人教版七年级数学下册期末几何压轴题测试题和答案（一）解析

一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.
（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______；
（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当
∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；
（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点
E在点A与点B之间运动时，
BEC
BCO
∠
∠
的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明
理由.
2．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．
（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝2
3
∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP时，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
3．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯
B 射出的光束自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 射出的光束转动的速度是a ︒/秒，灯B 射出的光束转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足
20)34(a b a b -++-=．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且
45BAN ∠=︒．
（1）求a 、b 的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A 射出的光束到达AN 之前，若两灯射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，若20BCD ∠=︒，求BAC ∠的度数；
（3）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射出的光束才开始转动，在灯B 射出的光束到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
4．（1）（问题）如图1，若//AB CD ，40AEP ∠=︒，130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数； （2）（问题迁移）如图2，//AB CD ，点P 在AB 的上方，问PEA ∠，PFC ∠，EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知EPF α∠=，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，用含有α的式子表示G ∠的度数．
5．已知，AB ∥DE ，点C 在AB 上方，连接BC 、CD ．
（1）如图1，求证：∠BCD ＋∠CDE ＝∠ABC ；
（2）如图2，过点C 作CF ⊥BC 交ED 的延长线于点F ，探究∠ABC 和∠F 之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD 的平分线交CD 于点G ，连接GB 并延长至点H ，若BH 平分∠ABC ，求∠BGD ﹣∠CGF 的值．
6．如图，直线HD //GE ，点A 在直线HD 上，点C 在直线GE 上，点B 在直线HD 、GE 之间，∠DAB ＝120°．
（1）如图1，若∠BCG ＝40°，求∠ABC 的度数；
（2）如图2，AF 平分∠HAB ，BC 平分∠FCG ，∠BCG ＝20°，比较∠B ，∠F 的大小； （3）如图3，点P 是线段AB 上一点，PN 平分∠APC ，CN 平分∠PCE ，探究∠HAP 和∠N 的数量关系，并说明理由．
7．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵3100010=31000000100，1000593191000000<<， ∴31059319100<<．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，39729=
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 33327596433594<<，可得3305931940<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2321952=__________．
8．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的
差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．
（1）请直接写出最小的四位依赖数；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．
（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q n p n ++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝2222
++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值． 9．在已有运算的基础上定义一种新运算⊗：x y x y y ⊗=-+，⊗的运算级别高于加减乘
除运算，即⊗的运算顺序要优先于+-⨯÷、、、
运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53⊗-= ；
（2）若35x ⊗=，则x = ；
（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ⊗-⊗； （4）如图所示，在数轴上，点A
B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A
B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ⊗=时，求t 的值．
10．探究与应用：
观察下列各式：
1+3＝ 2
1+3+5＝ 2
1+3+5+7＝ 2
1+3+5+7+9＝ 2
……
问题：（1）在横线上填上适当的数；
（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；
（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）
11．下列等式：
111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：
1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．
（1）观察发现：1n(1)n =+__________1111122334n(1)n ++++=⨯⨯⨯+ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把
112拆成两个分子为1的正的真分数之差，即112= ；②把112
拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112= ； （ 3 ）定义“⊗”是一种新的运算，若1112126⊗=+，11113261220
⊗=++，111114*********
⊗=+++，求193⊗的值． 12．观察下面的变形规律：
；
；；…．
解答下面的问题：
（1）仿照上面的格式请写出
= ； （2）若n 为正整数，请你猜想
= ； （3）基础应用：计算：
． （4）拓展应用1：解方程：
=2016 （5）拓展应用2：计算：． 13．如图所示，A （1，0），点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，点C 的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E 的坐标 ；
（2）在四边形ABCD 中，点P 从点O 出发，沿OB →BC →CD 移动，若点P 的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，请解决以下问题；
①当t 为多少秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；
②当t 为多少秒时，三角形PEA 的面积为2，求此时P 的坐标
14．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．
（1）若20n =时，则BED ∠=___________；
（2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；
（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）
15．如图，在平面直角坐标系中，点A B 、的坐标分别为(1，0)、(-2，0)，现同时将点A B 、分
别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A
B 、的对应点
C
D 、，连接AC 、BD 、CD .
