2023年中考数学常见几何模型之最值模型瓜豆原理
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专题13 最值模型-瓜豆原理
动点轨迹问题是中考的重要题型,受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理:若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜,从动点叫豆,瓜在直线上运动,豆也在直线_上运动;瓜在圆周上运动,豆的轨迹也是圆。
古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上
运动时,Q点轨迹是?
解析:当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.
理由:分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,
所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直
线.
模型1-2如图,在△APQ中AP=AQ,∠P AQ为定值,当点P在直线BC上运动
时,求Q点轨迹?
解析:当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话,P 、Q 轨迹是同一种图形。
理由:当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q 点的位置,连线即可,比如Q 点的起始位置和终点位置,连接即得Q 点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时,利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值;
2)当动点轨迹不易确定是直线时,可通过以下三种方法进行确定:
①观察动点运动到特殊位置时,如中点,端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变,若存在该动点的轨迹为直线;②当某动点到某条直线的距离不变时,该动点的轨迹为直线;③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时,若可化为一次函数,则点的轨迹为直线;④若动点轨迹用上述方法都合适,则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1.(2021·四川绵阳·中考真题)如图,在ACD V 中,6AD =,5BC =,
()2AC AB AB BC =+,且DAB DCA V :V ,若3AD AP =,点Q 是线段AB 上的动点,则PQ 的最小值是( )
A B .2C D .85
132
AH AD ∴==,BH AB ∴=3,6AD AP AD ==Q ,2AP ∴=90,AQP AHB PAQ ∠=∠=︒∠=Q 例2.(2021·四川广元·中考真题)如图,在ABC V 中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,点D 是BC 边的中点,点P 是AC 边上一个动点,连接PD ,以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ,连接CQ .则CQ 的最小值是( )
A .2
B .1
C
D .32
【答案】B
例3.(2022·湖北·鄂州市三模)如图,在边长为6的正方形ABCD 中,P 是边AD 的中点,E 是边AB 上的一个动点(不与A 重合),以线段AE 为边在正方形内作等边AEF △,M 是边EF 的中点,连接PM ,则在点E 运动过程中,PM 的最小值是( )
A .32
B
C .2
D .3
【答案】C
△,M是边
∵等边AEF
∴在点E运动过程中,点
△的边
∵M是等边AEF
∴∠P AM=60°,∴PM=
例4.(2022·山东日照·中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),P是x轴上一动点,把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值是__________.
例5.(2022·福建福州模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,Q 是直线122
y x =+上的一个动点,将Q 绕点()1,0P −逆时针旋转90︒,得到点Q ',连接OQ ',则OQ '最小值为______.
APQ BQ P '≅,由此可求25y x =−−上运动,当1tan 2OEQ '∠=,进而得出【详解】设1(,2
Q t t
例6.(2022·河南南阳·二模)如图所示,4AB =,8BC =,AB BC ⊥于点B ,点D 是线段BC 上一个动点,且AD DE ⊥于点D ,3tan 4DAE ∠=
,连接CE ,则CE 长的最小值是______.
【答案】3
【分析】在BC 上截取3BQ =,构造相似,可得出90AQE ∠=︒,过C 点作CH ⊥EQ 可得出
ABQ QHC ∽△△即可求出CE 的长
【详解】解:在BC 上截取3BQ =,则5CQ =,Rt ABQ △中,::3:4:5BQ AB AQ =,
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是?
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三
点共线,由Q为AP中点可得:AM=1
2
AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据
动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.
模型2-2. 如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP,Q点轨迹是?
【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆.
接下来确定圆心与半径.考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
模型2-3. 如图,△APQ是直角三角形,∠P AQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.
【模型原理】动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
1)动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧。
2)当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆,具体运用如下:
①见直角,找斜边,想直径,定外心,现圆形;②见定角,找对边,想周角,转心角,现圆形。
例1.(2022·四川乐山·三模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径,作AD交⊙O于点E,则BE的最小值为()
A.6B.8C.10D.12
【答案】B
【分析】连接CE,可得∠CED=∠CEA=90°,从而知点E在以AC为直径的⊙Q上,继而知点Q、E、B共线时BE最小,根据勾股定理求得QB的长,即可得答案.
【详解】解:如图,连接CE,
∴∠CED=∠CEA=90°,∴点
∵AC=10,∴QC=QE=5,当点
∵BC=12,∴QB=2
BC QC
+
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理,解决本题的关键是确定
例2.(2021·山东威海·中考真题)如图,在正方形ABCD中,2
AB=,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若AE BF
=,则BG的最小值为__________________.
