辽宁省大连海湾高级中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷

高三 数学(文科)
考生注意：
1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.设集合，
，则
A.
B.
C.
D.
2.已知表示虚数单位,则复数的模为
A. B. 1 C. D. 5
3.数列是等差数列，，
，则
A.16
B.-16
C.32
D.
4．已知33cos ,,sin 4522πππααα⎛
⎫+=≤<= ⎪⎝⎭则
A B C ． 5.设,x y 为正实数，且满足11
12x y
+=，下列说法正确的是（ ） A. x y +的最大值为
4
3
B. xy 的最小值为2
C. x y +的最小值为4
D. xy 的最大值为4
9
6.两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a
=-=+，则向量a b +与a 的夹角为
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
32π D ．6
5π
7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
(),,,,b d b d a b c d N x a c a c
*+∈+和则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道3149=3.14159,1015ππ⋅⋅⋅<<若令，则第一次用“调日法”后得16
5π是的更为精
确的过剩近似值，即3116
105
π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”
后可得π的近似分数为 A ．
22
7
B ．
7825 C ． 6320
D ．
109
35
8.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的
A.充分而不必要条件
B.充要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知函数()f x 满足下面关系：①()()11f x f x +=-；②当[]1,1x ∈-时，
()2f x x =，则方程()lg f x x = 解的个数是( )
A. 5
B. 7
C. 9
D. 10
10.设函数()4cos()f x x ωϕ=+对任意的x R ∈，都有()()3
f x f x π-=+，若函数
()sin()2g x x ωϕ=+-，则()6
g π
的值是（ ）
A ．1
B ．-5或3
C ．1
2 D ．-2
11.已知数列
的首项
，满足
，则
A. B. C. D.
12.定义在上的函数满足，则不等式
的解集为 A. B. C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应
的位置．
13.命题“000,1x x R e x ∃∈>+”的否定是__________________.
14.设函数()f x 是定义在实数上不恒为0的偶函数，且()()()11xf x x f x +=+，
则52f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
__________．
15.设()2sin cos 2f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间
为 .
16．在锐角△ABC 中， ,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，满足
()cos 1cos ,a B b A ABC =+∆且的面积S=2，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知函数2()cos(2)2sin ()3
f x x x a a π
=--+∈R ，且()03
f π=. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值.
18.（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos a C
sin 0C b c --=． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7
B =
，
2
AD =，求ABC ∆的面积．
19.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值．
(2)设b n ＝a n ＋3，试说明数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．
20.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 与{}n b 满足11(),n n b n a a q b b n N *++-=-∈。

（1）若123,1,2n b n a q =-==，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若111,2a b ==且数列{}n b 为公比不为1的等比数列，求q 的值，使数列{}n a 也是等比数列；
（3）若1,()n n a q b q n N *==∈且(1,0)q ∈-，数列{}n a 有最大值M 与最小值m ，求
M
m
的取值范围。

21．(本小题满分12分)
设函数．
(1)若
是函数
的一个极值点，试求
的单调区间；
(2)若，是否存在实数a ，使得在区间上的最大值为
4?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为
(为参数，)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
(2)若点P在直线l上，点Q在曲线C上，求的最小值．
23．(本小题满分10分)【选修4—5：不等式选讲】
已知函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：．
选择题：CADCB BCACD CD
填空题：13.,1x x R e x ∀∈≤+ 14.0 15. 16.( 82- 8 ,8 )
17.解：（Ⅰ）2()cos(2)2sin 3f x x x a π=--+1cos22cos2122
x x x a =++-+
3cos221
22x x a =+-+13(sin 2)122
x x a
=+-+
)13
x a π=+-+.因为
()03f π=,所以1a =. （Ⅱ）解法1：因为函数sin y x =的增区间为ππ[2π,2π],22
k k k -+∈Z .
由π
ππ2π22π2
3
2
k x k -++≤≤，k ∈Z ， 所以5ππ
ππ1212
k x k -
+≤≤，k ∈Z . 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]1212
k k -
+，k ∈Z . 因为函数()f x 在[0,]m 上是单调函数， 所以m 的最大值为
12
π
.
解法2：因为[0,]x m ∈，
所以ππ223
3
3
x m π++≤≤.
因为ππ[,]22-是函数sin y x =的增区间，
所以π
232
m π+≤.
所以π12
m ≤
. 所以m 的最大值为
12
π
.
18.（Ⅰ）∵cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：
sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即
()
sin cos sin sin sinC A C A C A C =++，化简得：cos 1A A -=，∴
()01
s i n 302
A -=
．在ABC ∆中，000180A <<，∴003030A -=，得060A =．
（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin 7
B =，
则()11sin sin 72C A B =+=
+=
sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-，
则
22129111
25492574427
x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，
故1
sin 2ABC S ac B ∆==
19. (1)当n ＝1时，由S 1＝a 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． 上述两式相减得a n ＋1＝2a n ＋3，所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 所以b n ＋1＝2b n ，且b 1＝6.
所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝6×2n －1.
所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n －1)．
21．解：（1）函数的定义域为（0,+∞）
=
∵x=1是函数的一个极值点，∴=0，即b=a+1 (2)
=
①当时，令>0得0<x<1,令<0得x>1，
故f(x)的增区间为(0,1),减区间为（1,+∞）； (3)
②当时，令>0得0<x<1或x>,令<0得1<x<。

故的增区间为（0,1），减区间……………………．．4分
③当时，不符合题意；……………………．．5分
④当时，令>0得0<x<或x>1，令<0得
故的增区间为减区间……………………．．6分（2）当时，=
∵,∴当，故为减函数
∴当，最大值为,()中的较大者………………8分设，
<0，∴=1->0
即在区间上为增函数，∴即> ()
∴,
故存在实数,使得在区间上的最大值为4．…………………12分
22．解：（1）由消去参数得：，
直线的普通方程为． (2)
由消去参数得：，即：，
化为极坐标方程为……………．．5分
（2）因为圆心到直线的距离等于，且圆的半径等于，所以……………．．10分
23．（1）解：由，
且的解集为得： (5)
（2）证明：
（当且仅当即时等号成立）
故．…………．．10分。