海南中学2021届高三第一学期第四次月考数学试题及答案

海南中学2021届高三第四次月考
数学试题卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}
2(,)|B x y y x ==，则A
B =（ ）
A.{(1,1)}
B.{(2,4)}-
C.{(1,1),(2,4)}-
D.∅
2. 已知(,)a bi a b +∈R 是
11i
i -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.1
2
D.1
3. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )
A.3
B.2
C.2-
D.3-
4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为
胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次
数，若a 1＝1．且a n ＝11
21,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数
为奇数，
则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A ．13
B ．16
C ．31
D ．64
5. 已知,,2⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 3
2- .B 35 .C 552- .D 25
- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设2
1
log 3
n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )
A ．16
B ．80
C ．120
D ． 150
7. 已知3
223
ln 2ln 3
,log ,23a b c ===
，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>
8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=
f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x
+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+1
e
，十∞) B.(e+2
e
,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC ==
B ．MA →+MB →+M
C →=0→
C ．CM →
=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →
10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(2
2
π
π
φ-
<<
)的图象关于直线4
x π
=
对称,则( )
A. 函数()12
f x π
+
为偶函数
B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递増 C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为
3
π
D. 函数f(x)的图象向右平移π
4
个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象
11. 下列说法中正确的是（ ）
.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n
.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大
.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则5
4
2sin =
x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )
A.f(x)在(0, +∞)上是增函数
B.f(x)存在唯一极小值点x 0
C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点
D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()⎩⎨
⎧<≥+=.
0,3,0,122
x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .
14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .
15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()
1,3m →
=-，向量
()A A n sin ,cos =→
，若→
→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .
16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且
21
1
n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且17
8
a a AP AB AC
b λ+=+，则实数的值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直
的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测
{}n a {}n b n A BC P BC λ
量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°． (1)求烟囱AB 的高度；
(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．
18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已
知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；
(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=--
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅．
（1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π
+∈，求a b
的取值范围.
20. 已知函数3
2
()22
a f x x x bx =-
++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值.
21. 已知n S 是数列}{
n a 的前n 项和，12a =，0n a >且2
1112
n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 1
12
12n a n b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，1
1(2)
n c n n =+
+，*123
()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列
1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：3
8n
T ≥.
22. 已知()ln f x x =，213
()22
g x ax x =
-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；
（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121
()()(2)()2
h x h x a x x -<--.
海南中学2021届高三第四次月考试题
数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}
2(,)|B x y y x ==，则A
B =（
C ）
A.{(1,1)}
B.{(2,4)}-
C.{(1,1),(2,4)}-
D.∅
2.已知(,)a bi a b +∈R 是
11i
i -+的共轭复数，则a b +=（ D ） A.1- B.12- C.1
2
D.1
3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( A )
A.3
B.2
C.2-
D.3-
4、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝11
21,22,n n a n a n ---⎧⎨
+⎩为偶数
为奇数，
则解下6个环所需的最少移动次数为（ C ）
A ．13
B ．16
C ．31
D ．64
5、已知,,2⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan = （ C ） .A 3
2- .B 35 .C 552- .D 25
- 6、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21
log 3
n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( C )
A ．16
B ．80
C ．120
D ． 150
7、已知3
223
ln 2ln 3
,log ,23a b c ===
，则 （ A ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>
8.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x
+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( D )
A. (e+1
e ，十∞) B.(e+2
e ,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（BC ） A ．MA MB MC ==
B ．MA →+MB →+M
C →=0→
C ．CM →
=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →
10.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ( —π
2<φ<π
2)的图象关于直线x=π
4对称,则( CD ) A. 函数
f(x+π
12)为偶
函数
B. 函数f(x)在[π12,π3]上单调递増
C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为π
3
D. 函数f(x)的图象向右平移π
4个单位长度得到函数y=−sin 3x 的图象
11、下列说法中正确的是：（ CD ）
.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n
.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大
.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则5
4
2sin =
x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( ABC )
A.f(x)在(0, +∞)上是增函数
B.f(x)存在唯一极小值点x 0
C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点
D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥0，
3x 2，x ＜0，且f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 13或-3
14、若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 8
15、已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，
向量(m →
=-，向量
()A A n sin ,cos =→
，若→
→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B ；
3
π
16、设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且
211
n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且17
8
a a AP AB AC
b λ+=
+，则实数的值为_______5
8
-___. 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

