高等数学A1教学PPT课件1：10-第10讲导数的概念

好像见过面啊！
三、导数的几何意义
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0 )
此时, 切线方程为: y y0 f (x0 )(x x0 )
f (x0) = 0 y
y=c
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十讲 导数的概念
第四章 函数的导数和微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
O
x0
x
y f (x0)不存在
f (x0) = y
O x0
x
y
f (x0)不存在
O
x0
x
O
x0
x
曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、 垂直于 x 轴、或不存在, 所反映出的导数值是：
切线平行于x 轴： f (x0 ) 0 切线垂直于x 轴： f (x0 ) （曲线为连续曲线） 在点 x0 处无切线： f (x0) 不存在.
解
f (0)
lim
x0
|
0
x | x
|
0
|
y y=|x|
| x |
lim
1
x0＋ x
O
x
f(0)
lim
x0
|
0
x | x
|
0
|
lim
x0
|
x x
|
1
故 f (0) 不存在.
但
lim |
x0
x|0
y x0
,
故
y
|
x | 在点 x
0 处连续.
例6
讨论
y
xn
sin
1 x
,
x0 (n Z )
S (t )
1
lim (gt g t) gt
t 0
2
从物理学看, 当t0 时, 应该有
S(t t) S(t) 0 .
这是否也说明了一个什么问题?
例2 力学中的线密度问题 设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.
直线的一端为原点 , 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m,
则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度 .
nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n 2!
lim y nxn1 x0 x
(xn ) nxn1
(x ) x1
例1
(x3) 3x2.
(
x)
1
(x2 )
1
1 1
x2
1
1
x2
1
,
2
2 2x
d dx
1 x
( x 1 )
(1) x 11
x 2
1 x2
,
(x)' 1 x11 x0 1.
(abx ) ((ab )x ) (ab )x ln ab babx ln a
( a 0、b 为常数)
4. 对数函数 解Q
y loga x (a 0, a 1) , 求y .
y
loga
x
ln ln
x a
lim log a (x x) log a x
x0
x
等价无穷小替代
1
ln1 x lim x
由可导性：
lim
f (0 x) f (0)
lim
ex 1
lim
x 1
x0
x
x0 x
x0 x
lim f (0 x) f (0) lim (1 bx) 1 b
x0
x
x0
x
故 b = –1, 此时函数为
1 x , x ≤ 0 f (x) =
e – x, x > 0
a 1, b 1.
f (x) f (x0 ) ; x x0
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
f
(x0 )
lim
x0
f (x0
x) f (x0 2x
x)
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
导函数
定义 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
x
1
tan2
x
(cotx) 1 csc2 x (1 cot2 x) sin 2 x
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.
左、右导数
定义
设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
第四章 函数的导数和微分
第一节 导数的概念
一.导数产生的背景 二.导数的概念 三.导数存在的必要条件 四.函数的增量与导数的关系
一、导数产生的背景
1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景
例1 非匀速运动物体的速度问题
在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
落体所经过的路程为
S(t t) S(t) 1 g(t t)2 1 gt2 1 g(2tt t2)
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之 为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
函数在点 x0 I 处的导数: f (x0 ) f (x) xx0
例4 求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求 在点 (1, 1) 处的切线方程.
解 在任意一点 x 处, 有
k lim y lim (x x )2 x2
x x0
x0
x
lim (2x x) 2x x0
在点(1, 1) 处 k0 k x1 2x x1 2
故所求切线方程为： y –1= 2(x –1) , 即 y = 2x –1.
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
f(x0 ) a
定理1
f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
四、导数与连续的关系
设 f (x) 在点 x0 可导, 即有
f (x0 )
lim y x0 x
lim
x x0
f
(x) x
f (x0 ) x0
于是
f
(x) f (x0 ) x x0
f (x0 ) ,
0 (x x0 )
故 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) (x x0 )
lim
xx0
f (x)
lim [
x x0
f
(
x0
)
f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) ]
f (x0 )
就是说 , 函数 f (x) 在点 x0 处连续 .
定理2
如果函数 f (x) 在点 x0可导， 则函数f (x)在点 x0 必连续.
只是必要条件！
例5 y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.
x0 x x0
x
和差化积 等价无穷小
2 cos x x sin x
lim
2 2
x0
x
或重要极限
lim cos x x cos x
x0
2
(sin x) cosx
(2) 其它三角函数的导数
(cosx) sin x （仿照正弦函数的推导方法）
(
tan
x )
1 c os2 x
sec2
l 0
l
t 0
t
2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题
平面曲线上切线的概念
曲线 L 在点 P 处切线为
Q
点Q沿曲线L趋向点P时
•
割线PQ的极限位置PT
•
• •
L
切点 P •
•
T
•
切线PT
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+x, y0+ y)
沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
切线方程: y y0 k(x x0 ) , 其中,
k tan
lim tan x0
lim y . x0 x
y y f (x)
O
A T
y AB
x
x
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d f (x) dx
x x0
a.
dy dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f
'(x0
)
lim
x x0
e – x, x > 0
求 a, b 之值.
解 Q f (x) 在 x = 0 处可导,
f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a .
又 lim f (x) lim ex 1, 故 a 1.
x0
x0
从而
1 + bx, x≤0 f (x) =
e – x, x > 0
f (0) = 1
0 ,
x0
在点 x = 0 处的连续性和可导性.
解 Q | sin 1 | 1 , x
lim xn sin 1 0 (n Z )
x0
x
又 y x0 0
当 nN 时, 函数在在点 x = 0 处连续.
当 n =1 时,
lim y lim
x sin 1 x
lim sin
1
x0 x x0 x
自变量对其本身的导数为 1
3. 指数函数 y ax (a 0, a 1)
Q lim y lim a xx a x a x lim ax 1
x x0
x0
x
x0 x
ax lim x ln a ax ln a x0 x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
例2
(4x ) 4x ln 4
1
ln a x0 x
x ln a
故
(log a
x)
1 x ln
a
例3
(log5
x)
x
1 ln 5
(log 1
2
x) ln 2
2
(loga
x)
1 x ln a
ae
(ln x) 1 x
5. 三角函数
(1) y sin x
Q lim y lim sin(x x) sin x
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x0 x x0
x
二、导数的定义
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
O
P P
l
l
给 l 一个增量 l, 则 l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是
m f (l l) f (l)
l
l
而在 P 点处的线密度就是 l 0 平均密度的极限：
lim lim m lim f (l l) f (l)
l 0
l l0
l 0
l
比较两个极限式：
lim f (l l) f (l) 与 lim S(t t) S(t).
先求导、后代值.
基本初等函数的导数
推导一些基 本公式啊 ！
1. y = C x R ( C为常数 ) Q lim y lim C C lim 0 0 x0 x x0 x x0
(C) 0
通常说成：常数的导数为零.
2. 幂函数 y xn （n N ）
Q y (x x)n xn
xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n xn 2!
x0 x
不存在,
故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.
当 n >1 时,
lim y
lim
xn
sin
1 x
lim xn1 sin 1
0
x0 x x0
x
x0
x
故 n >1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为 y x0 0 .
a + bx, x≤0
例7
设 y=
在 x = 0 可导,
练习.1. 设 f (x0) 存在,求
lim f (x0 x (x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
2.若 f
(1)
0
且
f
(1)
存在
,
求
lim
x0
f
(sin (ex