2021年数学新学案同步第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数课件：章末整合(人教B版)
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 实数指数幂及其运算
am
1
am
1
2
-
1
2 2
B.(a + ) =a+a-1
D.a0=1
解析 根据根式与有理指数幂的互化,可得 A,C 正确;由 a>0 可知 a0=1,故 D
正确;由
1
a>0,得(2
1 2 3 4
+
1
1
1
-2 )2=(2)2+22
·
-
1
1
- 2
2 +( 2 ) =a+a-1+2,故
B 错误,故选 B.
内
没有意义
.
(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为
.而且正数的奇
数次方根是一个 正 数,负数的奇数次方根是一个 负 数.
3.根式的定义:当 n a有意义的时候, n a称为 根式
,n 称为 根指数 ,a 称
为 被开方数 .
4.根式的性质:
n
(1)( a)n= a .
n
n
(2)当 n 为奇数时, an = a ;当 n 为偶数时, an = |a| .
后运用相关的运算性质化简.
3
变式训练 23 化为根式形式为 9
3
2
为
3
4
解析
3
32
=
; · a· a(a>0)的分数指数幂表示
.
1
= 3=
3
32
3
2
3
3
4 .
1
3
=
3
;
9
3
· · =
3
·
1
·2
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数
(2)∵f(2x-1)<f(2-x),
∴f(|2x-1|)<f(|2-x|),
∴|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,
解得-1<x<1,∴x∈(-1,1).
1 2 3 4
解析
9
∵n∈N,n>9,∴0<<1.
∴函数的定义域为 R,且在第一象限内是增函数,故可排除 B,D.又
函数,故选 C.
9
y=|x| 是偶
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1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是( B )
A.(2,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
解析 设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,
①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函
数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象
限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.通过实例,了解幂函数的概念.
课程标准
1
2
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, y= 的图象,了解它们的变化情
况及简单性质并归纳幂函数的图象.
3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
①是幂函数;
人教B版高中同步学案数学必修二精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数图象与性质的应用
.
3
答案
5
2
<<
41
或
16
>
13
2
解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,所以
可将 f(log 1 (2x-5))>f(log38)化为|log 1 (2x-5)|>|log38|,即 log3(2x-5)>log38 或
又 y=log 1 x 是区间(0,+∞)上的减函数,
2
故所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞).
(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在区间(0,+∞)上单调递减.易知y=t2-2t+2=(t-1)2+1
在区间[1,+∞)上单调递增,在区间(-∞,1]上单调递减,由t=log0.4x≥1,得
- + 5 > 0,
1
解得2<x<5.
又函数 y=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数,
所以 2x-1<-x+5,解得 x<2.综上可得,满足要求的 x 的取值集合为
1
| 2
<<2 .
2
(2)loga5<1,即
2
loga5<logaa,
当 a>1 时,函数 y=logax 在定义域内是增函数,
是要坚持“定义域优先”的原则.
变式训练3求下列函数的单调区间:
(1)y=log 1 (x2+4x-12);
2
(2)y=(log0.4x)2-2log0.4x+2.
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章指数函数、对数函数与幂函数 指数函数及其性质的应用
变式探究 本例(1)中函数改为 y=3
2 -2+3
,求其单调区间.
解 同例(1)的解法,得 u(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又 y=3u
在 R 上为增函数,∴函数 y=3
为(-∞,1].
2 -2+3
的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间
是
(2)解方程:2
.
2 +1
=
1
.
4
(1)答案
1
- ,+
4
∞
+ 1, ≤ 0,
1
解析 ∵f(x)=
f(x)+f - 2 >1,
2 , > 0,
即f
1
2
>1-f(x),通过图象变换,在同一平面
直角坐标系中画出 y=f
1
2
与 y=1-f(x)的图象,
如图所示.由数形结合可知,
t=1 时取等号),
2
y=4 +1的值域为
1
0, 2
.
,
探究点二 解指数方程或不等式
【例2】(1)解方程22x+2+3×2x-1=0.
(2)已知
1 2+1
2
<
1 3-2
,求实数
2
a 的取值范围.
解 (1)方程可化为4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则4t2+3t-1=0,
2
(2)设 g(x)=x +2(a-1)x+2,指数函数 h(x)=
1
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 指数函数的性质与图象
基础落实•必备知识全过关
知识点1 指数函数的概念
1.一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.指数函数的特征:
(1)底数a>0且a≠1;
(2)指数幂的系数是1.
