2002年—2010年浙江省(经管类)高等数学竞赛试题

2002.12.7年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题5
分，满分30分）
1． 1．1．求极限01cos lim (1)(11)
x x x
e x →--+-。

2．求积分|1|D
xy dxdy -⎰⎰，11
{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。

3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。

学校
姓名
准考证号 专业
装
订
线
4．设
()f x 连续，且当1x >-时，2
()[()1]2(1)x
x
xe f x f t dt x +=
+⎰
，
求
()f x 。

5．设21
1
arctan 2n
n k S k ==∑，求lim n n S →∞。

6．求积分1
2
12
1(1)x x
x e dx x
++
-⎰。

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专业
装
订
线
二．（本题满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22
149
x y +=内
的面积。

三．（本题满分20分）证明：220
sin()0x dx π
>⎰。

四．（本题满分20分）设二元函数
(,)f x y 有一阶连续偏导数，且
(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0y
f x y x f x y x y
∂∂-=∂∂。

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订
线
五．（本题满分15分）（非数学类做）设
{},{}n n a b 为满足
1
,1n n
a b n e
a e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1
n n a ∞
=∑收敛.证明：
1n n
n b a ∞
=∑也收敛。

六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，0)0(='f ，
试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求n n n x a ∞
=∑1
的收敛半径、收敛域和函数。

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专业
装 订 线
2003.12.6年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题15分，满分60分）
1．已知0sin =++x y xe y
，求()0'y 。

2．设()⎰
=x
dt t t X G 1
3sin ，求()x d x G ⎰2
1。

3．求5
20
)sin(lim
x
d xt x
t
x ⎰
→。

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专业
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订
线
4．求
y x D
d d y y
⎰⎰sin ，其中D 为以（0，0），（0，1），（1，1）为定点的三角行区域。

二．（本题满分20分）设a>0，试讨论
∑∞
=1
n n
na
的敛散性，当级数收敛时，试求
其和。

三．（本题满分20分）设()x f 一定阶段连续可导，()()0'≠+x f x f ，证明：()
x f
至多有一个零点。

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专业
装
订 线
四．（本题满分20分）求满足下列性质的曲线C ：设()000,y x p 为曲线2
2x
y =上任一点，则曲线0x x =，22x y =，2x y =所围城区域的面积A 与曲线0y y =，
22x y =和C 所围成区域的面积B 相等。

五．（本题满分15分）证明2003
1
sin 2003
2002
2<
⎰
t d t 。

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姓名 准考证号
专业 装
订 线
六．（本题满分15分）设()x ϕ在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()00=ϕ，
()11=ϕ.证明：存在()1,0内的两个数ηξ,，使
()()
3'2
'1=+ηϕξϕ。

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准考证号 专业 装 订 线
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题15分，满分60分）
1．已知()
01lim 3
23
=--++∞
→b ax x x
x ，求常数a 和b 的值。

2．计算：
⎰+dx x x x x
)cos (sin sin cos 。

3．计算：dx k x x -⎰
10
2，其中k 为常数。

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准考证号
专业
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订
线
4．求∑∞
=+-1
)!12()1(n n n n
的和。

二．（本题满分20分）设x
x
x f +-=11arctan )(，求)0()
(n f 。

三．（本题满分20分）设函数)(x f y =由方程032233
2
3
=-+-y xy x 确定，且
)(x f 可导，试求)(x f 的极值。

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准考证号 专业
装 订
线
四．（本题满分20分）证明：当0>x 时，2
2)1(ln )1(x x x <++。

五．（本题满分15分）判别级数∑
∞
=13
)
!(1n n
n 的敛散性。

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线
六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，
0)0(='f ，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使
)(!
3)1(1)(22
ξf x x x x f '''-++-= ，)1,0(∈x 。

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准考证号 专业 装 订
线
2005年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题12分，满分60分）
1．计算：n
n n n n ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++∞→3532lim 。

2．计算：⎰+dx x x x
sin 4cos 3sin 。

3．计算：()⎰
x t d t 0
4,4min 。

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准考证号 专业
装
订
线
4．当0→x 时，12112
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
-+x xIn x 与B
Ax 为等价无穷小，求常数A 、B 的值。

5．求函数()531-+-+-+=x x x x f x 的最小值。

二．（本题满分20分）设)(x f 在0=x 处二阶可导，且()
1
cos 1lim
0=-→x
f x x ，求)0(f 、
()0'f 和()0''f 的值。

