八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9.5三角形的中位线(2)教案苏科版(2021年整理)

江苏省淮安市洪泽县黄集镇八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形9.5 三角形的中位线（2）教案（新版）苏科版
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课题：9.5 三角形的中位线2
教学目标：
1。

会利用三角形的中位线的性质解决有关问题；
2.理解并掌握中点四边形的特定规律，
教学重点:
掌握中点四边形的特定规律．
教学难点:
体会转化的思想方法，在实际问题中灵活运用。

教学流程：
一、复习旧知
1.什么叫三角形的中位线？三角形的中位线定理。

2。

中位线与中线的区别:
三角形中位线的两端点都是三角形边的中点。

三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的一个顶点。

二、探索活动
△ ABC的中位线DE与BC的关系怎样？（从位置和数量关系猜想)
已知:D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点。

求证:DE∥BC。

证法一：延长DE至F，使EF=DE,连接CD、AF、CF∵AE=EC DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形∴AD∥且＝FC，又D为AB中点，∴DB∥且＝FC
∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
证法二:如图，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜,得到△CFE，则D,E，F同在一直线上DE=EF，且△ADE≌△CFE。

∴∠ADE=∠F,AD=CF，∴AB∥CF.
又∵BD=AD=CF,∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,∴DF∥BC，∴DE∥且＝1/2BC
证法三：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF，又AE=EC，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC，又DB=AD，∴DB∥且＝FC，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
三、例题教学
如图，已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E,交AC于点F．
（1)求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
分析：（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．
(2）作CG∥EM，交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题．
证明：（1）∵DA平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，∴AG=AC,∵BM=CM．EM∥CG,∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=(AB+AC）．
小结：本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线，属于中考常考题型．
四、当堂练习
(一）选择题
1。

如图,DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,
则下列结论正确的是（）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中,
∵,
∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．
2。

如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（)
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴AC===10，∵DE 是△ABC的中位线,∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．
【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型．
3。

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】在Rt△ACB中,根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°,AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB 于点E，∴DE是△ACB的中位线,∴DE=BC=3．故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
4。

如图,在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为( ）
A．4 B．8 C．2D．4
【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
【解答】解:在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4,∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4,∴BF===4．故选D．
【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
5.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2,D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（)
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】先根据三角形中位线性质得DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=,EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．
【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点,
∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形,
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×(2+）=7．故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一
半．
（二）填空题：
1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,则DE= 4 ．【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．
【解答】解:∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,∴DE=BC=4．故答案为:4．
【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．
2。

如图，在△ABC中，∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD,又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM，∵∠ACB=90°,M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3,故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
(三）解答题
1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形;
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
【分析】(1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据
两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．【解答】(1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,又∵EF ∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；(2)解：当AB=BC时,四边形DBFE是菱形．，理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB,∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定,菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系,熟记性质与判定方法是解题的关键．
2。

D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1)如图，当点O在△ABC的内部时,求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
(2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
【解答】（1）证明:∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC,且DE=BC，同理,GF∥BC，且GF=BC,∴DE∥GF且DE=GF，∴四边形DEFG是平行四边形；
（2)解:当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
3.如图，在△ABC中，点D,E，F分别是AB,BC，CA的中点，AH是边BC
上的高．
（1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2)求证：∠DHF=∠DEF．
【分析】(1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；
（2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF,再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC,等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
【解答】证明：（1）∵点D，E,F分别是AB，BC,CA的中点,∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形;（2）∵四边形ADEF是平行四边形,∴∠DEF=∠BAC,∵D，F分别是AB,CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF,∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF,∴∠DHF=∠BAC,∴∠DHF=∠DEF．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键。