《定积分在物理中的应用》名师课件2

a
a
c
Oa
yf (x) bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
复习引入
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a
f (x)dx
F(b)
-
F(a )
或
b a
f ( x)dx
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物 理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断 速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正 或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误.
巩固训练
1、有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的 正方向与x轴正方向一致)．求： (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解： (1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴
正方向运动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．
例题讲解
解：在弹性限度内,拉伸（或压缩） 弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩） 的长度成正比，即
F(x) kx
其中常数 k 是比例系数.
素养提炼 对三个物理量的理解
归纳小结
1.作变速直线运动的物体,速度函数为v v(t) 其中t a,b ，则物体在区间a,b上所经过的路程
b
S a v(t)dt
2. 如果物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x) 相同的方向从x a 移动到, x b(a b) 那么如何计算变力F(x) 所做的功W 呢？
(x)
10 3x
(0 x 2) 4 (x 2)
的作用下沿
与力F(x) 相同的方向,从 x 0处运动到 x 4处 (单位：m)，则力 F(x) 所做的功为多少？
b
W a F (x)dx
作业
课本P60 习题A组4、5
巩固练习
练习一
以初速度20m / s 竖直向上抛一物体，t 时刻 的速度v 20 -10t(单位：m/s) ,则此物体达到最 高时的高度为多少？
巩固练习
练习二
3t, (0 t 10)
一物体沿直线以v(t)
30,
(10 t 40)
Q
l
由变力做功公式可得
F
答：克W服弹力0l所k x做dx的功12为k1xk2l2l0J
.
1 2
kl2 ( J
)
2
例题讲解
解：
如图，阴影部分的面积即F(x)所做的功．
方法归纳 求变力做功的方法步骤
巩固训练
2、物体按规律x＝4t2(米)做直线运动，设介质的阻力与速度成正 比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x＝0到x＝2阻 力所做的功．
b
W a F (x)dx
例题讲解
例1、某点在直线上从时刻 t 0(s) 开始，以速 度 v t 2 - 4t 5(m / s) 运动,求该点前4秒行驶
的路程.
解：由题可知
s 4 (t 2 - 4t 5)dt 0
(1 3
t3
-
2t 2
5t )
4 0
64 - 32 20 3
28 3
b
s a v(t)dt
问题探究
变力做功问题
一物体在恒力F (单位：N) 的作用下做直线 运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s (单位：m) ,则力F所做的功为
W Fs
问题探究
变力做功问题
如果物体在变力F(x) 的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x) 相同的方向从x a 移动到, x b(a b) 那么如何计算变力F(x)所做的功 W 呢？
解：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x. 又 F＝kv(k 是比例系数)， 且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x， 又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 xdx＝－185x32|20＝－1165 2(焦耳)． 0
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
定积分在物理中的应用
复习引入
1、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
y
yf (x)
Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx -aSf (x)dxc fx f (x)dx
f (x)dx。
例题讲解 例2、一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s) 运动，求： (1)在t＝4 s时的位置； (2)在t＝4 s时运动的路程．
解：
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0，在区间[1，3]上，v(t)≤0，
F ( x) |ba
F(b) - F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
问题探究
v
S
o
t
v
v
S
vto t
ot
以直代曲 极限思想
问题探究
P 放大
P
变速直线运动
再放大
P
匀速直线运动
问题探究
变速直线运动问题
作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等
于其速度函数v v(t) (v(t) 0) 在时间区间 a,b上的 定积分，即
-1.5t 90, (40 t 60)
（单位：m/s）的速度运动，求该物体在这1分 钟内行驶的路程.
巩固练习
练习三
一物体在力F(x) 3x 4 (单位：N) 的作用 下沿着与力F(x)相同的方向,从 x 0 处运动到x 4 处，求力F ( x) 所做的功.
巩固练习
练习四
一物体在力
F