汇报人：XXX
2024-01-21
REPORTING
目录
• 反比例函数基本概念与性质 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数与不等式关系探讨 • 反比例函数在几何图形中应用 • 反比例函数在现实生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
XXX
PART 01
图像特征与性质
01
02
图像特征：反比例函数 的图像是由两支分别位 于第一、三象限和第二 、四象限的双曲线组成 。这两支曲线关于原点 对称，且无限接近于坐 标轴但不与之相交。
性质总结
03
04
05
反比例函数的图像关于 原点对称。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大（或减小） ，$y$ 值逐渐减小（或 增大），但永远不会等 于零。
反比例函数的图像永远 不会与坐标轴相交。
增减性与对称性
增减性
在第一、三象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小；在第二、四象限内，随 着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。因此，反比例函数在各自象限内具有单调性。
对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在函数图像上，那么点 $(x, -y)$ 也在图像上。这一性质反映了反比例函数的对称性。
反比例函数基本概念与性 质
REPORTING
定义及表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
表达式解析
在反比例函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。当 $k > 0$ 时，函数图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图像位于第二、四象 限。
利用反比例函数解一元一次不等式的步骤
首先确定反比例函数的图像所在象限，然后根据不等式的性质，将不等式转化为关于反比 例函数的形式，最后利用反比例函数的图像和性质求解不等式。
注意事项
在利用反比例函数解一元一次不等式时，需要注意反比例函数的定义域和值域，以及不等 式的性质。
经典例题深入剖析
例题1
解析
例题2
首先根据平移性质得出对应边 和对应角，然后根据相似三角 形的判定定理证明△ABC和 △DEG相似，最后根据相似三 角形的性质求出AG的长度。
已知点P是反比例函数 $y=frac{k}{x}$的图像上一点 ，过点P作$PA⊥x$轴于点A， $PB⊥y$轴于点B，若矩形 $PAOB$的面积为3，则$k$的 值为____。
实践活动设计
结合学生的生活实际，设计一些综合性实践活动，如调查 市场供需情况、分析投资风险等，让学生在实际操作中感 受和理解反比例关系的应用。
数学建模挑战
鼓励学生参与数学建模挑战，选择涉及反比例关系的实际 问题进行建模和求解，提高学生的数学应用能力和问题解 决能力。
XXX
PART 06
总结回顾与拓展延伸
投资回报率
在金融学中，投资回报率与投资风险 成反比。风险越高的投资，其回报率 往往越低；而风险较低的投资则可能 带来相对稳定的回报。这种关系也可 以用反比例函数来描述。
跨学科综合实践活动设计建议
跨学科案例分析
组织学生分析不同学科领域的案例，如物理学中的牛顿第 二定律、经济学中的供需关系等，引导他们发现其中的反 比例关系，并尝试用数学模型进行描述。
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内具有单调 性，当 $k > 0$ 时，在每个象限内 单调递减；当 $k < 0$ 时，在每个 象限内单调递增。
易错难点剖析及避免策略分享
易错点一
忽视反比例函数定义中 $k neq 0$ 的条件， 导致解题错误。
避免策略
在解题前务必检查 $k$ 的值，确保 $k neq 0$ 。
已知反比例函数 $y=frac{k}{x}$（$k neq 0$ ）的图像经过点$(2, -3)$， 求不等式$y<-2$的解集。
首先根据已知条件求出反比 例函数的解析式，即$3=frac{k}{2}$，解得$k=6$，所以反比例函数的解析 式为$y=-frac{6}{x}$。然后 确定反比例函数的图像位于 第二、四象限。接着根据不 等式的性质，将不等式$y<2$转化为$-frac{6}{x}<-2$ ，即$x>3$。因此，不等式 的解集为$x in (3, +infty)$ 。
只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤
02
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
03
不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改
变。
利用反比例函数解一元一次不等式
反比例函数的基本性质
反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像是双曲线，且当$k>0$时，图像位于第 一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。