拉普拉斯变换2326

（1）查表 适用于表中存在的基本象函数
（2）部分分式展开 适用于具有有理分式形式的象函数
（3）定留数理法若s1, s2, ..., sn是函数F(s)的所有奇点(适
当选取使这些奇点全在Re(s)<的范围内),
且1当s j时F,(Fs()se)std0s,
2 j j
s p1

1 2
4s s4
s 1

2
k2

sF (s) s0
s2
2
(s 1)3
s0
F(s)

３ (s 1)3

２ (s 1)2

２ －２ (s １) s
f (t) 3 t 2 et 2t et 2 et 2 2
45..3求拉拉普拉普斯拉逆变斯换逆变换的方法
2.3 拉普拉斯逆变换
1. 基本思想
由拉氏变换的概念可知, 函数f(t)的拉氏变换, 实际上就是 f(t)u(t)e-t的傅氏变换。在f(t)的连续点就有
f (t)u(t) et
1
2


f
(
)u(
)
e
e
j
d

e
jt d

1
2

e
jt
d


0
f
(
)
e(

j )
d

1 F ( j) ejtd, t 0
2
等式两边同乘以et, 则
f (t) 1 F ( j) e( j)d,t 0
2 令 j s,有
如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t<0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式 可以写成
0
f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t ) d
t

0 f1( ) f2 (t ) d t f1( ) f2 (t ) d
t
k3 (s 3)F (s) s3
10(s 2)(s 5)
10


s(s 1)
3
s 3
F (s) 100 20 10 3s s 1 3(s 3)
f (t) 100 20et 10 e3t
3
3
例 已知F (s) s3 5s2 9s 7 , 求其逆变换 (s 1)(s 2)

4 2s

2)
解 A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1，s3,4= j1 ， s5,6= – 1j1，故
F(s) K1 K2 K3 K4 K5 K6 s s 1 s j s j s 1 j s 1 j
K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1
(e jt 1)
t j

1 ( j)2
(e

jt

1)



1 2j

2t j

e jt e jt j2


t
sin t
2. 卷积定理 若 f1(t) ←→F1(s)， f2(t) ←→F2(s)
则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s)
推论 f1(t) * f2(t) *...* fn(t) ← → F1(s)F2(s)...Fn(s)
s3 6s 2 11s 6
由于L-1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆
变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
F(s)

B(s) A(s)

bmsm bm1sm1 .... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
b0 a0
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理
多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P(s) B0 (s) A(s)
例 F (s) s 4 8s3 25s 2 31s 15 s 2 2s 2 3s 3
s3 6s 2 11s 6
f (t) 1 j F (s) estd s,t 0 (2.16)
右端2的 积j 分j称为拉氏反演积分,
它的积分
路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到
虚部的正无穷. 而积分路线中的实部则有一
些随意, 但必须满足的条件就是etf(t)u(t)的0
到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积
例3
若F (s)

s2 (s2 1)2
0 f1( ) f2 (t ) d
(2.20)
卷积满足交换律、分配率、结合律
f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
[ f1(t) f2 (t)] f3 (t) f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
例2
若F (s)

1 s2 (1
s2)
, 求f
(t)
因为
F (s)

1 s2 (1
s2)

1 s2

1 s2 1
取 F1(s)

1 s2
, F2 (s)

1 s2 1
于是 f1(t) t, f2 (t) sin t
根据卷积定理和例 1,得
f (t) f1(t) f2 (t) t sin t t sin t
K1m
来自百度文库

1
d m1
(m 1)! d sm1
(s p1)m F (s)
s p1
L[t m ]

m! s m1
L1[ 1 ] 1 t m1 e p1t , t 0 (s p1)m (m 1)!
例
已知F (s)

s2 s(s 1)3
,
求其逆变换
解
F (s)

K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(/2) , K4=K3*=(1/2)e-j(/2)
K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j=
1
j 3
e4
2
K6=K5*
f (t) 2 et cos(t ) 2 et cos(t 3 )
2
分通常比较困难, 但是可以用留数方法计算.
f (t) L1[F (s)] 1


j
F
(s)e
st
ds,
2 j j
直接求取相当困难！
t 0
根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合， 再求取拉普拉斯逆变换。
F (s) F1(s) F2 (s) F3(s)
f (t) f1(t) f2 (t) f3(t)