∆中,点E,F分别是边例3.(2021·四川达州·中考真题)如图,在边长为6的等边ABC
=,连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为AC,BC上的动点,且AE CF
___________.
例4.(2022·广东·二模)如图,在O e 中,AB 是O e 的直径,AB AD BC ==,AD ,
BC 交于点E ,点D 为»BC
的中点,点G 为平面内一动点,且BG EG ⊥,则AG 的最小值为__________.
1##1−
∵AD =BC ,∴»AD =∴∠CBD =∠CBA =∠∵AB 为O e 的直径,∴∠例5.(2022·山东·二模)如图,Rt ABC V 中,90ACB ∠=︒,2AB AC =,3BC =,点E 是AB 上的点,将ACE △沿CE 翻折,得到'A CE V ,过点B 作BF AC ∥交BAC ∠的平分线于点F ,连接'A F ,则'A F 长度的最小值为______.
例6.(2022·广西贵港·三模)如图,在△ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,点D
在AC 边上,且2AD =,动点P 在BC 边上,将△PDC 沿直线PD 翻折,点C 的对应点为E ,则△AEB 面积的最小值是( )
A .32
B .53
C .2
D .52
∵90ACB ∠=︒,3AC =,BC =225AB AC BC =+=.
∵∠MAD =∠CAB ,AD =2,∴△∴25DM AD BC AB ==,DQ =DC =1.∴
例7.(2020·四川成都市·中考真题)如图,在矩形中,,,,分别为,边的中点.动点从点出发沿向点运动,同时,动点从点出发沿向点运动,连接,过点作于点,连接.若点的速度是点的速度的2倍,在点从点运动至点的过程中,线段长度的最大值为_________,线段长度的最小值为_________.
【答案】
【分析】连接EF
,则EF ⊥AB ,过点P 作PG ⊥CD 于点G ,如图1,由于
,而PG=3,所以当GQ 最大时PQ 最大,由题意可得当P 、A 重合时GQ 最大,据此即可求出PQ 的最大值;设EF 与PQ 交于点M ,连接BM ,取BM 的中点O ,连接HO ,如图2,易证△FQM ∽△EPM ,则根据相似三角形的性质可得EM 为定值2,于是BM 的长度可得,由∠BHM=∠BEM=90°可得B 、E 、H 、M 四点共圆,且圆心为点O ,于是当D 、H 、O 三点共线时,DH 的长度最小,最小值为DO -OH ,为此只需连接DO ,求出DO 的长即可,可过点O 作ON ⊥CD 于点N ,作OK ⊥BC 于点K ,如图3,构建Rt △DON ,利用勾股定理即可求出DO 的长,进而可得答案.
【详解】解:连接EF ,则EF ⊥AB ,过点P 作PG ⊥CD 于点G ,如图1,则PE=GF ,PG=AD=3,
设FQ=t ,则GF=PE=2t ,GQ=3t ,
在Rt △PGQ 中,由勾股定理得:, ∴当t 最大即EP 最大时,PQ 最大,
由题意知:当点P 、A 重合时,EP 最大,此时EP=2,则t=1,∴PQ 的最大值=
ABCD 4AB =3BC =E F AB CD P E EA A Q F FC C PQ B BH PQ ⊥H DH P Q P E A PQ DH 222PQ PG QG =+()2
222223399PQ PG QG t t =+=+=+
;
设EF 与PQ 交于点M ,连接BM ,取BM 的中点O ,连接HO ,如图2,
∵FQ ∥PE ,∴△FQM ∽△EPM ,∴, ∵EF=3,∴FM=1,ME=2,∴,
∵∠BHM=∠BEM=90°,∴B 、E 、H 、M 四点共圆,且圆心为点O ,∴
, ∴当D 、H 、O 三点共线时,DH 的长度最小,
连接DO ,过点O 作ON ⊥CD 于点N ,作OK ⊥BC 于点K ,如图3,则OK=BK=1, ∴NO=2,CN=1,∴DN=3,则在Rt △DON 中,, ∴DH 的最小值=DO -
.故答案为:
.
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线
段的最值等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度,属于中考压轴题,正确=12
FM FQ EM PE ==BM ==12
OH OB BM ===DO ==−
添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.
课后专项训练
1.(2022·安徽·合肥市三模)如图,在Rt △ABC 纸片中,∠ACB =90°,AC =4,BC =3,点D ,E 分别在BC ,AB 边上,连接DE ,将△BDE 沿DE 翻折,使点B 落在点F 的位置,连接AF ,若四边形BEFD 是菱形,则AF 的长的最小值为( )
A
B C .52 D .32
2.(2022·贵州毕节·中考真题)如图,在Rt ABC V 中,90,3,5BAC AB BC ∠=︒==,点P 为BC 边上任意一点,连接PA ,以PA ,PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连接PQ ,则PQ 长度的最小值为_________.
