2019_2020学年高中数学第2章数列2.1.1数列课件新人教B版必修5
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(4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒 数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an＝(－ 1)nnn1＋1(n∈N＋)．
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析， 抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
[思路探究] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与 分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出 通项公式．
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一 成分数再观察：12，42，92，126，225，…，所以，它的一个通项公式为 an＝n22(n∈N＋)．
(2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5 ＝2n＋3. ∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的 求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
数列的通项公式的意义 [探究问题] 1．数列12，34，78，1156，3312，…的通项公式是什么？该数列的第 7 项是什么？225556是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为 an＝2n2－n 1，当 n＝7 时，a7＝272－7 1＝112278，若225556为该数列中的一项，则2n2－n 1＝225556， 解得 n＝8，所以225556是该数列中的第 8 项．
【例 3】 已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． [思路探究] 先根据已知条件解方程求 an，再利用作差法或作商 法判断数列{an}的增减性．
[解] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n， ∴an－a1n＝－2n，即 a2n＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n. (2)法一(作差法) ∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
变化趋 常数列
各项_相__等__的数列
势
从第 2 项起，有些项_大__于__它的前一项，有些
摆动数列
项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与_n_之间的关系可以用一个函数式 _a_n_＝__f(_n_)__来表示，那么这个_公__式__叫做这个数列的通项公式．
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象 有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的 图象是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离 散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一 个递减数列，且前两项为正数项，从第 3 项往后各 项为负数项．
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出 现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数 的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外 的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对 于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还 是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序 号 n 的关系为n＋n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋n＋n 1＝ nn2＋＋21n(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…， 易知数列 9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数 列的一个通项公式为 an＝19(10n－1)(n∈N＋)．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及 由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
3．要注意以下两个易错点： (1)并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π 的不同近似 值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通 项公式． (2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
第二章 数列
2.1 数 列 2.1.1 数 列
学习目标 1.理解数列的概念．(重点)
核心素养 1.通过数列概念的学习，培养学
2．掌握数列的通项公式及应 生的数学抽象的素养．
用．(难点)
2．通过数列通项公式的学习，
3．能根据数列的前几项写出数 提升学生的逻辑推理的数学素
列的一个通项公式．(易错点) 养.
法二(作商法)
∵an>0，∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
n2＋1＋n n＋12＋1＋n＋1<1.
∴an＋1<an.∴数列{an}是递减数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后 代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数 值．
故 n＝4.]
2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )
A．380
B．392
C．321
D．232
A [因为 19×20＝380，
所以 380 是数列{n(n＋1)}中的第 19 项．应选 A．]
3．下列说法正确的是________(填序号)． ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列； ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列 1,2,3,4，…，2n 是无穷数列． ② [因为{ 0,1,2,3,4,5} 是集合，而不是数列，所以①错误；②正 确；数列 1,2,3,4，…，2n 共有 2n 项，是有穷数列，所以③错误．]
(2)各项加 1 后，变为 10,1 10n，可得原数列的通项公式为 an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n－1 表示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n＋ 1)2 表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用 n 表示，综上，原 数列的通项公式为 an＝n＋2n1－2－ 1 n(n∈N＋)．
思考：数列所对应的图象是连续的吗？ [提示] 不连续．
1．已知数列{an}的通项公式为
A [设110是数列中的第 n 项，
an＝n2＋2 n，那么110是它的(
)
则110＝n2＋2 n，解得 n＝4 或 n＝－
A．第 4 项 B．第 5 项
5.∵－5∉N＋，∴n＝－5 应舍去，
C．第 6 项 D．第 7 项
自主预习 探新知
1．数列的概念及一般形式
思考：数列的项与项数一样吗？ [提示] 不一样．
2．数列的分类
类别
含义
按项的 有穷数列
项数_有__限__的数列
个数 无穷数列
项数_无__限__的数列
递增数列 从第 2 项起，每一项都_大__于_它的前一项的数列
按项的 递减数列 从第 2 项起，每一项都_小__于_它的前一项的数列
1．给出下列数列： ①2011～2018 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列 82,93,105,119,129,130,132,135. ②无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3，…. ③－2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列－2,4，－ 8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是 ________，常数列是________，摆动数列是________．
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
＝
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1，
又 n＋12＋1>n＋1， n2＋1>n，
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋ n2＋1<1.
∴an＋1－an<0，即 an＋1<an.∴数列{an}是递减数列．
[解] (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15 ＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是 an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数 列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝ (－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
思考：数列一定有通项公式吗？ [提示] 不一定．
4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 _正__整__数__集__N__＋_ (或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量_从__小__到__大__依__次__取__值__时对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2) _列__表__法；(3) _图__象__法
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等 于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为 数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
3．已知数列的通项公式为 an＝n2＋2n－5. (1)写出数列的前三项； (2)判断数列{an}的单调性． [解] (1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10.
[解析] ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③ 为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周 期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
[答案] ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特 点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的 元素也具有确定性；
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000 不构成数列．( ) (2){an}与 an 是一样的，都表示数列．( ) (3)数列 1,0,1,0,1,0，…是常数列．( ) (4)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列．( )
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出 项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数 列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－ 1)n 或(－1)n＋1 来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…； (4)1,11,111,1 111，….