（1）若在y 轴上存在点M ,连接MA MB 、，使S △ABM =S □ABDC ，求出点M 的坐标； （2）若点P 在线段BD 上运动，连接PC PO 、，求S =S △PCD +S △POB 的取值范围； （3）若P 在直线BD 上运动，请直接写出CPO DCP BOP ∠∠∠、、的数量关系.
16．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）
（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为()03A ，
，()10B -，，()40C ，，()53D ，，现将四边形ABCD 经过平移后得到四边形''''A B C D ，点B 的对应点'
B 的坐标为()11
，．
（1）请直接写点'A 、'C 、'D 的坐标；
（2）求四边形ABCD 与四边形''''A B C D 重叠部分的面积；
（3）在y 轴上是否存在一点M ，连接MB 、MC ，使MBC ABCD S S ∆=四边形，若存在这样一点，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图1，已知，点A (1，a )，AH ⊥x 轴，垂足为H ，将线段AO 平移至线段BC ，点B (b ，0)，其中点A 与点B 对应，点O 与点C 对应，a 、b 满足24(3)0a b -+-=．
（1）填空：①直接写出A 、B 、C 三点的坐标A (________)、B (________)、C (________)； ②直接写出三角形AOH 的面积________．
（2）如图1，若点D (m ，n )在线段OA 上，证明：4m ＝n ．
（3）如图2，连OC ，动点P 从点B 开始在x 轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q 从点O 开始在y 轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t 秒，三角形AOP 与三角形COQ 的面积相等，试求t 的值及点P 的坐标．
19．五一节前，某商店拟购进A 、B 两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A 种品牌电风扇所需费用与购进2台B 种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A 种品牌电风扇与2台B 种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A 、B 两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A 种品牌电风扇定价为180元/台，B 种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
20．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00
x x y y =⎧⎨=⎩，关于x ，y
的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11
x x y y =⎧⎨=⎩，且满足1000.1x x x -≤，1000.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104
x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩
的模糊解，则m 的取值范围是________． 21．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A(a ，0)，B(b ，0)，且a ，b 满足|a ＋b ﹣2|＋25a b -+＝0，现同时将点A ，B 分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点为C ，D ．
（1）请直接写出A 、B 、C 、D 四点的坐标．
（2）点E 在坐标轴上，且S △BCE ＝S 四边形ABDC ，求满足条件的点E 的坐标．
（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在线段BD 上移动时（不与B ，D 重合）求：DCP BOP CPO
∠+∠∠的值．
22．对于不为0的一位数m 和一个两位数n ，将数m 放置于两位数之前，或者将数m 放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为(),F m n ．例如：当1m =，68n =时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为618168450-=，而4501530÷=，所以()1,6830F =． （1）计算：()2,17F ．
（2）若a 是一位数，b 是两位数，b 的十位数字为x （18x ≤≤，x 为自然数），个位数字
为8，当()()11,509,862
F a F b +=时，求出所有可能的a ，b 的值． 23．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm 40cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲，（单位：cm ）
（1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A 型板材________张，B 型板材_______张；
②已知①中的A 型板材和B 型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x 个，横式无盖礼品盒的y 个，求x 、y 的值．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x 、y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得42x y -=-，由①+②×2可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩
，则x y -=_______，x y +=_______； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数x 、y ，定义新运算：*x y ax by c =++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=_______．
25．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型 乙型 价格(万元/台)
x y 处理污水量(吨/月) 300 260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．
（1）求x ，y 的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
