应用数理统计吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案

第五章 方差分析
课后习题参考答案
下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：
设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异(01.0=α)
解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()
3,2,10:0==i H i μ
记
167.20812
11112
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij r
i n j ij T i i
X n X S
467.7011
2
112
11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑
∑====r i n j ij r
i n j ij i
A i
i X n X n S
7
.137=-=A T e S S S
当
H 成立时，
()()
()r n r F r n S r S F e A ----=
,1~/1/
本题中r=3
经过计算，得方差分析表如下：
查表得
()()35
.327,2,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假设，认
为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。

(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。

现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：
试在显著水平
0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异并求
121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。

这里假定第i 种电池的寿命
2i X (,)(1,2,3)
i N i μσ=:。

解：手工计算过程：
1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。

2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

3.对于各组之间的均值进行检验。

对于各组之间的均值进行检验有LSD-t 检验和q 检验。

SPSS 选取LSD 检验（最小显著差t 检验），原理如下： 其检验假设为：H0：
，H1：。

方法为：首先计算拒绝H0，接受H1所需样本均数差值的最小值，即LSD （the least
significant difference ，LSD ）。

然后各对比组的与相应的LSD 比较，只要对比
组的
大于或等于LSD ，即拒绝H0，接受H1；否则，得到相反的推断结论。

LSD-t 检验通过计算各对比组的
与其标准误之比值是否达到t 检验的界值
)
()
11(|
|2
1B r N t n n MS x x B
A e A -≥+--α
由此推算出最小显著差LSD ，而不必计算每一对比组的t 值
)11(
)(||2
1B B
A e A n n MS r N t x x LSD +-≥-=-α
6
.615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4
.216)3.28108.15(*4*))(1()(832
429.59*14*))(1()(2221
22
1
21
22
222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r
i i i i A r
i i i r
i i
i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684
.170333
.188
.30712/4.2162/6.615)/()1/(===--=
r n S r S F e A 89
.3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
如果两对比组的样本含量相同，即时，则
n MS r N t x x LSD e
A 2)(||2
1B -≥-=-α
的置信区间为：B A μμ-
）
（n MS r N t x x e A 2
)(||21B -±--α
则本题中
686.25033
.18*22==n MS e
852.5686.2*1788.2686.2*)12(2
)(975.012
===--t n MS r N t e
α
所以
的置信区间21μμ-为：
（ +）, 即：（，） 同理可得
的置信区间为：
3132,μμμμ--
（，），（，）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（<）。

而甲和乙之间>，乙和丙之间>有显著差异(显著水平为。

SPSS 软件计算结果： 1.方差齐性检验
方差齐性检验结果
Levene 统计量 df1 df2 Sig.
2
12
.218
从表中可以看出，Levene 统计量为,P 值为>,说明各水平之间的方差齐。

即方差相等的假设成立。

2.计算样本均值和样本方差。

（可用计算器计算）
描述性统计量
3.
从表中可以看出，F值为,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

4.方差分析表
单因素方差分析表
从表中可以看出，F值为,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

5.最小显著性差异法（LSD ）结果
多重均值比较（Multiple Comparisons ）
* The mean difference is significant at the .05 level. 从表中可以看出12μμ-的置信区间为： （ +）, 即：（，）
同理可得1323,μμμμ--的置信区间为：
（，），（，）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=）。

而甲和乙之间(sig=，乙和丙之间(sig=有显著差异(显著水平为。

对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，各就四批试样测得原料节约额数据如下表： 假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：操作法对原料节约额的影响差异是否显著
哪些水平间的差异是显的(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
()
5,4,3,2,10:0==i H i μ
记910.8912
11112
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij r
i n j ij T i i
X n X S
537.55112
11211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij r
i n j ij i A i
i X n X n S
373
.34=-=A T e S S S
当
H 成立时，
()()
()
r n r F r n S r S F e A ----=
,1~/1/
本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下：
查表得()()06.315,4,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。

(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。

(3)判断各种操作方法之间的差异的显著，使用SPSS 软件中最小显著性差异法（LSD ）计算。

以看出，在给定的置信水平01.0=α时，操作法A1和A4，A1和A5，A2和A4，A2和A5的P 值都小于，因此可以认为他们之间的差异显著。

在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。

为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验，其得率数据如下面的表所示(数据均以减去75)：
假定数据来自方差相等的正态分布，试在05.0=α的显著水平下检验不同浓度、不同温度
以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。