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订 线
三．（本题满分20分）证明：当2
0π
<<x 时，（1）3tan 3
x x x +>；（2）
7
5363
11523tan x x x x x +++=。

四．（本题满分20分）设()x
d
x
x A ⎰-
+-=
22
2
2sin 1sin 1π
π
，x d x
con x x
B ⎰-
+=
22
2
22sin π
π
，()
x d x x C ⎰-++=2
2
2224sin 110π
ππ，试比较A 、B 、C 的大小。

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姓名 准考证号
专业 装
订
线
五．（本题满分15分）设x n
n xd a ⎰
=
4
tan π
,(1)求()211
+∞
=+∑
n n n a a n
的值；（2）证明∑∞
=1
n n
n a λ收敛()0>λ。

六．（本题满分15分）对下列函数)(x f ，分别说明是否存在一个区间[]b a ,，0>a ，
使(){()}
()}{b a x x b a x f x ,|,|∈=∈，并说明理由。

（1）()32312+=x f x ；
（2）()x f x 1=；（3）()x
f x 1
1-=。

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姓名 准考证号
专业
装
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2006年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题15分，满分60分）
1．求])1[(lim x n
n e n
x n -+
∞
→
2．求⎰
-++dx x x x x )
1(188
4。

3．已知b ax x x x =-++∞
→)1(lim 323，求a ，b 的值。

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准考证号
专业
装
订
线
4．求由x In y x e
y y ===,1
,0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

二．（本题满分15分）设6
)(3
x e x f x
-=，问0)(=x f 有几个实根？并说明理由。

三．（本题满分20分）求级数3
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∞=n n x 中20
x 的系数。

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准考证号 专业
装 订
线
四．
（本题满分20分）)(1x f 连续，t x
n n d t f x f ⎰
-=0
1)()(，求)(lim x f n n ∞
→。

五．（本题满分20分）设n a a a ,,,21 为非负实数，试证：
x kx a
n
k k
sin sin 1
≤∑=的充
分必要条件为∑=≤n
k k
ka
1
1。

学校
姓名 准考证号
专业 装
订
线
六．（本题满分15分）求最小的实数c ，使得满足
()11
=⎰
x x d f 的连续函数()x f 都
有()c d f x x ≤⎰
1。

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姓名 准考证号 专业 装 订 线
2007年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题12分，满分60分）
1．求
x d x x ⎰
+1
5
9。

2．求())
1(1lim
1
x In e x x x +-+→。

3．求p 的值，使()
()02
2007
=++⎰x p x b
a d e p x 。

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准考证号
专业
装
订
线
4．设⎪⎩⎪⎨⎧⎰==-)
cos(sin 2202t x d u e y u
t u ，求22x y d d 。

5．0,)
1)(1(0
2≠++⎰
+∞
a x x d a
x。

二．（本题满分20分）设n
n n u n 32
13123162514132211-
-+-+-++-+
= ，n n n v n 312111+++++=
，求：
（1）10
10v
u ；（2）n n u ∞→lim 。

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姓名
准考证号 专业
装
订
线
三．（本题满分20
分）有一张边长为π4的正方形纸（如图），C、 A C 'A
D 分别为'
AA 、'
BB的中点，E为DB的中点，现将纸卷成圆柱形
，使A与'A重合，使B与'B重合,并将圆柱垂直放在xOy平面上，B 'B
且B与原点O重合，D落在y轴正向上，此时，求： D E
（1）通过C、E两点的直线绕z轴旋转所得的旋转曲面方程；
（2）此旋转曲面、xOy平面和过A点垂直于z轴的平面所围成的立体体积。

四．（本题满分20分）设函数)
(x
f满足方程()R
x
x
x
f
e
x
f
e x
x∈
=
-
+-,
sin
3
)
(
2π
π，求)
(x
f的极值。

学
校
姓
名
准
考
证
号
专
业
装
订
线
五．（本题满分15分）设幂级数
∑∞
n
n x
a 的系数满足
,3,2,1,1,210=-+==-n n a na a n n 求此幂级数的和函数)(x s 。

六．（本题满分15分）证明当),2
(
ππ
∈x 时，
x
x In x x -+<+-π)
sin 1(sin 1sin 1。

学校
姓名 准考证号
专业
装
订 线
2008年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题12分，满分60分）
1．求x
x
x x x e
e e sin 1323lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++∞→。