26．某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材150张，B型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张20元，B型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？
的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B （3）若该工厂新购得65张规格为3m3m
型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
27．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）．如果存在点N（a′，b′），满足a′＝|a ＋b|，b′＝|a﹣b|，则称点N为点M的“控变点”．
（1）点A（﹣1，2）的“控变点”B的坐标为；
（2）已知点C（m，﹣1）的“控变点”D的坐标为（4，n），求m，n的值；
（3）长方形EFGH的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），（5，4），（1，4）．如果点P（x，﹣2x）的“控变点”Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围．
28．对x 、y 定义了一种新运算T ，规定(),2ax by T x y x y +=
+（其中a ，b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201
a b T ⨯+⨯=
⨯+， 已知()1,12T -=-，()4,21T =．
（1）求a ，b 的值；
（2）求()2,2T -． （3）若关于m 的不等式组()(
)2,544,32T m m T m m p ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有4个整数解，求p 的取值范围． 29．（发现问题）已知32426x y x y +=⎧⎨-=⎩
①②，求45x y +的值． 方法一：先解方程组，得出x ，y 的值，再代入，求出45x y +的值．
方法二：将①2⨯-②，求出45x y +的值．
（提出问题）怎样才能得到方法二呢？
（分析问题）
为了得到方法二，可以将①m ⨯+②n ⨯，可得(32)(2)46m n x m n y m n ++-=+．
令等式左边(32)(2)45m n x m n y x y ++-=+，比较系数可得32425m n m n +=⎧⎨-=⎩，求得21m n =⎧⎨=-⎩
． （解决问题）
（1）请你选择一种方法，求45x y +的值；
（2）对于方程组32426
x y x y +=⎧⎨-=⎩利用方法二的思路，求77x y -的值； （迁移应用）
（3）已知1224327x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩
，求3x y -的范围．
30．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，点A (,)a b ||20b +-=，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．
（1）则a ＝ ，b ＝ ，点C 坐标为 ；
（2）如图1，点D （m ，n ）在线段BC 上，求m ，n 满足的关系式；
（3）如图2，E 是线段OB 上一动点，以OB 为边作∠BOG ＝∠AOB ，交BC 于点G ，连CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，
OFC FCG OEC
∠+∠∠的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．
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一、解答题
1．-3 -4 6
【解析】
分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据等角的余角相等解答即可；
（3）首先证明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再证明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解决问题；
详解：（1）解：如图1中，
∵|a+3|+（b-a+1）2=0，
∴a=-3，b=4，
∵点C（0，-3），D（-4，-3），
∴CD=4，且CD∥x轴，
∴△BCD的面积=1212×4×3=6；
故答案为-3，-4，6．
（2）证明：如图2中，
∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB ，AC ⊥BC ，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠ABQ=∠CBQ ，
∴BQ 平分∠CBA ．
（3）解：如图3中，结论：BEC BCO
∠∠ =定值=2．
理由：∵AC ⊥BC ，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，
∵CB 平分∠ECF ，
∴∠ECB=∠BCF ，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠ACE ，
∴∠DCE=2∠ACD ，
∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠BCO ，
∵C （0，-3），D （-4，-3），
∴CD ∥AB ，
∠BEC=∠DCE=2∠ACD ，
∴∠BEC=2∠BCO ，
∴BEC BCO
∠∠=2． 点睛：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和
定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．（1）80°；（2）∠AKC＝1
2∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝2
3
∠APC，理由见解析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线
的定义，得出∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，进而得
到∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣
∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝2
3
∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝1
2
∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，
∴∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）∠AKC＝2
3
∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P 作PF ∥AB ，