【答案】125
##2.4
∵'=∠∠ACB P CO '∠=∠CP O CAB ∴'=CO OP BC AB ,∴253'=OP ,∴OP 【点睛】考查线段的最小值问题,结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度,本题3.(2022·广东·东莞二模)如图,已知等腰三角形P AB ,∠BAP =45°,AB =AP ,将三角形
放在平面直角坐标系中,若点A (−0),点B 在y 轴正半轴上,则OP 的最小值是 _____.
【答案】3##3−+【分析】把△AOB 绕点A 顺时针旋转,使AB 与线段AP 重合,点O 的对应点为C ,直线CP 交x 轴于点D ,证得△ACD 为等腰直角三角形,可得点P 的运动轨迹在直线CP 上,当OP ⊥CP 时,OP 最短,当OP ⊥CP 时,△OPD 为等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题.
【详解】解:如图,把△AOB 绕点A 顺时针旋转,使AB 与线段AP 重合,点O 的对应点为点C ,直线CP 交x 轴于点D ,
则△AOB ≌△ACP ,∴∠BAO =∠P AC ,∠∵∠BAP =45°,即∠BAO +∠P AO =45°,∴∠∴△ACD 为等腰直角三角形,∴点P 的运动轨迹在直线4.(2022·广东·乐昌市二模)如图,△ABC 中,90C ∠=︒,10AC =,8BC =,线段DE 的两个端点D ,E 分别在边AC ,BC 上滑动,且6DE =,若点M ,N 分别是DE ,AB 的中点,则MN 的最小值为_________.
ABC
∆中,90
∠=︒,
C
∵6
DE=,点M,N分别是
当C,M,N三点在同一条直线上时,
5.(2022·江苏宿迁·三模)如图在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.D是AB上一动点,以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE,使∠CED=90°,连接BE,则线段BE的最小值为__________________.
∵Rt △DCE 与Rt △AE 1C 为等腰直角三角形,∴∠DCE =∠CDE =∠ACE 1=∠CAE 1=45°∵1
CD AC CE CE =,∴△ACD ∽△E 1CE ,∴∠CAD ∵D 为AB 上的动点,∴E 在直线E 1E 上运动,当BE ⊥E F 时,BE 最短,即为BE 的长.6.(2022·广东·珠海市三模)如图正方形ABCD 的边长为3,E 是BC 上一点且1CE =,F 是线段DE 上的动点.连接CF ,将线段CF 绕点C 逆时针旋转 90°得到CG ,连接EG ,则EG 的最小值是_____.
∵四边形ABCD是正方形,∴∵∠FCG=∠DCB=90°,∴∠DCF,
在△CBG和△CDF中
BC
BCG CG
⎧
⎪
∠
⎨
⎪
⎩
7.(2022·陕西师大附中三模)如图,正方形ABCD中,4
AB=,点E为边BC上一动点,将点A绕点E顺时针旋转90︒得到点F,则DF的最小值为__________.
8.(2022·浙江绍兴·二模)如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点P从A点出发沿AB运动到B点,以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC,∠PQC=90°,则Rt△PQC 的外心运动的路径长为_____,BQ的最小值为_____.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理,直角三角形的性质,勾股定理,三角形的外心,三角形相似的判定和性质,垂线段最短,熟练掌握相似三角形的判定和性质,明确垂线段最短是解题的关键.
9.(2022·江苏盐城·三模)如图,A 、 B 两点的坐标分别为(-3,0)、(-1,0),点C 为y 轴上一动点,以AC 为边向下作Rt ACD ∆,使得90ADC ∠=︒,30ACD ∠=︒,连接线段BD ,则线段BD 的最小值为____.
【答案】12##0.5 、当点C 运动到O 点时,则点D 运动到由题意可得:直线OD 为动点D 的运动轨迹,当运动到11'22
BD OB ==,故答案为12. 【点睛】本题考查了计算线段最值的问题,根据题意,找准运动到'D 时,BD 有最小值是解题的关键.
10.(2022·江苏连云港·二模)如图,在ABC V 中,90ABC ∠=︒,AB BC ==D 是斜边AC 的中点,E ,F 分别是AB ,BC 上的动点,且AE BF =,连接EF ,G 为EF 的中点,则点E ,F 在运动过程中,DG 的最小值为______米.
11.(2022·河南·二模)如图,正方形OABC 中,()8,0A ,()8,8B ,点D 坐标为()6,0−,连接CD ,点P 为边OA 上一个动点,连接CP ,过点D 作DE CP ⊥于点E ,连接AE ,当AE 取最小值时,点E 的纵坐标为( )
A .3
B .4
C .113
D .154
【答案】B
【分析】取CD 的中点为O 1,连接EO 1,所以点E 的运动轨迹在以点O 1为圆心,EO 1为半径的圆上,证明当O 1、E 、A 三点共线时,AE 最小,作1O M AD ⊥,EN AD ⊥,再证明1AEN AO M ∽△△,利用相似性质及已知条件求解即可.