名师点睛 根据指数函数的定义,只有形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数才叫指
数函数,如 y=3·2 ,y=(a
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
非奇非偶函数
x
2.一般地,指数函数 y=a
1 x
和 y=(a ) (a>0 且 a≠1)的图像关于 y 轴对称,且它们在
R 上的单调性相反.
名师点睛 1.画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的简单图象时,需找三个关键点:
(1,a),(0,1),(-1, 1 ).
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)即为所求.
变式训练2若函数y=ax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点,则该定点坐标
为
.
答案 (0,2)
解析 因为函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1),所以函数y=ax+1(a>0
且a≠1)的图象恒过定点(0,2).
∴c>b>a.
4.已知函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),其中a>0且a≠1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域;
(3)解不等式f(x2)<f(2x+3).
解 (1)∵函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),∴4=a2-1,∴a=4.
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
其中Nk>0,k∈N+.
4.对数运算法则与指数运算法则的联系(a>0且a≠1,M,N>0)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)log93+log927=log9(3×27)=log981=2.( √ )
(2)log2(4+4)=log24+log24=4.( × )
lg10 000
2
1
3
×
+
= + =
lg (3×8)
lg3
=
5lg2
3lg3
lg3
3lg2
=
10
.
9
×
lg2
lg3
5
.
6
lg3 +3lg2
3
=1+ .
lg3
探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
【例 3】(1)若 6 =5
x
1
=a,且
y
+
1
=1,求
a 的值.
(2)已知 a,b,c 是不等于 1 的正数,且 a =b =c
lo g 18 (9×5)
于是 log3645=
18 2
lo g 18
9
=
lo g 18 9+lo g 18 5
2lo g 18 18-lo g 18 9
=
+
.
2-
(方法三)∵log189=a,18b=5,
∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18.
lg45
∴log3645=lg36
=
lg (9×5)
3
2+ =3+2(lg
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.1 对数运算
2
D.4 =x
)
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数的关系(a>0且a≠1,N>0)
指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系,如
果把对数表达式中的b代入指数表达式,则可得 a a = N ;
类似地,如果把指数表达式中的N代入对数表达式,则有logaab=b.
第四章
4.2.1 对数运算
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实•必备知识全过关
C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)
答案 C
解析 要使对数式log(a-2)(5-a)有意义,
-2 > 0,
则 5- > 0,解得 a∈(2,3)∪(3,5),故选 C.
-2 ≠ 1,
)
2.已知15ln x=25,则x=
答案 elo g 15 25
解析 因为 15ln x=25,
所以 log1515ln x=log1525,
所以 ln x=log1525,x=elo g 15 25 .
.
3.若loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则a2m+n=
答案 12
解析 因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 本章总结提升
若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(BCD)
A.x1+x2=-1
B.x3x4=1
C.1<x4<2
D.0<x1x2x3x4<1
解析 f(x)的大致图象如下:
由图易知 x1+x2=-2,-2<x1<-1.当 y=1 时,有|log2x|=1,即
∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.
∵0<a<1,
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
1
2
-
由 loga4=-2,得 a =4,∴a=4 =
-2
1
.
2
÷
(1-2
)×
2
3
3
3
4 +2 ab +
(a>0,b>0).
1
1
1
1 1
1
1 1
3 (-8)
3
3 (-8)
3 3
3
3 3
解 原式= 1
1 1
1 × 1 1 × = -8 × ×
(23 )2 +233 +(3 )2
3 -23
3
=a b(a>0,b>0).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
1- > 0,
解 (1)要使函数有意义,则有
+ 3 > 0,
解得-3<x<1,即函数f(x)的定义域为(-3,1).