同理可得，∠APC ＝∠BAP ﹣∠DCP ，
∵∠BAK ＝23∠BAP ，∠DCK ＝23
∠DCP ， ∴∠BAK ﹣∠DCK ＝23∠BAP ﹣23∠DCP ＝23（∠BAP ﹣∠DCP ）＝23
∠APC ， ∴∠AKC ＝23
∠APC ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
3．（1）3a =，1b =；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子()2340a b a b -++-=即可；
（2）根据//PQ MN ，用含t 的式子表示出BCA ∠，根据（2）中给出的条件得出方程式 ()()9090180229020⎡⎤∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒⎣⎦BCD BCA t t ，求出 t 的值，进而求出BAC ∠的度数；
（3）根据灯B 的要求，t <150，在这个时间段内A 可以转3次，分情况讨论．
【详解】
解：（1）2|3|(4)0a b a b -++-=．
又|3|0a b -≥，2(4)0a b +-≥．
3a ∴=，1b =；
（2）设A 灯转动时间为t 秒，
如图，作//CE PQ ，而//,PQ MN
////,PQ CE MN ∴
1803ACE CAN t ∴∠=∠=︒-︒，BCE CBD t ∠=∠=︒，
()()18031802∴∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒BCA CBD CAN t t t ，
90ACD ∠=︒，
[]9090180(2)(2)9020∴∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒BCD BCA t t ，
55∴=t
()1803∠=︒-︒CAN t ，
()()451803313516513530∴∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦BAC t t
（3）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行．
依题意得0150t <<
①当060t <<时，
两河岸平行，所以()233
t ∠=∠=︒ 两光线平行，所以2130t ∠=∠=+︒
所以，13∠=∠
即：330=+t t ，
解得15t =；
②当60120t <<时，
两光束平行，所以()2330t ∠=∠=+︒
两河岸平行，所以12180∠+∠=︒
13180t ∠=-︒
所以，318030180-++=t t ，
解得82.5t =；
③当120150t <<时，图大概如①所示
336030t t -=+，
解得195150t =>（不合题意）
综上所述，当15t =秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
4．（1）90°；（2）∠PFC =∠PEA +∠P ；（3）∠G =1
2α
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得
∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）令AB与PF交点为O，连接EF，根据三角形的内角和定理可得∠GEF+∠GFE＝
1 2∠PEA+1
2
∠PFC+∠OEF+∠OFE，由（2）得∠PEA=∠PFC-α，由∠OFE+∠OEF=180°-
∠FOE=180°-∠PFC可求解．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP．
又∠AEP=40°，
∴∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）∠PFC=∠PEA+∠P．
理由：过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．
在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF），
∵∠GEF ＝12∠PEA +∠OEF ，∠GFE ＝1
2∠PFC +∠OFE ， ∴∠GEF +∠GFE ＝12∠PEA +12∠PFC +∠OEF +∠OFE ，
∵由（2）知∠PFC =∠PEA +∠P ，
∴∠PEA =∠PFC -α，
∵∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC ，
∴∠GEF +∠GFE ＝12(∠PFC −α)+12∠PFC +180°−∠PFC ＝180°−12α，
∴∠G ＝180°−(∠GEF +∠GFE )＝180°−180°+12α＝12α．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． 5．（1）证明见解析；（2）90ABC F ∠-∠=︒；（3）45︒．
【分析】
（1）过点C 作CF AB ∥，先根据平行线的性质可得180ABC BCF ∠+∠=︒，再根据平行公理推论可得CF
DE ，然后根据平行线的性质可得180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，由此即可得证；
（2）过点C 作CG AB ∥，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出180ABC BCG ∠+∠=︒，180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，从而可得ABC F BCF ∠-∠=∠，再根据垂直的定义可得90BCF ∠=︒，由此即可得出结论；
（3）过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，先根据平行线的性质可得ABH MGH ∠=∠，MGN DFG ∠=∠，从而可得MGH MGN ABH DFG ∠-∠=∠-∠，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得45MGH MGN ∠=-∠︒，然后根据角的和差、对顶角相等可得BGD CG MGH MGN F ∠-∠=∠-∠，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点C 作CF AB ∥，
180ABC BCF ∴∠+∠=︒，
AB DE ，
CF DE ∴，
180CDE DCF ∴∠+∠=︒，即180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，
CDE BCF BCD ABC BCF ∴∠+∠+∠=∠+∠，
BCD CDE ABC ∴∠+∠=∠；
（2）如图，过点C 作CG AB ∥，
180ABC BCG ∴∠+∠=︒，
AB DE ，
CG DE ∴，
180F FCG ∴∠+∠=︒，即180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，
F BC
G BCF ABC BCG ∴∠+∠+∠=∠+∠，
