初中数学《整式的乘法与因式分解》例题解析

初中数学《整式的乘法与因式分解》例题解析

一、整式的乘法

例题

例1：计算：

a2·(－a)3·(－a)；

x n·x n＋1·x n－1·x；

(x－2y)2·(2y－x)3

解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4

＝－a9；

原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；

方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3

＝－(x－2y)5

方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3

＝(2y－x)5

例2：下列运算中正确的是（）

A.a2＋a3＝a5

B.a2·a3＝a6

C.a2＋a3＝a

D.(a2)3＝a6

解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；

a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；

a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；

D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。

答案：D

例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。

解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。

解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.

例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；

－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.

解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.

原式＝－6×m3n3(x－y)5

＝－2m3n3(x－y)5.

例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a＋3)(a－5)

解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3

原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－

(2a2－10a＋3a－15)

＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15

例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；

(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)

解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.

原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40

二、因式分解

例题

例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）

A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21

B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)

C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21

D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25

解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.

答案 B

例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )

解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.

例9：下面分解因式正确的是（）

A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1

B.(x2－4)x＝x3－4x

C．ax＋bx＝（a＋b）x

D.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2

解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m＋n2＝(m－n)2

答案：C

例10：把下列各式分解因式：

－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；

4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；

(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；

9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2

解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)

＝－x2y4(4xy－3)2；

原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2

＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；

原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]

＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；

原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋

[5(x＋b)]2

＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2

＝(8x＋3a＋5b)2.

关键提醒：

因式分解的步骤：

(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.

(2)再看能否使用公式法.

(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.

(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。

因式分解巧妙解题法

例11：分解因式（x＋y）4＋x4＋y4。

解析：常规策略：可直接展开后，再分解因式。

巧妙解法：运用配方法解题

原式＝（x＋y）4＋[（x2＋y2）2－2x2y2]

＝（x＋y）4＋[（x＋y）2－2xy]2－2x2y2

＝2（x＋y）4－4xy（x＋y）2＋2x2y2

＝2[（x＋y）2－xy]2

＝2（x2＋xy＋y2）2。

关键提醒：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。

思考：如何运用配方法分解因式x4＋4？

例12：分解因式

x2（y－z）＋y2（z－x）＋z2（x－y）。

解析：常规策略：直接展开，用分组分解法解。

巧妙解法：主元法解题，把原式看作x的二次三项式去分解。

原式＝（y－z）x2－（y2－z2）x＋yz（y－z）

＝（y－z）[x2－（y＋z）x＋yz]

＝（y－z）（x－y）（x－z）。

关键提醒：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。

思考：如何用主元法分解因式

x4＋x2＋2ax＋1－a2。

例13：分解因式

（n－2）（n＋2）（n＋4）n＋12。

解析：常规策略：直接展开，重新组合，但较复杂。

巧妙解法：利用换元法解题。

原式＝（n2＋2n－8）（n2＋2n）＋12。

令n2＋2n＝A，

则原式＝（A－8）A＋12

＝A2－8A＋12＝（A－2）（A－6）

＝（n2＋2n－2）（n2＋2n－6）。