2023年中考数学常见几何模型之最值模型瓜豆原理

专题13 最值模型-瓜豆原理
动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上
运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，
所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直
线．
模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠P AQ为定值，当点P在直线BC上运动
时，求Q点轨迹？
解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

例1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在ACD V 中，6AD =，5BC =，
()2AC AB AB BC =+，且DAB DCA V :V ，若3AD AP =，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）
A B ．2C D ．85
132
AH AD ∴==，BH AB ∴=3,6AD AP AD ==Q ，2AP ∴=90,AQP AHB PAQ ∠=∠=︒∠=Q 例2．（2021·四川广元·中考真题）如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）
A ．2
B ．1
C
D ．32
【答案】B
例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，P 是边AD 的中点，E 是边AB 上的一个动点(不与A 重合)，以线段AE 为边在正方形内作等边AEF △，M 是边EF 的中点，连接PM ，则在点E 运动过程中，PM 的最小值是（ ）
A ．32
B
C ．2
D ．3
【答案】C
△，M是边
∵等边AEF
∴在点E运动过程中，点
△的边
∵M是等边AEF
∴∠P AM=60°，∴PM=
例4．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
例5．（2022·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线122
y x =+上的一个动点，将Q 绕点()1,0P −逆时针旋转90︒，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '最小值为______．
APQ BQ P '≅，由此可求25y x =−−上运动，当1tan 2OEQ '∠=，进而得出【详解】设1(,2
Q t t
例6．（2022·河南南阳·二模）如图所示，4AB =，8BC =，AB BC ⊥于点B ，点D 是线段BC 上一个动点，且AD DE ⊥于点D ，3tan 4DAE ∠=
，连接CE ，则CE 长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC 上截取3BQ =，构造相似，可得出90AQE ∠=︒，过C 点作CH ⊥EQ 可得出
ABQ QHC ∽△△即可求出CE 的长
【详解】解：在BC 上截取3BQ =，则5CQ =，Rt ABQ △中，::3:4:5BQ AB AQ =，
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三
点共线，由Q为AP中点可得：AM=1
2
AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据
动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．
接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：
1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：
①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形；②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。

例1．（2022·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点
∵BC＝12，∴QB＝2
BC QC
+
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定
例2．（2021·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，2
AB=，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE BF
=，则BG的最小值为__________________．
∆中，点E，F分别是边例3．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边ABC
=，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为AC，BC上的动点，且AE CF
___________．
例4．（2022·广东·二模）如图，在O e 中，AB 是O e 的直径，AB AD BC ==，AD ，
BC 交于点E ，点D 为»BC
的中点，点G 为平面内一动点，且BG EG ⊥，则AG 的最小值为__________．
1##1−
∵AD ＝BC ，∴»AD =∴∠CBD ＝∠CBA ＝∠∵AB 为O e 的直径，∴∠例5．（2022·山东·二模）如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，2AB AC =，3BC =，点E 是AB 上的点，将ACE △沿CE 翻折，得到'A CE V ，过点B 作BF AC ∥交BAC ∠的平分线于点F ，连接'A F ，则'A F 长度的最小值为______．
例6．（2022·广西贵港·三模）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点D
在AC 边上，且2AD =，动点P 在BC 边上，将△PDC 沿直线PD 翻折，点C 的对应点为E ，则△AEB 面积的最小值是（ ）
A ．32
B ．53
C ．2
D ．52
∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =225AB AC BC =+=．
∵∠MAD =∠CAB ，AD =2，∴△∴25DM AD BC AB ==，DQ =DC =1．∴
例7．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接EF