解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
()
3,2,10:01==i H i α
()
4,3,2,10:02==j H j β
()
4,3,2,1;3,2,10:03===j i H ij γ
为了便于计算，记
∑=•
•==t
k ij ijk ij X t X T 1
()
92,68,90;32111
=====••••••==••••∑∑T T T X st X T s
j t
k i ijk i
()
∑∑==••••••••••••======r i t
k j ijk j T T T T X rt X T 11432162,65,67,56;
250
1111
1
=====∑∑∑∑∑====••=••r i s
j t
k s
j j r i i ijk T T X rst X T
2752
111
2
==∑∑∑===r
i s
j t
k ijk X W
则有：
833
.1472=-=rst T W S T 333
.4412
12=-=∑=••rst T T st S r i i A
5
.1112
12=-=∑=••rst T T rt S s j j B 000.2712112=---=∑∑==•⨯B A r i s j ij B
A S S rst T T t S
000
.65=---=⨯B A B A T e S S S S S
当
01
H 成立时，
()()
()()1,1~1/1/----=
t rs r F t rs S r S F e A A
当02
H 成立时，
()()
()()1,1~1/1/----=
t rs s F t rs S s S F e B B
当03
H 成立时，
()()()
()()()()1,11~1/11/------=
⨯⨯t rs s r F t rs S s r S F e B A B A
本题中r=3,s=4,t=2，经过计算，得方差分析表如下：
查表得
()()()89
.312,21,195.01==---F t rs r F α且A F =>，在95%的置信度下，拒绝原假设，
认为浓度的差异对化工得率有显著影响。

()()()49
.312,31,195.01==---F t rs s F α 且B F =<在95%的置信度下，接受原假设，认为
温度的差异对化工得率无显著影响。

()()()()()00
.312,61,1195.01==----F t rs s r F α且
C
F =<在95%的置信度下，接受
原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。

(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A 浓度的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，
小于，拒绝原假设，认为浓度之间的差异对化工得率有显著影响。

因素B 温度的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，大于，接受原假设，认为温度之间的差异对化工得率无显著影响。

交互作用的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，大于，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。

下表记录三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量。

假定数据来自方差相等的正态分布，问 (1)工人之间的差异是否显著 (2)机器之间的差异是否显著 (3)交互作用是不是显著(05.0=α) 解：(1)手工计算解答过程
提出原假设：
()
4,3,2,10:01==i H i α
()
3,2,10:02==j H j β
()
3,2,1;4,3,2,10:03===j i H ij γ
为了便于计算，记
∑=•
•==t
k ij ijk ij X t X T 1
()
159,153,159,156;432111
======••••••••==••••∑∑T T T T X st X T s
j t
k i ijk i
()
∑∑==••••••••••=====r i t
k j ijk j T T T X rt X T 11321223,198,206;
∑∑∑∑∑====••=••=====r i s
j t
k s
j j r i i ijk T T X rst X T 1111
1
627
11065
111
2
==∑∑∑===r
i s
j t
k ijk X W
则有：
75
.1442=-=rst T W S T 75
.212
12=-=∑=••rst T T st S r i i A
167
.2712
12=-=∑=••rst T T rt S s j j B 500.7312112=---=∑∑==•⨯B A r i s j ij B
A S S rst T T t S
333
.41=---=⨯B A B A T e S S S S S
当
01
H 成立时，
()()
()()1,1~1/1/----=
t rs r F t rs S r S F e A A
当
02
H 成立时，
()()
()()1,1~1/1/----=
t rs s F t rs S s S F e B B
当
03
H 成立时，
()()()
()()()()1,11~1/11/------=
⨯⨯t rs s r F t rs S s r S F e B A B A
本题中r=4,s=3,t=3
经过计算，得方差分析表如下：
查表得
()()()01
.324,31,195.01==---F t rs r F α且A F =<，在95%的置信度下，接受原假设，认
为机器的差异对日产量无显著影响。

()()()40
.324,21,195.01==---F t rs s F α 且B F =>在95%的置信度下，拒绝原假设，认为
工人的差异对日产量有显著影响。

()()()()()51
.224,61,1195.01==----F t rs s r F α且
C
F =>，在95%的置信度下，拒绝原假设，
认为机器和工人的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。

(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A 机器的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，大于，接受原假设，认为机器之间的差异对日产量无显著影响。

因素B 温度的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为工人之间的差异对日产量有显著影响。

交互作用的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为工人和机器的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。

一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。

过一段时间后，这位教师给这15位同学进行统考，成绩如下：
试问，在显著性水平0.10α=下，这三种教学方法的效果有显著差异这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布。

解：一、手工计算结果
1.计算平方和 其检验原假设为：H0：μμμ==乙甲丙
2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关。