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时 ①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式 【例 2】 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
合作探究 提素养
数列的概念及分类 【例 1】 已知下列数列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； ④1,0，－1，…，sinn2π，…；
⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是 ________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是 ________．(填序号) [思路探究] 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列， 常数列及摆动数列的定义求解．
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析， 抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
[思路探究] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与 分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出 通项公式．
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一 成分数再观察：12，42，92，126，225，…，所以，它的一个通项公式为 an＝n22(n∈N＋)．
(2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5 ＝2n＋3. ∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的 求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
数列的通项公式的意义 [探究问题] 1．数列12，34，78，1156，3312，…的通项公式是什么？该数列的第 7 项是什么？225556是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为 an＝2n2－n 1，当 n＝7 时，a7＝272－7 1＝112278，若225556为该数列中的一项，则2n2－n 1＝225556， 解得 n＝8，所以225556是该数列中的第 8 项．
【例 3】 已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． [思路探究] 先根据已知条件解方程求 an，再利用作差法或作商 法判断数列{an}的增减性．
[解] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n， ∴an－a1n＝－2n，即 a2n＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n. (2)法一(作差法) ∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
变化趋 常数列
各项_相__等__的数列
势
从第 2 项起，有些项_大__于__它的前一项，有些
摆动数列
项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与_n_之间的关系可以用一个函数式 _a_n_＝__f(_n_)__来表示，那么这个_公__式__叫做这个数列的通项公式．
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象 有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的 图象是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离 散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一 个递减数列，且前两项为正数项，从第 3 项往后各 项为负数项．
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出 现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数 的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外 的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对 于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还 是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序 号 n 的关系为n＋n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋n＋n 1＝ nn2＋＋21n(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…， 易知数列 9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数 列的一个通项公式为 an＝19(10n－1)(n∈N＋)．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及 由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
3．要注意以下两个易错点： (1)并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π 的不同近似 值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通 项公式． (2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
第二章 数列
2.1 数 列 2.1.1 数 列
学习目标 1.理解数列的概念．(重点)
核心素养 1.通过数列概念的学习，培养学
2．掌握数列的通项公式及应 生的数学抽象的素养．
用．(难点)
2．通过数列通项公式的学习，
3．能根据数列的前几项写出数 提升学生的逻辑推理的数学素
列的一个通项公式．(易错点) 养.
法二(作商法)
∵an>0，∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
n2＋1＋n n＋12＋1＋n＋1<1.
∴an＋1<an.∴数列{an}是递减数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后 代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数 值．
故 n＝4.]
2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )
A．380
B．392
C．321
D．232
A [因为 19×20＝380，
所以 380 是数列{n(n＋1)}中的第 19 项．应选 A．]
3．下列说法正确的是________(填序号)． ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列； ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列 1,2,3,4，…，2n 是无穷数列． ② [因为{ 0,1,2,3,4,5} 是集合，而不是数列，所以①错误；②正 确；数列 1,2,3,4，…，2n 共有 2n 项，是有穷数列，所以③错误．]
(2)各项加 1 后，变为 10,1 10n，可得原数列的通项公式为 an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n－1 表示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n＋ 1)2 表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用 n 表示，综上，原 数列的通项公式为 an＝n＋2n1－2－ 1 n(n∈N＋)．
思考：数列所对应的图象是连续的吗？ [提示] 不连续．
1．已知数列{an}的通项公式为
A [设110是数列中的第 n 项，
an＝n2＋2 n，那么110是它的(
)
则110＝n2＋2 n，解得 n＝4 或 n＝－
A．第 4 项 B．第 5 项
5.∵－5∉N＋，∴n＝－5 应舍去，
C．第 6 项 D．第 7 项
自主预习 探新知
1．数列的概念及一般形式
思考：数列的项与项数一样吗？ [提示] 不一样．
2．数列的分类
类别
含义
按项的 有穷数列
项数_有__限__的数列
个数 无穷数列
项数_无__限__的数列
递增数列 从第 2 项起，每一项都_大__于_它的前一项的数列
按项的 递减数列 从第 2 项起，每一项都_小__于_它的前一项的数列
1．给出下列数列： ①2011～2018 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列 82,93,105,119,129,130,132,135. ②无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3，…. ③－2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列－2,4，－ 8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是 ________，常数列是________，摆动数列是________．
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
＝
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1，
又 n＋12＋1>n＋1， n2＋1>n，
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋ n2＋1<1.
∴an＋1－an<0，即 an＋1<an.∴数列{an}是递减数列．
[解] (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15 ＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是 an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数 列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝ (－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
思考：数列一定有通项公式吗？ [提示] 不一定．
4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 _正__整__数__集__N__＋_ (或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量_从__小__到__大__依__次__取__值__时对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2) _列__表__法；(3) _图__象__法
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等 于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为 数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
3．已知数列的通项公式为 an＝n2＋2n－5. (1)写出数列的前三项； (2)判断数列{an}的单调性． [解] (1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10.
[解析] ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③ 为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周 期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
[答案] ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特 点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的 元素也具有确定性；
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000 不构成数列．( ) (2){an}与 an 是一样的，都表示数列．( ) (3)数列 1,0,1,0,1,0，…是常数列．( ) (4)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列．( )
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出 项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数 列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－ 1)n 或(－1)n＋1 来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…； (4)1,11,111,1 111，….
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时 ①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式 【例 2】 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
合作探究 提素养
数列的概念及分类 【例 1】 已知下列数列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； ④1,0，－1，…，sinn2π，…；
⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是 ________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是 ________．(填序号) [思路探究] 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列， 常数列及摆动数列的定义求解．