{}n a {}n b n A BC P BC λ
17、如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和
河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°．
(1)求烟囱AB 的高度；
(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长． 【答案】(1)设AB 的高度为ℎ.在△CAB 中， 因为∠ACB =45°，所以CB =ℎ．
在△OAB 中，因为∠AOB =30°，∠AEB =60°， 所以OB =√3ℎ，EB =√3
3ℎ．
由题意得3
312h h -
=解得63h =． (2) 在△OBC 中，5cos 6
COB ∠=
所以在△OCE 中，CE=43
答： AB 的高为63米，CE 的长为43米．
18、设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n
(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T
[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q (q ＞0)． 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2， 可得q 2－q －2＝0.
因为q ＞0，可得q ＝2，故 所以S n ＝1－2n 1－2
＝2n
－1.
1032n a n =-
(2)22527,(352772,(4n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩）
）
19.
已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅． （1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，
B ，
C 的对边,若
24C M π
+∈，求a b
的取值范围 【答案】（1）12-
,5,12x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（
2）⎫+∞⎪⎪
⎝⎭
. 【解析】
（1（(
)
cos a x x =
（
()21sin cos sin2sin 223f x a b x x x x x x π⎛
⎫=⋅=== ⎪⎝
⎭－（()f x ∴的最大值为1此时22,32x k πππ-=+ 即512
x k π
π=+
5,12k z M x x k k z ππ⎧⎫∈∴=+∈⎨⎬⎩⎭
（2（
24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+（23
C k π
π=
+, ()0,C π
∈ 3
C π
∴=
21sin(
)sin sin 1322tan sin sin cos 2
B B B
a A B
b B
B B
π-+====
锐角△ABC 中
6
2
B π
π<<
tan B >
a b >20、已知函数32()22
a f x x x bx =-++ （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a
b 的值
（2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值。

（1）112
a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （2）当0b =时，2()3(3)f x x ax x x a '=-=-
202,133
a a ≤≤∴≤< ()0,0;3()0,13
a f x x a f x x '<<<'><< ()f x 在0,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调减，()f x 在,13a ⎛⎤ ⎥⎝⎦
是单调增 3
()2354
a a N f ==- (0)(1)f f <
(1)32
a M f ==- 3
1254
a a M N -=-+ 令3
()1254
a a g a =-+ 29()0,(02)18
a g a a -'=<≤≤ ()g a 在[]0,2上是减函数
()g a 最大值为(0)1g =，即M-N 的最大值为1
21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112
n n n S S a ++=+，其中*N n ∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 112
12n a n b -⎛⎫
= ⎪⎝⎭， 11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈ 记数列 1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证38n T ≥。

【详解】（1）当2n ≥时，有211212222n n n n n
n S a S S a S ++-⎧-=-⎨-=-⎩ 两式相减可得：()
22112n n n n a a a a ++-=+
因为0n a >，所以12n n a a +-= ()2n ≥
当1n =时，由222122S a S -=-，可得24a =，所以122a a -= 所以12n n a a +-=()*n N ∈
则数列}{
n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列. 所以2n a n = （2）112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭
= 设1(1)(1)1(2)(2)
n n n c n n n n ++=+=++，则： 12
n n S c c c ⋅= 2233(1)(1)1324
(2)n n n n ⨯⨯++=⨯⨯⨯⨯⨯+2(1)2n n +=+ 111
211(1)22(1)2n n n n n n b b n nS n n n n +++-+==-+⋅⋅+⋅， 12231111111()()()122222322(1)2n n n T n n +⎡⎤=-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯⋅+⋅⎣
⎦
， 1112(1)2n n +=-+⋅ {}n T 是递增数列，所以1n T T ≥，即38
n T ≥
22、已知()ln f x x =，213()22
g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+ （3）当2a =-时，求()h x 的单调区间
（4）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明12121
()()(2)()2
h x h x a x x -<-- 解析：（1）当2a =-时，23()ln 2
h x x x x =--+ (21)(1)()x x h x x
-+'=- ()0h x '>得102x <<
；()0h x '<得12x > ()h x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（1）21()ax x h x x
-+'= ()h x 存在两个极值点12,x x ，即12,x x 是210ax x -+=的两根
121211x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
要证12x x <，证明12121
()()(2)()2
h x h x a x x -<-- 即证221112*********(ln )(ln )(2)()22222x ax x x ax x a x x +-+-+-+<-- 即证221121212211ln ()()(2)()22
x a x x x x a x x x +---<-- 即证221121212212111ln ()()(2)()22
x x x x x a x x x x x +---<--+ 即证1122ln
2()x a x x x <-
即证112212
ln 2x x x x x x -<+ 即证112122
1ln 21x x x x x x -<+ 令12x t x =，(01)t <<，则1ln 21t t t -<+ 令1()ln 21
t F t t t -=-+ 21()0(1)
t F t t t +'=>+()F t 在(0,1)是增函数 ()(1),()0F t F F t << 1ln 2
1t t t -<+成立，所以原不等式成立。