高一数学 含有绝对值的不等式解法(启东名师)

含有绝对值的不等式解法
江苏省启东中学 王建彬
知识精讲
1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x ∈R ，a ∈R ＋，|x|≥0恒成立；a x a a x <<-⇔<||恒成立；a x a x >⇔>||或a x -<恒成立．
2.理解不等式||||b a -≤||b a +≤||||b a +，正确应用||||b a -≤||b a ±≤||||b a +，重视“取等号”的条件．
3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．
4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．
解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．
处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：
)()()(|)(|x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<；
)()()()(|)(|x g x f x g x g x f <<-⇔<；
22)]([)]([|)(||)(|x g x f x g x f >⇔>．
对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.
数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.
典例精析
不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧+->+->x x x x x 2233,0 的解集是（ ）
(A) {x|0＜x ＜2} B ． {x|0＜x ＜2．5} C ． {x|0＜x ＜6} D ． {x|0＜x ＜3} 分析一 运用分类讨论求解
解法一 因为x ＞0，故可分两种情形讨论第二个不等式的解．
当0＜x ≤2时，得(2＋x)(3－x)＞(2－x)(3＋x)，
即2x ＞0，故得0＜x ≤2 ．
当x ＞2时，得(2＋x)(3－x)＞(x －2)(3＋x)，
即x 2＜6，故得2＜x ＜6．
综合，得不等式组的解集：{x|0＜x ＜6}，故选C ． ．
分析二 运用等价转化法求解．
解法二 由x x x x +->+-2233 可知033>+-x
x ， 两边平方，原不等式组等价于
60.
0)6)(6(,0<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>⇔x x x x x ，故选C ． ． 分析三 运用特殊值验算法求解．
解法三 由四个选项可知，只要代入2，2.5，6，3即可分晓，x=2代入不等式成立，选项(A)可排除；x=2.5代入得4.5＞5.5不成立，选项B 可以排除；x=3代入得510>
不成立，同理排除D ，故C 正确 ．
总结 解法一的去掉绝对值号分段讨论，解法二的平方转化法，虽然都是常规解法，但这样解与解答题无异，与选择题的快速、低分值是不相称的，尤其是运算量大的选择题，必须选择解答选择题的最佳方法，如利用选项提供的端点进行半估半算，逐一排除不正确的选项，这样比常规解法更快捷 ．实际上，6=x 代入时，使不等式对应的方程x
x x x +-=+-2233成立，与6非常接近的数使得不等式成立，根据函数、方程、不等式三者间的特殊关系，可猜想
C ．成立． 这比解法一的常规解法，去掉绝对值符号分类讨论，和解法二中的平方升次求
解都简捷．
解不等式|x ＋1|－|x －1|＞1．
分析 本题含两个绝对值符号，可以通过讨论，或用平方的方法来去绝对值号加以解决． 解法一 （分段讨论）
不等式左边有两个零值点x 1=－1，x 2=1，于是可分为三段进行讨论．
（1）当x ＜－1时，原不等式可化为⎩
⎨⎧>-++--<,11)1(,1x x x 解得 ∅∈x ．
（Ⅱ）当－1≤x ≤1时，原不等式可化为
解得 x <2
1≤1 ． （Ⅲ）当x ＞1时，即不等式可化为
解得 x ＞1 ．
综上，原不等式的解集为 }2
1|{>x x ． 总结 含两个或两个以上绝对值号的不等式，可先求出每个绝对值的零值点，这些零值点把数轴分为若干区间，可从左到右，对每个区间上的情况进行讨论，得出不等式在各区间上的解集，再把它们并起来，即为原不等式的解集．
解法二 （平方法）
1|1||1|1|1||1|+->+⇒>--+x x x x ，
两边平方可得 1|1|2121222+-++->++x x x x x ，
整理得 2
12|1|-<-x x ， 等价于⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-->--<-).212(1,2121x x x x
解得 2
1>x ． ∴ 原不等式解集为 }2
1|{>x x ． 总结 移项后，不等式两边均非负，可以使用不等式的性质同解变形，去掉一个绝对值符号，整理后，即转化为已有固定模式而获解决．
x 的等式22
(1)(1)22
a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ⊆的a 的取值范围．
分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ⊆的a 的取值范围． 解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222
a x a a --≤-+≤- 2222
(1)(1)(1)(1)22
a a a a x +--++-≤≤, ∴{}221A x a x a =≤≤+．
由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤，
当312,a +≥即13a ≥
时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13
a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ⊆，只要222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩
，得13a ≤≤． 当13a <
时，若使A B ⊆，只要231212a a a +≤⎧⎨+≤⎩，得a ＝－1． 综上，使A B ⊆的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或．
总结 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤，那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ⊆时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性．
高考链接
(2004年全国高考北京卷)某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

（I ）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差
（II ）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围.
分析 本题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解.
【解】（I ）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是
|7300|-v 和|11480|-v （II ）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 2|11480||7300|≤-+-v
v （*） 当03007
<≤v 时，（*）式变形为2114807300≤-+-v v 解得730039≤
≤v 当114807300≤<v 时，（*）式变形为2114803007≤-+-v
v 解得
114807300≤<v 当11480>
v 时，（*）式变形为248011007≤-+3-v v 解得4
19511480≤<v 综上所述，v 的取值范围是[39，4195]。