1 a
(eat
1)


t a

1 a2
(eat
1)
例 求t * sin t。
解
由
t * eat

t a

1 a2
(eat 1)
t sin t t e jt e jt 1 (t e jt t e jt )
2j
2j

1 2j

t j

1 j2
s pi
s pn
Ki (s pi )F (s) s pi 或
B(s) Ki A(s)
s pi
例 已知 F (s) 10(s 2)(s 5) , s(s 1)(s 3)
L1[ 1 ] e pit , s pi
求其逆变换.
t0
解 部分分解法 F(s) k1 k2 k3 （m n） s s 1 s 3
则有n
Res k 1 ssk
F
(s) est

即
n
f (t)
k 1
Res
s sk
F
(s)
e st

,
t
0
(2.17)
若F(s)为有理分式，其极点的留数就是部分分式法中的系数。
2.4 卷积
1. 卷积的概念

f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t ) d
2. 零极点
F(s)

B(s) A(s)

bmsm bm1sm1 .... b1s sn an1sn1 ... a1s
b0 a0
nm
A(s) 0 的根称为 F s 的极点，用 p1, p2 , , pN 表示
B(s) 0 的根称为 F s 的零点，用 z1, z2 , , zM 表示
其中k1 sF (s) s0
10(s 2)(s 5) 100 (s 1)(s 3) s0 3
F (s) k1 k2 k3 s s 1 s 3
k2 (s 1)F (s) s1
10(s 2)(s 5)
20
s(s 3)
s 1
4
（2）F(s)有重极点（重根）
若A(s) = 0在s = p1处有m重根，
F (s)

B(s) A(s)

(s
K11 p1)m

(s
K12 p1)m1
....

K1m (s p1)
K11=[(s –p1)mF(s)]|s=p1， K12=(d/ds)[(s –p1)mF(s)]|s=p1
例: t * eat
t

ea(t )d

eat
t

ea
d
0
0
1 eat
a
t

0
dea

eat a
ea
t 0

t 0
e a
d



eat a
t eat
1 a
e a
t 0


eat a
t eat
解 长除法 F (s)
s2 s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
s3 3s2 2s 2s2 7s 7 2s2 ６s ４ s 3
F (s) s3 5s2 9s 7 s 2 s 3
(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)
分式分解法 F (s) s 2 k1 k2 s 1 s 2
其中k1

(s
1)
(s
s3 1)(s
2)
s 1

2
k2

s3 s 1
s 2

1
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) '(t) 2 (t) (2et e2t )u(t)
特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –±j)
F (s)

B(s)
D(s)[( s )2


2]

D(s)(s

B(s)
j )(s


j)

s
K1

j

K2
s
j

F2 (s)
K1 [(s j )F(s)]sj | K1 | ej K2 = K1*
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，
方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称 为F(s)的固有频率（或自然频率）。
n个特征根 pi 称为F(s)的极点。
（1）F(s)为单极点（单根）
F (s) B(s) K1 K 2 .... Ki ... K n
A(s) s p1 s p2
例如：
F (s) (s 3)(s 2) s(s 1 j)(s 1 j)
j
j1
-3 -2 -1 O 1 2
j1
3. 部分分式展开法
若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F(s)

bm s m bm1s m1 .... b1s s n an1s n1 ... a1s
F1(s)
K1
s
j

K2
s
j

| K1 | ej
s j

| K1 | e j
s j
f1(t) 2 | K1 | et cos(t ), t 0
例 求象函数F(s)的拉氏逆变换。
F(s)

s(s
s3 1)(s 2
s2 2s 1)(s 2
k11 (s 1)3

k12 (s 1)2

k13 (s 1)

k2 s
令F1 ( s)

(s
1)3 F (s)

s
2 s
其中k11 F1 (s) s p1
s2
3
s s 1
d
k12

ds
F1 (s)
s p1

s (s 2) 1
s2
s 1

2
1 d2 k13 2 ds2 F1 (s)