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第二册课件：章末整合第四章 指数函数、对数函数与幂函数
章末复习课
章末整合
要点回顾 专题突破
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
要点回顾
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
网络构建
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
核心归纳 1．指数函数的图像和性质
单调性 (－∞，0)增 (0，＋∞)减
增
奇偶性 偶
非奇非偶
减
非奇非偶
增
奇
(－∞，0)减 偶
[0，＋∞)增
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
结合以上常见的幂函数，可得y＝xα(a∈R)的性质如下： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有意义，并且图像都通过点(1,1)． (2)如果α＞0，则幂函数的图像过原点，并在区间[0，＋∞)上为增函 数． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限 内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋ ∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函 数．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．幂函数的图像和性质 下表是一些常见的幂函数的性质：
函数 y＝x0 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 {x|x≠0}
R
R
R {x|x≠0}
值域 {1} R {y|y≥0}
R {y|y≠0}
新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版必修第二册
4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
理解 n 次方根及根式的概念．正 根式的概念
确运用根式的运算性质进行根式 及运算性质
运算
学会根式与分数指数幂之间的相
实数指数幂 互转化，掌握用有理指数幂的运
算性质化简求值
②正数 a 的偶数次方根有两个，它们互为___相__反__数_____，其中正的
方根称为
a
的
_n__次__算__术__根___
，
记
为
n ___a___
，
负
的
方
根
记
为
___－__n__a_____；负数的偶数次方根在实数范围内__不___存__在_____．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为_n__a___．而且正数
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数←化―为→分数指数的分母，被开方数（式）的指数←化―为→ 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然 后利用有理指数幂的运算性质解题．
将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a32；(2)a－34；(3)x3·3 x2(x>0)．
4 （x－2）3
(2，＋∞)．
(2)选 C.原式＝|x＋3|－(x－3)＝6－（2xx≥ （－ x<3－）3，）. (3)①原式＝a31·a41＝a13＋41＝a172. ②原式＝a12·a41·a81＝a21＋41＋18＝a78. ③原式＝a23·a23＝a32＋32＝a163. ④原式＝(a13)2·(ab3)12 ＝a23·a12b23＝a32＋12b23＝a76b32.
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4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图像 第1课时 对数函数的性质与图像
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
理解对数函数的概念，会 对数函数的概念
判断对数函数
数学抽象
初步掌握对数函数的图
对数函数的图像
直观想象、数学运算
像与性质
对数函数的简单 能利用对数函数的性质
数学建模、数学运算
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问题导学
预习教材 P24－P27 的内容，思考以下问题： 1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？ 2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪 些性质？
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对数函数
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人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 函数的应用(二)
名师点睛
利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有
很多体现,在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、指
数函数、对数函数、幂函数和分段函数来解决问题.下面是几种常见的数学
模型:(1)平均增长率问题:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于
时间x的产值y=N(1+p)x.(2)储蓄中的复利问题:如果本金为a元,每期利率为r,
入y2(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),
其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投
入资金的函数关系式.
(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛
收入更大?
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B
2.建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的,即设自变量为x,因变量为y,它们
已建立了函数模型,我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案.具体解
题步骤:
第一步,审题,引进数学符号,建立数学模型,了解变量的含义,若模型中含有
待定系数,则需要进一步用待定系数法或其他方法确定;
(1)已知生活中几种声音的相关数据如下表:
声音类型
风吹落叶沙沙声
轻声耳语
很嘈杂的马路
强度I/(瓦/平方米)
1×10-11
1×10-10
1×10-3
10
m
90
强弱等级L/分贝
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时
声音强度I的最大值.
解 (1)将 I0=1×10
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件第4章指数函数、对数函数与幂函数 指数函数与对数函数的关系
(3)写出反函数f-1(x)的解析式.
简记为“一换、二解、三写”.
变式训练1[北师大版教材例题]写出下列对数函数的反函数:
(1)y=lg x;
解 因为对数函数y=lg x的底数是10,所以它的反函数是指数函数y=10x.
(2) y=log 1 x.
3
1
g
1
解 因为对数函数 y=lo x 的底数是 ,所以它的反函数是指数函数 y=
规律方法
互为反函数的图象特点
(1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数
互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.
变式训练2已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图象如图所示,则不等式
1
2.若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(log28)=( B )
A.-1
B.1
C.2
D.3
解析 依题意,函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax,即函数y=ax的图
象过点(1,3),则a=3,f(x)=log3x,于是得f(log28)=log3(log28)=log33=1,所以
y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B.
(2)将y=2x的图象( D ),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数
y=log2(x+1)的图象.
A.先向上平移1个单位长度来自B.先向右平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度
D.先向下平移1个单位长度
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数的性质与图象
>
1
>0,
log2
规律方法
1.对数函数图象的变化规律
(1)上下比较:在直线x=1的右侧,
当a>1时,a越大,图象越靠近x轴,
当0<a<1时,a越小,图象越靠近x
轴.
(2)左右比较:比较图象与直线y=1
的交点,交点的横坐标越大,对应
的对数函数的底数越大.
2.常见的函数图象的变换技巧
(1)y=f(x) y=f(|x|).
①y=
lg (4-)
lg(2-);②y=
;
③y=log(2x-1)
(-4x+8).
-3
lg(2-) ≥ 0, 2- ≥ 1,
解 ①由题意得
即
解得 x≤1.
2- > 0,
2- > 0,
故函数 y= lg(2-)的定义域为(-∞,1].
4- > 0,
②由题意得
解得 x<4 且 x≠3.
