解密07 三角恒等变换-备战2018年高考数学文之高频考点

考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1
已知πππcos )2
22αα⎛⎫
+=-<<
⎪⎝⎭,则πsin 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
A B C D 【答案】A 【解析】∵πcos sin 2αα⎛⎫
+=-=
⎪⎝⎭
∴sin α=
∴π
02α-
<<,
∴cos α=
∴π
ππsin()sin cos
cos sin 333ααα+=+=
.选A ． 调研2 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3
－α
＝－14，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－
1
tan α
的值． 【解析】(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1
2
， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，
所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.
(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2
α－cos 2
αsin αcos α＝－2cos 2α
sin 2α
＝
－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
321
2
＝2 3.
☆技巧点拨☆
三角恒等变换的“四大策略”：
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝tan 45° 等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β
等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值
调研3 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点()1,2,则
tan2θ= ．
【答案】43
-
【解析】由题意可得tan 2θ=,所以tan2θ=2
2tan 1tan θθ-=4
3
-.
调研4 已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且sin α=则πtan 24α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭ ．
【答案】1
7
-
【解析】由题可知π,π2α⎛⎫∈
⎪⎝⎭
,
因为sin 5α=
所以cos 5
α=-则1tan 2α=-,故2
tan tan 4tan21tan 3αααα+==--, 则πtan211tan 241tan27
ααα+⎛
⎫+
==- ⎪
-⎝
⎭.
☆技巧点拨☆ 公式的常见变形：
（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()
αβαβ
αβαβαβ+-=-
=-+-.
（2）降幂公式：2
1cos 2sin 2αα-=
；2
1cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22
ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；2
1cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；
21sin 2(sin cos )ααα-=-.
（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=
+，其中
cos ϕϕ=
=
，
tan b
a
ϕ=
.
考点2 三角恒等变换的综合应用 题组一 与三角函数的图象及性质相结合
调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移
π
3
个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最小值为 .
【答案】
2
【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
∴
y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin cos 22
x x -=π6x ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭.
π,π2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,
∴当π5π66x -
=时,min y =题组二 与向量相结合
调研2 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)
x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期
为2π．
(1)求函数()f x 的表达式;
(2)设π0,
2θ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭,且()6
5
f θ=,求cos θ的值．
【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅=+-a b π2sin 3x ω⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
, 因为函数()f x 的最小正周期为2π,所以2π
2πω
=,解得1ω=,
所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
．
(2)由()65f θ=,得π3sin 35θ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭,
因为π0,
2θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4
cos 35θ⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭,
所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=413525⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=410
+． 题组三 与解三角形相结合
调研3 已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,cos sin A a C +=. (1)求角A 的大小;
(2)若5,ABC b c S +==△求a 的值.
【解析】(1)cos sin A a C +,cos sin sin C A A C C +=,
∵sin 0C ≠,sin A A +
∴1π2sin 2sin 23A A A ⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∴πsin 3A ⎛⎫+
= ⎪
⎝
⎭, ∵ππ4π,333A ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭,∴π2π33
A +=, 即π3
A =
.
(2)由11πsin sin 223ABC S bc A bc ==
==△,得4bc =, ∵2
2
2
π2cos 3
a b c bc =+-=()22
253413b c bc bc +--=-⨯=,
∴a =
☆技巧点拨☆
此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在
π
(0,)2
内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意
.
1．（2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考）的值为
A
．
B ．12 C
．
2-
D ．12-
【答案】A
【解析】===
=.
2．（2017-2018学年四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟）已知π2tan ,tan 34m m αα⎛
⎫=
+= ⎪⎝
⎭，则m =
A ．61-或
B ．16-或
C ．6
D ．1
【答案】
A
3．（2017-2018学年江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试）若
()()sin cos cos sin αβααβα---=,m 且β为第三象限角,则cos β的值为
A
B
． C
D
．
【答案】B
【解析】由题可得()()(),sin cos cos sin sin αβααβααβα---=--=sin β-=,m 所以sin m β=-.