二、软件结果
1.首先检验方差是否齐，如下表：
从上表可以看出，P 值为>,说明三个样本方差齐。

2.进行方差分析如下表：
方差分析表
P 值为> ,.(2,12)=<,拒绝原假设，说明三种教学方法有显著差异。

3.进一步分析有下表，
2222
221
1
2
21
()(1)(*)604.933()(1)(*)852.800
()()1457.733
T ij r
r
e ij i i i
i i i i r
A i i i i S X X ns n s S X X n S n S S X X n X X ====-==-==-==-==-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑/(1)604.933/2302.467
4.256
/()852.800/1271.067
A e S r F S n r -=
===-89
.3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
多重比较
(I) 方法(J) 方
法Mean Difference
(I-J)
Std.
Error Sig.
95% Confidence
Interval
Upper
Bound
Lower
Bound
Tukey HSD 12
(*).034
3.539 21(*).034
3.211 31.539
2.211
Scheffe12(*).042
3.569
21(*).042.54
3.238
31.569
2.238
LSD12(*).014
3.298
21(*).014
3.097
31.298
2.097
从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平下有显著差异（P值＝<）,而甲方法和丙方法，乙方法和丙方法之间没有显著差异
一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。

每种燃料与每种推进器的组合作一次试验(假定不存在交互作用)，得火箭射程如下表(单位：海里)
假定数据来自方差相等的正态分布，问燃料之间、推进器之间有无显著差异(05.0=α). 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
()
4,3,2,10:01==i H i α
()
3,2,10:02==j H j β
为了便于计算，记
()
7.182,2.170,8.154,7.17943211
======••••=••∑T T T T X s X T s
j i ij i
()
98.10834,3.14499,7.151553211
=====•••=••∑T T T X r X T r
i j ij j
4
.68711===∑∑==r i s
j ij X rs X T
98
.4048911
2
==∑∑==r
i s
j ij X W
则有：417
.11132
=-=rs T W S T
590
.15712
12=-=∑=•rs T T s S r i i A ，
847.22312
12=-=∑=•rs T T r S s
j j
B
980
.731=--=B A T e S S S S
当
01
H 成立时，
()()()
()()()11,1~11/1/------=
s r r F s r S r S F e A A
当
02
H 成立时，
()()()()()()11,1~11/1/------=
s r s F s r S s S F e B B
本题中r=4,s=3，经过计算，得方差分析表如下：
查表得
()()()()76
.46,311,195.01==----F s r r F α且A F =<，在95%的置信度下，接受原假设，
认为燃料的差异对射程无显著影响。

()()()()14
.56,211,195.01==----F s r s F α 且B F =<，在95%的置信度下，接受原假设，认
为推进器的差异对射程无显著影响。

(2)软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A 燃料的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，大于，接受原假设，认为燃料之间的差异对射程无显著影响。

因素B 推进器的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，大于，接受原假设，认为推进器之间的差异对射程无显著影响。

为了考察蒸馏水的PH值与硫酸铜溶液的浓度（单位：%）对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，作了12次不同的试验，得试验结果（白蛋白与球蛋白之比）如下
试问，在显著性水平1%下，PH值与浓度分别对白蛋白与球蛋白之比有无显著影响这里假定数据来自方差相等的正态总体。

（假定不存在相互作用）
解：手工计算结果：
为了方便和提高计算精度，记
01ph=5.40ph=5.60ph=5.70ph=5.8002=0.04=0.08=0.1011
11
2
11
2
2
2A 12
1::T T 7.769
1T 5.289
1T s
i i ij
j r j j ij
i r s
ij
i j r s
ij i j T r i i s B j j H H s X X r X X T rs X X W X T S W rs
T S s rs S r μμμμμμμ⋅⋅=⋅⋅=====⋅=⋅==============-==-==∑∑∑∑∑∑∑∑浓度浓度浓度原假设为：
则有：
2A 01A A 02B B 2.222
0.258S /(1)
F (1,(1)(1))
/(1)(1)
S /(1)
F (1,(1)(1))
/(1)(1)
e T B e e T rs S S S S H r F r r s S r s H s F s r s S r s -==--=-=
------=
-----::当成立时，当成立时，本题中：r=4,s=3
经过计算，得方差分析表如下：
查表，得(3,6)=,(2,6)=
F(酸度)＝41＞,F(含量)＝＞,所以拒绝原假设。

此结果说明在显著水平1％下，ph 值和浓度
对蛋白比有显著影响
二、SPSS输出结果
组间效应检验
Dependent Variable: 白蛋白和球蛋白之比
a R Squared = .967 (Adjusted R Squared = .939)
从表中可以看出，因素PH值的检验统计量F的观测值为，检验的概率p值为，小于，拒绝零假设，可以认为PH值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。

因素浓度值的检验统计量F的观测值为，检验的概率p值为，小于，拒绝零假设，可以认为浓度值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。