【详解】解:∵DE CP ⊥,∴90DEP DEC ∠=∠=︒,
取CD 的中点为O 1,连接EO 1,则111DO CO EO ==,∴点E 的运动轨迹在以点O 1为圆心,EO 1为半径的圆上,
∵点
P为边OA上一个动点,∴E从O
∴当O1、E、A三点共线时,AE最小,作
∵()
8,0
A,()
8,8
B,点D坐标为(6,0
−
12.(2022·山东临沂·二模)如图,正方形ABCD的边长为EF经过正方形的中心O,并能绕着O转动,分别交AB、CD边于E、F点,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为()
A B1C D1
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O,可证EF经过O点.连接OB,取OB中点M,连接MA,MG,则MA,MG为定长,利用两点之间线段最短解决问题即可.
【详解】解:设正方形的中心为O,
∵正方形ABCD的边长为
∵直线EF经过正方形的中心
∵M是OB中点,∴OM=BM=1
V内部一动点,连接BP,CP,13.(2022·安徽·三模)如图,点P是边长为6的等边ABC
⊥,垂足为E,连接DE,则DE长AP,满足12
∠=∠,D为AP的中点,过点P作PE AC
的最小值为()
A.2B
C.3D
,∴APE 是直角三角形,AP 最小时,=60º,
BPC =180º-(∠
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识;解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题.14.(2022·江苏·徐州市三模)如图,ABC V 中,45BAC ∠=︒,8AB AC ==,P 为AB 边上的一动点,以PA 、PC 为边作PAQC ,则线段AQ 的最小值为______.
15.(2022·广东·深圳市二模)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为边BC上一动点,F为AE中点,G为DE上一点,BF=FG,则CG的最小值为______.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠∠ADC=90°,DC=AB=3,
∵F是AE的中点∴BF=1
2
=FG,∴AF=FG=EF,∴∠AGE
∴点G在以AD为直径的圆上运动,取的中点O,
16.(2022·广东·测试·编辑教研五一模)如图,抛物线2y -x +x 6=+交x 轴于A 、B 两点(A 在B 的左侧),交y 轴于点C ,点D 是线段AC 的中点,点P 是线段AB 上一个动点,APD △沿DP 折叠得A PD '△,则线段A B '的最小值是______.
【答案】55
过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,AE ∴=17.(2022·河南洛阳·二模)如图,正方形ABCD 的边长为4,点F 为CD 边的中点,点P 是AD 边上不与端点重合的一动点,连接BP .将ABP V 沿BP 翻折,点A 的对应点为点E ,则线段EF 长的最小值为( )
A .
B .4−
C
D .2
【答案】B
【分析】先确定线段EF 的最小值的临界点,然后结合正方形的性质,折叠的性质,以及勾股定理,即可求出答案.
【详解】解:连接BF ,则EF ≥BF -BE ,当点B 、E 、F 在同一条直线上时,EF 的长度有最小值,如图
18.(2022·湖北鄂州·二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,点F是AC上一点,且AF∶FC=2∶1,点E是边BC上一动点.将△CEF沿直线EF翻折,点C 落在点P处,则点P到边AB的距离的最小值是()
A.1.2B.1C D.3.2
19.(2022·广东·湖景中学一模)如图,在正方形ABCD中,已知边长5
AB=,点E是BC 边上一动点(点E不与B、C重合),连接AE,作点B关于直线AE的对称点F,则线段CF的最小值为()
A.5B.5C D.5 2
【点睛】本题考查动点最值问题,解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点,解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹.
20.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,点E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点,且4EF =,点G 是EF 的中点,AG 、CG ,则四边形AGCD 面积的最小值为______.
【答案】38
【分析】首先连接AC ,过B 作BH ⊥AC 于H ,当G 在BH 上时,三角形ACG 面积取最小值,此时四边形AGCD 面积取最小值,再连接BG ,知BG =2,得到G 点轨迹圆,该轨迹与BH 交点即为所求最小值时的G 点,利用面积法求出BH 、GH 的长,代入三角形面积公式求解即可.
【详解】解:连接AC ,过B 作BH AC ⊥于H ,
当G 在BH 上时,△ACG 面积取最小值,此时四边形AGCD 面积取最小值,
四边形AGCD 面积=三角形ACG 面积+三角形ACD 面积,
即四边形AGCD 面积=三角形ACG 面积+24.
连接BG ,由G 是EF 中点,EF =4知,BG =2,
故G 在以B 为圆心,BG 为半径的圆弧上,圆弧交BH 于'G ,此时四边形AGCD 面积取最小值,如图所示,。