因为β为第三象限角,所以cos β=.故选B ．
4．（2017-2018学年河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛）已知π1cos 63
x ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭,则cos x +πcos 3x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
A B
C ．12
D ．
3
【答案】D
5．（2017-2018学年安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等高三上学期“五校”联考）为了得到函数
2π2cos 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象,只需把函数sin2y x =-的图象上所有的点
A ．向右平行移动
π
4
个单位 B ．向左平行移动
π
4
个单位 C ．向上平行移动1个单位 D ．向下平行移动1个单位
【答案】C
【解析】2
ππ2cos cos 21sin 2142y x x x ⎛⎫⎛⎫=+
=++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以只需把函数sin2y x =-的图象向上平移1个单位，即可得到2
π2cos 4y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，故选C ．
6．（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）若()sin2αβα=
-=
且][π
3π,π,π,
42αβ⎡⎤
∈∈⎢⎥⎣⎦
,则αβ+的值是 A ．7π
4
B ．
9π
4
C ．5π4或7π4
D ．5π4或9π4
【答案】A
7．（2017-2018学年浙江省部分学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期联考）设sin2sin ,ααα=∈()0,π,则cos α= ;tan2α= .
【答案】
1
,2
【解析】∵()sin2sin ,0,πααα=∈,∴2sin cos sin ααα=, ∵sin 0,α≠∴1cos 2α=,∴π3
α=,
∴2π
tan2tan
3
α==8．（2017-2018学年湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考）若
πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭4
,5
=则sin2α=__________.
【答案】
7
25
【解析】2ππ167sin2cos 22cos 121.242525ααα⎛⎫⎛⎫
=-=--=⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9．（2017-2018学年江西省抚州市临川区第一中学高三上学期第三次月考）在平面直角坐标系xOy 中,已知
角α的顶点和点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点M 的坐标为(,则
πtan 4α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
．
【答案】2-
【解析】由题可得,tan α=所以πtan 1tan 241tan ααα+⎛
⎫+
===- ⎪
-⎝
⎭10．（2017-2018学年河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛）在ABC △中,若()sin 22sin A B B +=,
则tan B 的最大值为 ．
【答案】
3
11．（2017-2018
学年天津市南开中学高三上学期第一次月考）已知
ππ10π,cos ,243αββ⎛
⎫<<
<<-= ⎪⎝
⎭()4sin 5αβ+=.
(1)求sin2β的值;
(2)求πcos 4α⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.
【答案】(1)79-
；
12．（2017-2018学年浙东北联盟（ZDB ）高三上学期期中考试）已知函数()2cos f x x x m =
--. (1)求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间; (2)若5π3π,244x ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值. 【答案】(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为πππ,π,63k k k ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z ；(2)12m =.
【解析】(1)()2sin2cos 2f x x x m =
--=1cos2sin222
x x m +--=π1sin 262x m ⎛⎫--- ⎪
⎝⎭, 则函数()f x 的最小正周期πT =, 根据πππ2π22π,262k x k k -
+≤-≤+∈Z ,得ππ
ππ,63
k x k k -+≤≤+∈Z , 所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π,63k k k ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z .
(2)因为5π3π,244x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,所以ππ42,π643x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,
则当ππ2,62x -=即π
3
x =时,函数()f x 取得最大值0, 即1102m --
=,解得12
m =. 13．（2017-2018学年四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟）已知ABC △中,角,,A B C 的对边分别为
(),,,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b ++=
(1)求角C 的大小;
(2)若2,b c ==求ABC △的面积.
【答案】(1)120；
14．（2017-2018学年全国18名校大联考高三第二次联考）已知向量()2,sin α=m ,()cos ,1α=-n ,其中
π0,2
α⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,且⊥m n . (1)求sin2α和cos2α的值;
(2)若()sin αβ-=
,且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角β.
【答案】(1)4sin25α=
，3cos25α=-；(2)π
4
β=.
1．(2017新课标全国Ⅲ文科) 已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α= A ．7
9
- B ．29-
C ．
29
D ．79
【答案】A
2．（2016新课标全国Ⅲ文科）若tan 1
3
θ=，则cos 2θ= A ．4
5-
B ．15
- C ．
1
5 D ．
45
【答案】D
【解析】2
2
2
2
222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 5
1()3
θθθθθθθ---===
=+++．故选D. 3．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c
C =
A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B
【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，
即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=
+=，所以3π
4
A =．
由正弦定理
sin sin a c
A C
=
得23πsin sin
4
C =
，
即1sin 2
C =
， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π
6
C =
，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
4．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知π
(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4
α-= .
5．（2015新课标全国Ⅱ文科）ABC △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求
sin sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.。