2018全国高中数学联赛吉林省预赛高三数学试题(解析版)

2018全国高中数学联赛吉林省预赛
高三数学试题
一、单选题
1．集合的真子集个数为（）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【解析】【详解】
，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为
.
故答案为：C
2．三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为3的正三角形，已知PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积为（）
A．3 B．C．D．
【答案】C
【解析】【详解】
.
故答案为：C
3．已知函数满足：，，则
（）.
A．B．-C．D．-
【答案】B
【解析】【详解】
取x=1，y=0，得；
取x=1，y=1，得，故；
取x=2，y=1，得，故；
取x=n，y=1，有
同理，.
联立得，故.
所以周期为6，故.
故答案为：B
4．已知，则对任意，下列说法中错误的是（）
A．B．C．
D．
【答案】A
【解析】【详解】
由得，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；
.所以选项B正确；
=表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，
数形结合观察得到，所以选项C正确；
，所以选项D正确.
故答案为：A
5．已知在上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】【详解】
的图象关于（0，1）对称，故.
故答案为：B
6．设，，，满足，，则z的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【详解】
由已知，所以.
因为x＞1，即，所以，故.
故答案为：D
二、填空题
7．函数的定义域为__________.
【答案】（1，2）（4，5）
【解析】【详解】
由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.
故答案为：（1，2）（4，5）
8．已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值等于__________.
【答案】
【解析】【详解】
因为圆C的方程可化为，所以圆C的圆心为（4，0），半径为1.
若上至少存在一点A（），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么存在，使得成立，即有，又因为为点C到直线的距离，所以，解得，因此k的最大值是.
故答案为：
9．如图，在直角三角形ABC中，，，点P是斜边AB上一点，且，那么__________.
【答案】4
【解析】【详解】
解法一：因为，
所以.
解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（0，2），P（，），有，，.
所以.
故答案为：4
10．已知点P在直线上，点Q在直线上，PQ的中点为M （），且，则的取值范围是_____________.
【答案】（，）
【解析】【详解】
注意到两直线是平行的，故点M的轨迹为与两直线的距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为，即M（）满足，而且满足不等式
的点都在直线的左上方.
问题转化为求射线（）上点M（）的的取值范围，而的几何意义是M（）与原点连线的斜率，故（，）.
故答案为：（，）
11．若实数满足，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】试题分析：由知，可行域内一点与
原点连线的斜率最大时，最大，由得，此时有最小值，得
最大值，所以答案应填：．
【考点】线性规划．
12．在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：
①数列是等方差数列；
②若是等方差数列，则是等差数列；
③若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列；
④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.
其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）
【答案】①②③④
【解析】【详解】
①因为，所以符合“等方差数列”定义；
②根据定义，显然是等差数列；
③符合定义；
④数列满足，（d为常数）.若d=0，显然为常数列；
若d≠0，则两式相除得，所以（常数），即为常数列.
故答案为：①②③④
三、解答题
13．已知函数的最大值为2.
⑴求的值及的最小正周期；
⑵求的单调递减区间.
【答案】（1），（2）.
【解析】【详解】
⑴
因此，当时，取得最大值.
又因为的最大值为2，所以，即.的最小正周期为.
⑵由⑴得，令，.
得，.
因此，的单调递减区间为，.
14．数列为等差数列，且满足，数列满足
，的前n项和记为.问：当n为何值时，取得最大值，说明理由.
【答案】16
【解析】【详解】
因为，所以.解得.
所以d＜0，.
故是首项为正数的递减数列.
由，即，解得.
即，，所以，
所以，
而，.
故，，，，
又
所以中最大，即n=16时，取得最大值.
15．如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，
交ON于B.△PMA与△OAB的面积分别记为、，比较与3的大小，说明理由.
【答案】
【解析】【详解】
如图，抛物线过点P（-1，1），得，所以抛物线的方程为.
设直线l的方程为（其中k＞0），由得.
设M（），N（），那么有，A（），，.
又ON的方程为，故B（），所以，，
有
可得
由题意知，故，.
又因为，，所以.
16．设x，y，z≥0，且至多有一个为0，求
的最小值.
【答案】12
【解析】【详解】
不妨设.
情形一：当时，因为；
；
.
所以
当且仅当，且时，取到12.
情形二：当时，又，故，从而. 故
.
综上，.。