ABC F BCF ∴∠-∠=∠，
CF BC ⊥，
90BCF ∴∠=︒，
90ABC F ∴∠-∠=︒；
（3）如图，过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，
ABH MGH ∴∠=∠，
AB DE ，
GM DE ∴，
MGN DFG ∴∠=∠， BH 平分ABC ∠，FN 平分CFD ∠，
11,22
ABH AB D C CF DFG ∴∠=∠∠∠=， 由（2）可知，90ABC CFD ∠-∠=︒，
41122
5MGH MGN ABH DFG CF B D A C ∠-∠=∠-∠∠∠-==∴︒， 又BGD MGH MGD CGF DGN MGN MGD ∠=∠+∠⎧⎨∠=∠=∠+∠⎩
， 45MGH BGD GF MGN C ∠-∠∴-==∠∠︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性
质是解题关键．
∠HAP；理由见解析．6．（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣1
2
【分析】
（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM，便可求得最后结果；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，由平行线的性质得，∠ABC＝
∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分线的性质和已知角的度数分别求得
∠HAF，∠FCG，最后便可求得结果；
（3）过P作PK//HD//GE，先由平行线的性质证明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝
∠HAF+∠FCG，再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN，由后由三角形内角和定理便可求得结果．
【详解】
解：（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，如图1，
∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，
∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，
∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，
∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，如图2，
∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，
∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，
∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，
∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，
∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，
∴∠ABC＞∠AFC；
（3）过P作PK//HD//GE，如图3，
∴∠APK ＝∠HAP ，∠CPK ＝∠PCG ， ∴∠APC ＝∠HAP +∠PCG ， ∵PN 平分∠APC ，
∴∠NPC ＝12∠HAP +1
2∠PCG ， ∵∠PCE ＝180°﹣∠PCG ，CN 平分∠PCE ， ∴∠PCN ＝90°﹣1
2∠PCG ， ∵∠N +∠NPC +∠PCN ＝180°，
∴∠N ＝180°﹣12∠HAP ﹣12∠PCG ﹣90°+12∠PCG ＝90°﹣1
2∠HAP ， 即：∠N ＝90°﹣1
2∠HAP ． 【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． 7．（1）48；（2）28 【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】 解：（1）第一步：
3
10001031000000100=，11059210100000000<<，
310110592100∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：110592的个位数是2，38512=， ∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 33364110125341105，可得34011059250，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：
3
100010=31000000100=，1000219521000000<<，
31021952100∴<，
∴能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：21952的个位数是2，38512
=，
∴能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
23
<，可得2030，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
28，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
8．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67 36
【分析】
（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n
+
+
，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代
入F（m）＝q n
p n
+
+
，再比较大小即可.
【详解】
解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，
则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，
∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）
∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；∴特色数是3066，2226．
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n
+
+
，
由（2）可知：特色数有3066和2226两个，
对于3066＝613×5+14=61×50+24
∵1×613－1×5＞2×61－2×50，
∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61 ∴F （3066）＝
61263
=50252
++ 对于2226＝89×25+14＝65×34+24， ∵1×89－1×25＞2×65－2×34，
∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65 ∴F （2226）＝636
5267
=342++ ∵
63675236
< 故所有“特色数”的F （m ）的最大值为：6736
． 【点睛】
此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键. 9．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x ；（4）t 1=3；t 2=5
3
【分析】
（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范围进行化简即可； （4）根据A 、B 在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数a 和b ，再根据（2）的解题思路即可得到结果． 【详解】
解：（1）5(3)5(3)(3)5⊗-=--+-=； （2）依题意得：335-+=x ， 化简得：3=2-x ， 所以32x -=或32x -=-， 解得：x =5或x =1；
（3）由数轴可知：0<x <1，y <0， 所以1x y x ⊗-⊗ = (1)()-+--+x x y x x =1-++--x x y x x =12+-y x
（4）依题意得：数a =−1+t ，b =3−t ； 因为2a b ⊗=，
所以(1)(3)32-+--+-=t t t ， 化简得：241-=-t t ， 解得：t =3或t =5
3
，
所以当2a b ⊗=时，t 的值为3或5
3
．
【点睛】
本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．
10．（1）2、3、4、5；（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝n 2； （3）﹣1.008016×106． 【分析】
(1) 根据从1开始连续n 各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到. (2) 根据规律写出即可. (3) 先提取符号，再用规律解题. 【详解】 解：（1）1+3＝22 1+3+5＝32 1+3+5+7＝42 1+3+5+7+9＝52 ……
故答案为：2、3、4、5；
（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝2(1)n + （3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+…+2019） ＝﹣10102 ＝﹣1.0201×106． 【点睛】
本题考查数字变化规律，解题的关键是找到第一个的规律，然后加以运用即可. 11．（1）111n n -+；1n n +；（2）①1341
-；②112424+；（ 3 ）14
．
【分析】
（1）利用材料中的“拆项法”解答即可； （2）①先变形为
111234=⨯，再利用（1）中的规律解题；②先变形为12
1224
=，再逆用分数的加法法则即可分解；
（3）按照定义“⊗”法则表示出1
93
⊗，再利用（1）中的规律解题即可．
【详解】
解：（1）观察发现：()1
1n n =+111
n n -+，
1111
122334
(1)
n n ++++
⨯⨯⨯+ ＝11111111223341
n n -+-+-+⋯+-+
＝111
n -+ ＝
1
n
n +； 故答案是：111n n -+；
1
n
n +. （2）初步应用： ①111234=⨯=1134-； ②
121112242424
==+； 故答案是：11
34-；112424
+.
（ 3 ）由定义可知：
1
93⊗＝11111111112203042567290110132
++++++++ =455111111611311412
-+-+-+⋯+- =132
11- =
14
. 故1
93⊗的值为14
． 【点睛】
考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 12．(1) ；(2)
；（3）
；（4）x=2017；（5）
【分析】
（1）类比题目中方法解答即可；（2）根据题目中所给的算式总结出规律，解答即可；（3）利用总结的规律把每个式子拆分后合并即可解答；（4）方程左边提取x 后利用（3）的方法计算后，再解方程即可；（5）类比（3）的方法，拆项计算即可． 【详解】 （1）
故答案为：；
（2）=
故答案为：
；
（3）计算：
=
=1﹣
=；
（4） =2016
=2016，
x=2017；
（5）．
=+（）+（）+…+（）．
=（1﹣）．
=．
【点睛】
本题是数字规律探究题，解决问题基本思路是正确找出规律，根据所得的规律解决问题．
13．（1）（-2，0）；（2）①4秒；②（0，4
3
）或（-3，
4
3
）
【分析】
（1）根据BC=AE=3，OA=1，推出OE=2，可得结论．
（2）①判断出PB=CD，即可得出结论；
②根据△PEA的面积以及AE求出点P到AE的距离，结合点P的路线可得坐标．【详解】
解：（1）∵C（-3，2），A（1，0），
∴BC=3，OA=1，
∵BC=AE=3，
∴OE=AE-AO=2，
∴E（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）
∴BC=3，CD=2，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，
∴PB =CD =2， 即t =（2+2）÷1=4；
∴当t =4秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数； ②∵△PEA 的面积为2，A （1，0），E （-2，0）， ∴AE =3，
设点P 到AE 的距离为h ∴
1
322
h ⨯⨯=， ∴h =43
，
即点P 到AE 的距离为4
3
，
∴点P 的坐标为（0，43）或（-3，4
3）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标．
14．（1）60°；（2）n °+40°；（3）n °+40°或n °-40°或220°-n ° 【分析】
（1）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； （2）同（1）中方法求解即可；
（3）分当点B 在点A 左侧和当点B 在点A 右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E 作EF ∥AB ，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可． 【详解】
解：（1）当n =20时，∠ABC =40°， 过E 作EF ∥AB ，则EF ∥CD ， ∴∠BEF =∠ABE ，∠DEF =∠CDE ， ∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ， ∴∠BEF =∠ABE =20°，∠DEF =∠CDE =40°， ∴∠BED =∠BEF +∠DEF =60°；
（2）同（1）可知：
∠BEF =∠ABE =n °，∠DEF =∠CDE =40°， ∴∠BED =∠BEF +∠DEF =n °+40°；。