2022年中考数学一轮复习：二次函数的综合 解答题专项练习题(Word版,含答案)

2022年中考数学一轮复习：二次函数的综合解答题专项练习题
1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S
△ABE =S
△ABC
时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO 与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
4、正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求AD的长；
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
7、在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A,B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出A,C,D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B （1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A 重合．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
9、如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x
1﹣x
2
|求出；
当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y
1﹣y
2
|求出．
10、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
11、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x 轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
12、如图1，已知开口向下的抛物线y
1
=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于
点C，顶点为B，将抛物线y
1绕点C旋转180°后得到抛物线y
2
，点A，B的对应
点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y
2
的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
13、已知，抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：．
（3）如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．
14、如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
15、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
16、如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
17、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
参考答案
1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S
△ABE =S
△ABC
时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；
（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵S
△ABE =S
△ABC
，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m， m2+m﹣5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，
∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴=，即=，
∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），
当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．
2、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
当x=2时，y=1﹣=﹣，
∴P（2，﹣）；
（3）存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），
∴N
1
（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N
2作N
2
D⊥x轴于点D，
在△AN
2D与△M
2
CO中，
∴△AN
2D≌△M
2
CO（ASA），
∴N
2D=OC=，即N
2
点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N
2（2+，），N
3
（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
3、如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO 与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，
将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）如图，
根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣x2+1；
当x＜﹣2或x＞2时，y=x2﹣1；
由可得点M（﹣2，1）、点N（2，1），
①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1），
则PO﹣PD=﹣[1﹣（﹣a2+1）]
=a2+1﹣a2
=1；
②当﹣2≤x＜﹣2或2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD=﹣[1﹣（a2﹣1）]
=a2+1﹣2+a2
=a2﹣1；
③当x＜﹣2或x＞2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD=﹣[（a2﹣1）﹣1]
=a2+1﹣a2+2
=3；
综上，当x＜﹣2、﹣2≤x≤2或x＞2时，PO与PD的差为定值．
4、正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．
②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线L经过O、P、A三点，
∴有，
解得：，
∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．
（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），
∴S
△OAE +S
OCE
=OA•y
E
+OC•x
E
=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，
∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．
5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
6、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求AD的长；
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
【解答】解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），
∴A（10，0），
又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，
设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；
（3）∵y=﹣x2+x，
∴其对称轴为x=5，
∵A、O两点关于对称轴对称，
∴PA=PO，
当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，
由（2）可知D点的坐标为（10，5），
设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，
∴直线OD解析式为y=x，
令x=5，可得y=，
∴P点坐标为（5，）．
7、在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A,B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出A,C,D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把y＝0代入y＝－x2－2x＋3，得－x2－2x＋3＝0.解得x1＝－3,x2＝1.
∵A 在B 的左侧，∴A 的坐标为（－3,0），B 的坐标为（1,0） 把x ＝0代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝3.∴C 的坐标为（0,3）. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4, ∴顶点为D 的坐标为（―1,4）.
（2）作点C （0,3）关于x 轴的对称点C ′，则C ′的坐标为（0,－3）.连接DC ′,
DC ′交x 轴于点E ，则点E 就是使得△CDE 的周长最小的点，如图1所示． 设直线DC ′的解析式为y ＝kx ＋b ,
把D （―1,4），C ′（0,－3）分别代入y ＝kx ＋b ，得
⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b －3＝b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3
． ∴直线DC ′的解析式为y ＝－7x －3.把y ＝0代入y ＝－7x －3，得0＝－7x －3. 解得x ＝―37
.
∴点E 的坐标为(―3
7
，0)．
（3）存在符合题意的点P ．
设直线AC 的解析式为y ＝ax ＋c , 把A （－3,0），C （0,3）分别代入y ＝ax ＋c ,得
⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋c ＝0c ＝3 ．解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝3. ∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋3. 设点F 的坐标为（m,m+3）.
①当∠PAF＝90°时，P的坐标为（m,－m－3）.
把P（m,－m－3）代入y＝－x2－2x＋3，得
－m－3＝－m2－2m＋3.
解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝2.
∴P的坐标为（2,－5）．
②当∠AFP＝90°时，P的坐标为（2m＋3,0）.
