2019-2020学年人教A版高中数学必修三湖北新课改专用课件：第4章 数系的扩充与复数的引入(选修2-2) 4.1.2

反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)也 对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数 对，可以建立复数z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向 量 O→Z )之间的一一对应关系．点Z和向量 O→Z 是复数z的几 何表示(如图所示)．
• 【例题1】 当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－ 6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第 四象限的平分线上．
解得－3<m<0.所以m的取值范围为(－
3，0)． 答案 (－3，0)
• 3．(复数的几何意义)实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2 ＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点：
• (1)在x轴上方； • (2)在直线x＋y＋5＝0上．
解析 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5， 故m满足{m|m＜－3或m＞5}时，z对应的点在x轴上 方．
第四章
数系的扩充与复数的引入(选修2－2)
4.1 数系的扩充和复数的概念 4.1.2 复数的几何意义
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课前教材预案
要点一 复数的几何意义
• 1．复平面的定义 • 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做
________，y轴叫做________.实轴上的点都表示实复数平面；除 了原点外，实虚轴轴上的点都表示纯虚虚轴数．
解析 由题意得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，解得 tan θ＝12.
• 2．(复数的几何意义)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－ 3)i(m∈R)．若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，则m 的取值范围为____________．
解析 因为z所对应的点在第四象限，所以
mm－1>0， m2＋2m－3<0，
解析 由已知得|z1|2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝2＋2cos θ，
|z2|2＝(1－sin θ)2＋cos2θ＝2－2sin θ， 又|z1|2＋|z2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2，
所以cos θ－sin θ≥－1，cosθ＋π4≥－ 22， 所以2kπ－π≤θ≤2kπ＋π2，k∈Z. 所以θ的取值范围是2kπ－π，2kπ＋π2，k∈Z.
2．复数与点、向量间的对应
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一―一―对→应 复平面内的点
___Z(_a，_b_) __；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) O→_Z_＝__(_a_，__b.)
一―一―对→应
平面向量
要点二 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 O→Z ，则 O→Z 的 模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝__a_2＋__b_2_____.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 因为z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
所以
m－2＝0， m＋1≠0，
解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝
3.
课末随堂演练
• 1．(复数的几何意义)设sin θ－1＋(sin θ－cos θ)i对应的点在 直线x＋y＋1＝0上，则tan θ的值为____________.
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限；
• (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复 数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2 －3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．
k＜－1或k＞4， k＝－1或k＝6，
所以k＝6.
所以当k＝6时，复数z对应的点位于x轴正半轴上．
(2)由题意得
k2－3k－4＝0， k2－5k－6＜0，
解得
k＝－1或k＝4， －1＜k＜6，
所以k＝4.
所以当k＝4时，复数z对应的点位于y轴负半轴上．
(3)由题意得kk22－ －55kk－ －66＝ ＜－ 0，k2－3k－4， 解得k－＝1－＜1k或 ＜k6＝，5， 所以k＝5， 所以当k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的平分 线上．
• (2)由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a ＝1.
• 故满足条件的实数a的值为1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作 |z|或|a＋bi|.由模的定义知|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【例题2】 在复平面内画出下列复数对应的向量， 并求出各复数的模．
• 思维导引：利用复数与点的一一对应关系及点对应位置时坐 标满足的条件求解．
解析 因为k为实数，所以k2－3k－4，k2－5k－6都
是实数，所以复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点
的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得
k2－3k－4＞0， k2－5k－6＝0，
解得
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得m＝
－3－ 4
41或m＝－3＋4
41 .
故当m＝
－3± 4
41
时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0
上．
• 4．(复数的模)已知复数z1＝1＋cos θ＋isin θ，z2＝1－sin θ ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．
课百度文库限时作业
课堂深度拓展
考点一 复平面与复数的几何意义
根据复数的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈ R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而每一 个有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中又唯一确定一 个点Z(a，b)(或一个向量 O→Z )，这就是说，每一个复数对 应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量)；
1，－12＋ 23i，－12－ 23i. 思维导引：复数z在复平面内的对应点为Z，连接 OZ，则可建立向量O→Z与复数z之间的一一对应关系．
解析 在复平面内找出各复数对应的向量(如图所 示)．
显然复数1，－12＋ 23i， －12－ 23i对应的向量分别为 O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1， －12＋ 23i＝ －122＋ 232＝1， －12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.