，则EF ⊥AB ，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，如图1，由于
，而PG=3，所以当GQ 最大时PQ 最大，由题意可得当P 、A 重合时GQ 最大，据此即可求出PQ 的最大值；设EF 与PQ 交于点M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接HO ，如图2，易证△FQM ∽△EPM ，则根据相似三角形的性质可得EM 为定值2，于是BM 的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B 、E 、H 、M 四点共圆，且圆心为点O ，于是当D 、H 、O 三点共线时，DH 的长度最小，最小值为DO －OH ，为此只需连接DO ，求出DO 的长即可，可过点O 作ON ⊥CD 于点N ，作OK ⊥BC 于点K ，如图3，构建Rt △DON ，利用勾股定理即可求出DO 的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF ，则EF ⊥AB ，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，如图1，则PE=GF ，PG=AD=3，
设FQ=t ，则GF=PE=2t ，GQ=3t ，
在Rt △PGQ 中，由勾股定理得：， ∴当t 最大即EP 最大时，PQ 最大，
由题意知：当点P 、A 重合时，EP 最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ 的最大值=
ABCD 4AB =3BC =E F AB CD P E EA A Q F FC C PQ B BH PQ ⊥H DH P Q P E A PQ DH 222PQ PG QG =+()2
222223399PQ PG QG t t =+=+=+
；
设EF 与PQ 交于点M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接HO ，如图2，
∵FQ ∥PE ，∴△FQM ∽△EPM ，∴， ∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B 、E 、H 、M 四点共圆，且圆心为点O ，∴
， ∴当D 、H 、O 三点共线时，DH 的长度最小，
连接DO ，过点O 作ON ⊥CD 于点N ，作OK ⊥BC 于点K ，如图3，则OK=BK=1， ∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt △DON 中，， ∴DH 的最小值=DO －
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线
段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确=12
FM FQ EM PE ==BM ==12
OH OB BM ===DO ==−
添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
课后专项训练
1．（2022·安徽·合肥市三模）如图，在Rt △ABC 纸片中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D ，E 分别在BC ，AB 边上，连接DE ，将△BDE 沿DE 翻折，使点B 落在点F 的位置，连接AF ，若四边形BEFD 是菱形，则AF 的长的最小值为（ ）
A
B C ．52 D ．32
2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为_________．
【答案】125
##2.4
∵'=∠∠ACB P CO '∠=∠CP O CAB ∴'=CO OP BC AB ，∴253'=OP ，∴OP 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题3．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形P AB ，∠BAP ＝45°，AB ＝AP ，将三角形
放在平面直角坐标系中，若点A （−0），点B 在y 轴正半轴上，则OP 的最小值是 _____．
【答案】3##3−+【分析】把△AOB 绕点A 顺时针旋转，使AB 与线段AP 重合，点O 的对应点为C ，直线CP 交x 轴于点D ，证得△ACD 为等腰直角三角形，可得点P 的运动轨迹在直线CP 上，当OP ⊥CP 时，OP 最短，当OP ⊥CP 时，△OPD 为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，把△AOB 绕点A 顺时针旋转，使AB 与线段AP 重合，点O 的对应点为点C ，直线CP 交x 轴于点D ，
则△AOB ≌△ACP ，∴∠BAO =∠P AC ，∠∵∠BAP =45°，即∠BAO +∠P AO =45°，∴∠∴△ACD 为等腰直角三角形，∴点P 的运动轨迹在直线4．（2022·广东·乐昌市二模）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M ，N 分别是DE ，AB 的中点，则MN 的最小值为_________．
ABC
∆中，90
∠=︒，
C
∵6
DE=，点M，N分别是
当C，M，N三点在同一条直线上时，
5．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
∵Rt △DCE 与Rt △AE 1C 为等腰直角三角形，∴∠DCE ＝∠CDE ＝∠ACE 1＝∠CAE 1＝45°∵1
CD AC CE CE =，∴△ACD ∽△E 1CE ，∴∠CAD ∵D 为AB 上的动点，∴E 在直线E 1E 上运动，当BE ⊥E F 时，BE 最短，即为BE 的长．6．（2022·广东·珠海市三模）如图正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点且1CE =，F 是线段DE 上的动点．连接CF ，将线段CF 绕点C 逆时针旋转 90°得到CG ，连接EG ，则EG 的最小值是_____．
∵四边形ABCD是正方形，∴∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠DCF，
在△CBG和△CDF中
BC
BCG CG
⎧
⎪
∠
⎨
⎪
⎩
7．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形ABCD中，4
AB=，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90︒得到点F，则DF的最小值为__________．