2．计算()⎰+⋅+)5sin(3cos x x d x。

3．设()x x f x arcsin 3=，求()
()02008f 。

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姓名
准考证号
专业
装 订
线
4．求曲线 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎰-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Int
x s d t ts e t y 122在t=1处的切线方程。

5．求曲线[]ππ2,,sin ∈=x x x y 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体体
积。

二．（本题满分20分）（1）证明()2-+=nx x x f n
n （n 为正整数）在()+∞,0上有唯
一的正根n a ；（2）计算()n
n x a +∞
→1lim 。

学校
姓名 准考证号
专业
装 订 线
三．（本题满分20分）已知t为常数，且
()
π
π
=
-
+
∈
t
x
x
x
cos
max
2,0
，求t的值。

四．（本题满分20分）分析级数∑∞
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
1
2
3
1
sin
n
n
n
π的收敛性。

学
校
姓
名
准
考
证
号
专
业
装
订
线
五．（本题满分15分）证明：对∀0!
4!3!21,4
32>++++∈x x x x R x 。

六．（本题满分15分）已知0,021>>a a ，（1）若存在数列{}n y 满足条件:（a ）0>n y ;（b ）0lim =∞
→n n y ;（c ） 3,2,1,2211=+=++n y a y a y n n n 证明：121>+a a ；（2）若121>+a a ，
证明存在满足条件（a ）、（b ）、（c ）的数列{}n y 。

学校 姓名 准考证号
专业
装 订 线
学校 姓名 准考证号 专业 装 订 线
2009年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题12分，满分60分）
1．求极限21
lim ()
n
n i n n
i n i →∞
=+∑。

2．计算不定积分2
2
ln 1(ln 1)
x dx x x +-⎰。

3．设2
()sin f x x x =，求(2009)
(0)f 。

学校
姓名
准考证号
专业
装
订
线
4．设cot cos 2sin x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
，(0,)t π∈，求此曲线的拐点。

5．已知极限2
1
2
0lim 11x x x ax bx e x →⎡⎤++=⎢⎥-⎣
⎦，求常数,a b 的值。

二．（本题满分20分）设(0)0f =，'
0()1f x <<，比较
()
2
1
()f x dx ⎰
与1
30
()f x dx
⎰的大小并证明之。

学校
姓名
准考证号
专业
装
订
线
三．（本题满分20分）设2
1
1
()t g x x t e dt -=-⎰
求()g x 的最小值。

四．（本题满分20分）设曲线sin x
y e
x -=，0x n π≤≤，n z +∈，求此曲线与x
轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积n V ，并求lim n
n V →∞。

学校
姓名
准考证号
专业 装
订
线
五．（本题满分15分）证五、（满分15分）设1()n
n f x x x r =+-，其中0r >
（1）证明：()n f x 在(0,)+∞内有唯一的零点n x ；（2）问r 为何值时，级数1
n n x ∞
=∑收
敛？发散。

六．（本题满分15分）设f 在[0,)+∞上可导，且'
()()f x f x ≥，(0)0f ≥，证
明：(0)0(0)f x ≥≥。

学校
姓名 准考证号
专业
装 订 线
2010年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）
题 号 一
二
三
四
五
六
总分
得 分 评卷人
一．计算题（每小题14分，满分70分）
1．计算2lim(
)1n n n
n n
→∞
++。

2．计算2(1sin cos )
cos x e x x dx x
+⎰。

3．设ABC ∆为锐角(含直角)三角形，求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。

学校
姓名
准考证号
专业 装
订
线
4．设[]x 为小于等于x 的最大整数，{(,)|13,24}D x y x y =≤≤≤≤，求
[]D
x y dxdy +⎰⎰。

5．设f 连续，满足2
()()x
x t f x x e f t dt -'=+⎰
，求(0)f '。

学校
姓名 准考证号
专业 装
订 线
二．（本题满分20分）如图设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切，记A为等边三角形的面积，
n
A为n排圆的面积之和，求lim n
n
A
A
→∞。

三．（本题满分20分）设()()
x
f x e P x
=，其中()
P x为5次多项式，证明：（1）()
f x
必有极值点；（2）()
f x必有奇数个极值点。

学
校
姓
名
准
考
证
号
专
业
装
订
线
四．（本题满分
20分）证明：22
2
2
10,
t x x
x e dt e x
+∞
-
-∀><⎰。

五．（本题满分20分）定义数列{}n a 如下：
11101
,max{,},2,3,4,2
n n a a a x dx n -===⎰ ，求lim n n a →∞。

学校 姓名
准考证号
专业
装 订 线。