课堂探究数学归纳法

课堂探究数学归纳法
探求一 应用数学归结法证明等式
用数学归结法证明等式时，要留意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与n 的关系是什么，由n ＝k 到n ＝k ＋1时项数添加多少项，添加怎样的项等．
【典型例题1】 用数学归结法证明：11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝n 3n ＋1
(n ∈N ＋)．
证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×4＝14，左边＝13×1＋1＝14
， 左边＝左边，所以等式成立．
(2)假定当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即
11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1
， 那么当n ＝k ＋1时，
11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1(3k ＋1)(3k ＋4)
＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)
＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13k ＋4＝k ＋1
3(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知等式对n ∈N ＋成立．
探求二 用数学归结法证明不等式
运用数学归结法证明不等式时，在应用了归结假定后，要留意依据欲证目的，灵敏地运用比拟法、放缩法等技巧来停止证明．
【典型例题2】 用数学归结法证明：1＋12＋13＋ (1)
＞n (其中n ∈N ＋，n ＞1)． 思绪剖析：依照数学归结法证明数学效果的方法与步骤停止证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋
1成立时，可应用比拟法或放缩法证得结论．
证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12
，左边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞左边，即不等式成立．
(2)假定当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立，即
1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，那么当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1 . (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1
＝k 2＋k －k k ＋1
＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0， 所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，
即1＋12＋13＋ (1)
＋1
k ＋1 ＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1
＝k ＋1， 所以1＋12＋13＋ (1)
＋1k ＋1 ＞k ＋1. 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立，
由(1)(2)知原不等式成立．
点评 本例中在运用归结假定后，方法1是应用了比拟法，方法2是应用了放缩法来停止前面的证明．
探求三 用数学归结法证明整除效果
与正整数有关的整除性效果常用数学归结法证明，证明的关键在于第二步中，依据归结假定，将n ＝k ＋1时的式子停止增减项、倍数调整等变形，使之能与归结假定联络起来．
【典型例题3】用数学归结法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
思绪剖析：在第二步时留意依据归结假定停止拼凑．
证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假定当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
那么当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
由于k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．
探求四归结—猜想—证明
1．由条件首先计算数列{a n}的前几项的值，依据前几项值的特点，猜想出数列{a n}的通项公式或递推公式，应用数学归结法加以证明是求数列通项的一种罕见的方法．2．在对猜想失掉的结论用数学归结法停止证明时，要留意从归结的进程中发现证明的方法．
【典型例题4】某数列的第一项为1，并且对一切的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
思绪剖析：依据数列前五项写出这个数列的通项公式，要留意观察数列中各项与其序号变化的关系，归结出构成数列的规律．同时还要特别留意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归结法．
解：(1)a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，
∴a 2＝22.
∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝32
22. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242. 因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516
. (2)观察这个数列的前五项，猜想数列的通项公式应为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，
n 2
(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.
下面用数学归结法证明当n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝n 2(n －1)2
. ①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，猜想正确． ②假定当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，猜想正确，
即a k ＝k 2(k －1)2
. ∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，
a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，
∴a k ＋1＝(k ＋1)2
(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2
k 2 ＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2
[(k ＋1)－1]2
， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．
依据①和②，可知当n ≥2，n ∈N ＋时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2. ∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，
n 2(n －1)2，n ≥2，n ∈N ＋.
探求五 易错辨析
易错点：因不运用归结假定而出错
【典型例题5】 用数学归结法证明：
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)
(n ∈N ＋)． 错证：(1)当n ＝1时，左边＝12×4，左边＝14(1＋1)＝14×2
，等式成立． (2)假定当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，那么当n ＝k ＋1时，直接运用裂项相减法求得
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)
＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －12k ＋2＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＋4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12k ＋4＝k ＋14[(k ＋1)＋1]
，即当n ＝k ＋1时等式成立． 由(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N ＋都成立．
错因剖析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的证明没有用归结假定，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归结法证明，不契合标题要求．
正确证法：(1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18
，左边＝18，等式成立． (2)假定当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)
成立． 那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)
＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)
＝(k ＋1)2
4(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．
由(1)和(2)，可知对一切n∈N＋等式都成立．。