8．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC 的外心运动的路径长为_____，BQ的最小值为_____．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．
9．（2022·江苏盐城·三模）如图，A 、 B 两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C 为y 轴上一动点，以AC 为边向下作Rt ACD ∆，使得90ADC ∠=︒，30ACD ∠=︒，连接线段BD ，则线段BD 的最小值为____．
【答案】12##0.5 、当点C 运动到O 点时，则点D 运动到由题意可得：直线OD 为动点D 的运动轨迹，当运动到11'22
BD OB ==，故答案为12． 【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准运动到'D 时，BD 有最小值是解题的关键．
10．（2022·江苏连云港·二模）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，AB BC ==D 是斜边AC 的中点，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =，连接EF ，G 为EF 的中点，则点E ，F 在运动过程中，DG 的最小值为______米．
11．（2022·河南·二模）如图，正方形OABC 中，()8,0A ，()8,8B ，点D 坐标为()6,0−，连接CD ，点P 为边OA 上一个动点，连接CP ，过点D 作DE CP ⊥于点E ，连接AE ，当AE 取最小值时，点E 的纵坐标为（ ）
A ．3
B ．4
C ．113
D ．154
【答案】B
【分析】取CD 的中点为O 1，连接EO 1，所以点E 的运动轨迹在以点O 1为圆心，EO 1为半径的圆上，证明当O 1、E 、A 三点共线时，AE 最小，作1O M AD ⊥，EN AD ⊥，再证明1AEN AO M ∽△△，利用相似性质及已知条件求解即可．
【详解】解：∵DE CP ⊥，∴90DEP DEC ∠=∠=︒，
取CD 的中点为O 1，连接EO 1，则111DO CO EO ==，∴点E 的运动轨迹在以点O 1为圆心，EO 1为半径的圆上，
∵点
P为边OA上一个动点，∴E从O
∴当O1、E、A三点共线时，AE最小，作
∵()
8,0
A，()
8,8
B，点D坐标为(6,0
−
12．（2022·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（）
A B1C D1
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
∵正方形ABCD的边长为
∵直线EF经过正方形的中心
∵M是OB中点，∴OM=BM=1
V内部一动点，连接BP，CP，13．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边ABC
⊥，垂足为E，连接DE，则DE长AP，满足12
∠=∠，D为AP的中点，过点P作PE AC
的最小值为（）
A．2B
C．3D
，∴APE 是直角三角形，AP 最小时，=60º，
BPC =180º-(∠
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．14．（2022·江苏·徐州市三模）如图，ABC V 中，45BAC ∠=︒，8AB AC ==，P 为AB 边上的一动点，以PA 、PC 为边作PAQC ，则线段AQ 的最小值为______．
15．（2022·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点∴BF=1
2
=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取的中点O，
16．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线2y -x +x 6=+交x 轴于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，交y 轴于点C ，点D 是线段AC 的中点，点P 是线段AB 上一个动点，APD △沿DP 折叠得A PD '△，则线段A B '的最小值是______．
【答案】55
过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，AE ∴=17．（2022·河南洛阳·二模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点F 为CD 边的中点，点P 是AD 边上不与端点重合的一动点，连接BP ．将ABP V 沿BP 翻折，点A 的对应点为点E ，则线段EF 长的最小值为（ ）
A ．
B ．4−
C
D ．2
【答案】B
【分析】先确定线段EF 的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：连接BF ，则EF ≥BF －BE ，当点B 、E 、F 在同一条直线上时，EF 的长度有最小值，如图
18．（2022·湖北鄂州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C 落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）
A．1.2B．1C D．3.2
19．（2022·广东·湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长5
AB=，点E是BC 边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（）
A．5B．5C D．5 2
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且4EF =，点G 是EF 的中点，AG 、CG ，则四边形AGCD 面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC ，过B 作BH ⊥AC 于H ，当G 在BH 上时，三角形ACG 面积取最小值，此时四边形AGCD 面积取最小值，再连接BG ，知BG =2，得到G 点轨迹圆，该轨迹与BH 交点即为所求最小值时的G 点，利用面积法求出BH 、GH 的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接AC ，过B 作BH AC ⊥于H ，
当G 在BH 上时，△ACG 面积取最小值，此时四边形AGCD 面积取最小值，
四边形AGCD 面积=三角形ACG 面积+三角形ACD 面积，
即四边形AGCD 面积=三角形ACG 面积+24．
连接BG ，由G 是EF 中点，EF =4知，BG =2，
故G 在以B 为圆心，BG 为半径的圆弧上，圆弧交BH 于'G ，此时四边形AGCD 面积取最小值，如图所示，。