2022-2022年高二下半年期末考试数学试卷(山东省聊城市)

2022-2022年高二下半年期末考试数学试卷

（山东省聊城市）

选择题

某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生

第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则，∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到

文科题的概率为，选B

选择题

由曲线与直线，所围成封闭图形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题曲线与的交点为，则

，选A

解答题

在某次电影展映活动中，展映的影片有科幻片和文艺片两种类型，统计一随机抽样调查的样本数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，女性观众中有的选择文艺片，选择文艺片的观众中男性观众和女性观众一样多.

（Ⅰ）根据以上数据完成下列列联表

（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关？

附：

…

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

…

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件直接完成列联表即可．

（Ⅱ）根据表中数据计算，然后判断“观影类型与性别有关”．试题解析:（Ⅰ）观看文艺片的男性观众有人，所以观

看文艺片的女性观众有40人，女性观众共有人.得到列联表如下：

（Ⅱ）由（Ⅰ）中列联表的数据可得，

.

因为，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关.

填空题

已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】设则不等式等价为

设则的导函数

，此时函数单调递减，

则当时，

即则此时即不等式

的解为，

即的解为

由，解得，

即不等式的解集为，

选择题

将甲、乙、丙、丁四名大学生分配到三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲、乙不能去同一个学校，则不同的分配方案共有（）

A. 36种

B. 30种

C. 24种

D. 20种

【答案】B

【解析】将甲、乙、丙、丁四名大学生分配到三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，共有种方法，若甲、乙不能去同一个学校，则不同的分配方案共有种，选B

选择题

用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上增加（）.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】试题分析：当时，等式左端，当

时，等式左端

，增加了项

，故选D．

选择题

某单位1-4月份用水量（单位：百吨）的一组数据如下表所示：

根据收集到的数据，由最小二乘法可求得线性回归方程，则（）

A. B. 0.7 C. D. 0.75

【答案】A

【解析】线性回归方程是

选择题

已知函数，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，选C

选择题

（）

A. B. C. D. 1

【答案】B

【解析】由题，，选B

解答题

已知函数（）.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：当时，.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数在点

处的切线与轴垂直，可得切线的斜率，从而可求的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点，则，即有两个不同的根，且的值在根

的左、右两侧符号相反.

令，讨论其性质即可得到的取值范围；

（Ⅲ）令（），则，

.

令，讨论的性质可得以时，，即时，.

试题解析:（（Ⅰ）由得.

因为曲线在点处的切线与轴垂直，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点，则，即有两个不同的根，且的值在根的左、右两侧符号相反.

令，则，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

又当时，；时，；时，；

时，，

所以.即所求实数的取值范围是.

（Ⅲ）证明：令（），则，

.

令，则，

因为，所以，，，，

所以，即在时单调递增，

又，所以时，，即函数在时单调递增.

所以时，，即时，.

解答题

已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，.

（Ⅰ）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；

（Ⅱ）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）0.08.（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据身高服从正态分布，

计算出的值，则可得到

的值；

（2）求出的值，由，求出对应的概率值，得出随机变量的分布列，计算即可．

试题解析:（（Ⅰ）因为，，，

所以

.

所以.

即使用寿命在的概率为0.08.

（Ⅱ）因为，所以.

所以；

；

；

.

所以分布列为：