把P（2m＋3,0）代入y＝－x2－2x＋3，得
－(2m＋3)2－2(2m＋3)＋3＝0.
解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝－1.
∴P的坐标为（1,0）．
③当∠APF＝90°时，P的坐标为（m,0）.
把P（m,0）代入y＝－x2－2x＋3，得
－m2－2m＋3＝0.
解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝1.
∴P的坐标为（1,0）．
综上可知，符合题意的点P的坐标为（2,－5）或（1,0）．
8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B （1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A 重合．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3．
∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．∴OA=OC=3，
∴A（﹣3，0），
∵点A，B，C在抛物线上，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，
∴S
△PBE
=（1﹣x）2，
∴S
△PCE =S
△PBC
﹣S
△PBE
=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x
﹣1）2+，
当x=1时，S
△PCE
的最大值为．
（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标（﹣1，4），
∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，
∴MQ=OQ，
∴=，
∴8x2+18x=7=0，
∴x=，
∴y=或y=，
∴Q（，），或（，）．
9、如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数
y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x
1﹣x
2
|求出；
当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y
1﹣y
2
|求出．
【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A（﹣1，0），C（0，5），
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5；
（2）如图1，
∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，
∴由二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5得，点B的坐标B（5，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∵直线BC过点B（5，0），C（0，5），
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y=﹣x+5，
设ND的长为d，N点的横坐标为n，
则N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D（n，﹣n2+4n+5），
则d=|﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）|，
由题意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，
∴d=﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n2+5n=﹣（n﹣）2+，
∴当n=时，线段ND长度的最大值是；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），
作点H（2，9）关于y轴的对称点H
1，则点H
1
的坐标为H
1
（﹣2，9），
作点M（4，5）关于x轴的对称点HM
1，则点M
1
的坐标为M
1
（4，﹣5），
连结H
1M
1
分别交x轴于点F，y轴于点E，
所以H
1M
1
+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，
设直线H
1M
1
解析式为y=k
1
x+b
1
，
直线H
1M
1
过点M
1
（4，﹣5），H
1
（﹣2，9），
根据题意得方程组，
解得，
∴y=﹣x+，
∴点F，E的坐标分别为（，0）（0，）．
10、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）；
（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，
如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，
由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
，
∴△BPO≌△B′PO（ASA），
∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得，解得，
∴直线AP解析式为y=x+1，
联立，解得，
∴P点坐标为（，）；
若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，
∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（，）；
（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y=x﹣，
∴可求得C（，0），F（0，﹣），
∴tan∠OFC==，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ=，
不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
=DE•HQ=×t×t=t2，
∴若DQ=DE，则S
△DEQ
=DE•HQ=×2DH•HQ=×t×t=t2，若DQ=QE，则S
△DEQ
∵t2＜t2，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x，x﹣），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，
当x=﹣时，t
max
=3，
∴（S
△DEQ ）
max
=t2=，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．
11、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x 轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接PC、PE，
x=﹣=﹣=1，
当x=1时，y=4，
∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，
则，
解得，，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），
则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x=2，
则y=﹣2×2+6=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a=﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1=0，
解得，a=，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5=0，
解得，a=，
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
12、如图1，已知开口向下的抛物线y
1
=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于
点C，顶点为B，将抛物线y
1绕点C旋转180°后得到抛物线y
2
，点A，B的对应
点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y
2
的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
【解答】解：（1）由题意得：
将A（m，1）代入y
1
=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，
解得：m
1=2，m
2
=0（舍），
∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；
（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，
∴BM2+CM2=BC2=CD2，
∴12+（﹣a）2=22，
∴a=，
∵y
1
抛物线开口向下，∴a=﹣，
∵y
2由y
1
绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），
∴设y
2
=a（x+1）2+1﹣，则a=，
∴y
2
=x2+2x+1；