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1.通过实例,了解对数函数的概念.
课程 2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,直观了解对
标准 数函数的模型所刻画的数量关系.
3.熟练掌握对数函数的图象与性质.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数函数
所以方程 f(x)=2 的解为 x=256.
1
4,
2
可得
1
f(4)= ,即
2
规律方法
1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只
新教材高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数章末综合提升学案含解析新人教B版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第4章 指数函数、对数函数与幂函数(教师独具)类型1 指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N 1b＝a ，a b ＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】 (1)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．12(2)已知2a ＝5b ＝c ，1a ＋1b＝1，则c ＝________.(1)A (2)10 [(1)由x log 23＝1得x ＝log 32，所以3x＋9x＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋4＝6.(2)由2a ＝5b ＝c ，得a ＝log 2c ，b ＝log 5c ，1a ＋1b ＝1log 2c ＋1log 5c＝log c 2＋log c 5＝log c 10＝1，所以c ＝10.][跟进训练]1．求值：(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝－12log 52·12log 25＋log 33－2log 22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.类型2 函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝⎛⎭⎫0，12 C [设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可，当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2.∴log a 2≥1，∴1<a ≤2，故选C ．] [跟进训练]2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域． [解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．类型3 数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a (2)设a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c (1)C (2)D [(1)∵a ＝log 20.3＜log 21＝0，b ＝20.3＞20＝1,0＜c ＝0.30.2＜0.30＝1，∴b ＞c ＞a .故选C ．(2)∵a ＝log 132＜0，b ＝log 123＜0，log 132＞log 133，log 133＞log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3＞0.∴b ＜a ＜c .故选D ．][跟进训练]3．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞yC [依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .]类型4 分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈N )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a >0，且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)结合f (3)<f (5)，与函数f (x )的奇偶性，分类讨论确定m 的值及f (x )的解析式．(2)由g (x )为增函数，结合a 讨论，求出a 的取值范围． [解] (1)由f (3)<f (5)，得3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3， ∴⎝⎛⎭⎫35－2m 2＋m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数，∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.∵m ∈N ，∴m ＝0或1．当m ＝0时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 3为奇函数，不合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 2为偶函数． 综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u (3)＝32－3a >0，无解； ②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u (2)＝22－2a >0，解得a <2. ∴实数a 的取值范围为(1,2)． [跟进训练]4．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小． [解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1． 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1． 又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P >Q .类型5 函数与方程思想【例5】 若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则10|lg x |－a ＝0有两个实数根，即10|lg x |＝a 有两个实数根，转化为函数y ＝10|lg x |与y ＝a 图像有两个不同的交点，为此只要画出y ＝10|lg x |的图像即可． 当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝1x， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1．这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a >1．][跟进训练]5．若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则实数m 的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤0，94 [若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则|x －2|(x ＋1)＝m 至少有两个实数根，即函数y ＝|x －2|(x ＋1)与y ＝m 的图像至少有两个交点．当x ≥2时，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 当x <2时，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m ≤94.](教师独具)1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16B [法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B ．]2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C ．] 3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [ ∵23＜32，∴2＜323，∴log 32＜log 3323＝23，∴a ＜c .∵33＞52，∴3＞523，∴log 53＞log 5523＝23，∴b ＞c ，∴a ＜c ＜b ，故选A ．]4．(2020·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bD [由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D ．]5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝⎛⎭⎫13x <2y －⎝⎛⎭⎫13y.设f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x在R 上为增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]6．(2020·北京高考)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________．(0，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，∴x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．]。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数教学课件2 b高一必修第二册数学课件
答 幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为 y＝xα.这就
是我们今天要学的幂函数.
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讲授 新课 (jiǎngshòu)
一．幂函数的定义(dìngyì)：
一般地,形如 y＝xα (α∈R)的函数叫做幂函数,其中α是常数.
问题 判断一个函数是幂函数的标准是什么？
答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右
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(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.
(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于＋∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
a 一定,b 随 N 的变化而变化,我们建立了对数函数 y＝logax.设想:如果 b 一 定,N 随 a 的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就 来探讨这个问题.
问题 1
函数 y＝x,y＝x2,y＝1分别是哪种类型的函数？ x
答 分别是一次函数,二次函数,反比例函数.
问题 2 这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？
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4.4幂函数
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学习 目标 (xuéxí)
1.掌握幂函数的概念、图像和性质.
2.熟悉 1，2， 3，1，时1 的五类幂函数的图像、性质及其特
点.Leabharlann 23.能利用幂函数的图像与性质解决(jiějué)综合问题.
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