（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，
得BQ=，DQ=3，则BD=2，
∴∠BDQ=30°，
∴PH=，PG=t，
∴S=（PE+PF）×DP=t2，
如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），
S
不重合
=（t﹣1）2，
S=S
1+S
2
﹣S
不重合
=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，
=﹣；
综上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．
13、已知，抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：B（﹣4，4）或（﹣8，16）．（3）如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），
∴16a=4，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x2，
（2）存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，
理由：如图1，
∵使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形
∴直角顶点是点O，或点A，
①当直角顶点是点O时，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，
∵点A（4，4），
∴直线OA解析式为y=x，
∴直线OB解析式为y=﹣x，
∵，
∴（舍）或，
∴B（﹣4，4），
②当直角顶点为点A，过点A作AB⊥OA，
由①有，直线OA的解析式为y=x，
∵A（4，4），
∴直线AB解析式为y=﹣x+8，
∵，
（舍）或，
∴B（﹣8，16），
∴满足条件的点B（﹣4，4）或（﹣8，16）；故答案为B（﹣4，4）或（﹣8，16）；
（3）证明：设点D（m， m2），
∴直线DO解析式为y=x，
∵l∥x轴，C（0，﹣1），
令y=﹣1，则x=﹣，
∴直线DO与l交于E（﹣，﹣1），
∵EF⊥l，l∥x轴，
∴F横坐标为﹣，
∵点F在抛物线上，
∴F（﹣，）
设直线DF解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线DF解析式为y=x+1，
∴点G（0，1）满足直线DF解析式，
∴直线DF一定经过点G．
14、如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y=x2+x﹣2．
（2）令y=x2+x﹣2中x=0，则y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，0），
∴CM==．
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CDE=90°，
∴△COM∽△CDE，
∴，
∴DC=．
（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x﹣2+=x2+x ﹣，
令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0，
解得：x
1=，x
2
=．
∵点P在第三象限，
∴＜x＜0．
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．在Rt△CDE中，CD=，CE=4，
∴DE==，sin∠DCE==，
在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，
∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，
∴D（﹣，），D′（0，），
∵P（x， x2+x﹣），
∴P′（0， x2+x﹣）．
∴S
△PDE =S
△DD′E
+S
梯形DD′P′P
﹣S
△EPP′
=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′
=﹣﹣x+2（＜x＜0），
∵S
△PDE
=﹣﹣x+2=﹣+，＜﹣＜0，
∴当x=﹣时，S
△PDE
取最大值，最大值为．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S
△PDE
=﹣﹣x+2（＜x ＜0），且△PDE面积的最大值为．
15、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，
（2）如图1，
作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，
由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，
∴D（0，﹣4），
∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，
∴联立①②解得，（舍）或，
∴C（﹣2，6），
∵A（4，0），
∴直线AC解析式为y=﹣x+4，
∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），
∴直线BF解析式为y=x+1，
设点F（m，m+1），
∴G（，），
∵点G在直线AC上，
∴﹣，
∴m=4，
∴F（4，5），
∵D（0，﹣4），
∴直线DF解析式为y=x﹣4，
∵直线AC解析式为y=﹣x+4，
∴直线DF和直线AC的交点E（，），
（3）∵BD=，
由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×5=＞BD，∴∠BED不可能是直角，
∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），
∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，
∵△BDE为直角三角形，
∴①∠BDE=90°，
∴BE⊥BD交AC于B，
∴直线BE解析式为y=x+，
∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，
∴E（3，1），
②∠BDE=90°，
∴BE⊥BD交AC于D，
∴直线BE的解析式为y=x﹣4，
∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，
∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，﹣），
∴E（，﹣），
即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，﹣）．
16、如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），
∴A（﹣1，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；
当h=4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），
则2≤h≤4；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），
①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN 垂直于MP的延长线于N点，如图所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ，
则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP 的延长线与N点，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM=BN，
∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，
则3+m=m2﹣2m﹣3，
解得m=或．
∴P（，）或（，）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．
17、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，
∴，
∴，
∴y=﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n，
∴，
∴，
∴y=﹣x+3；
（2）由运动得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，
∵△AEF为直角三角形，
∴①△AOB∽△AEF，
∴，
∴，
∴t=，
②△AOB∽△AFE，
∴，
∴，
∴t=1；
（3）如图，存在，
过点P作PC∥AB交y轴于C，
∵直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，
联立，
∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，
∴x2﹣3x+b﹣3=0
∴△=9﹣4（b﹣3）=0
∴b=，
∴BC=﹣3=，x=，
∴P（，）．
过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，
∴BD=，
∴BD=，
∵AB=3
S
=AB×BD=×3×=．
最大
即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）．。