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城市表层土壤重金属污染分析
摘要
为更好地研究城市地质环境的演变模式，本文通过对城市表层土壤重金属污染情况的分析，得到该研究区域的重金属污染程度、主要污染原因及污染源。

问题一，研究土壤中重金属的空间分布与各功能区的污染程度。

首先，建立克里格(Kriging)插值模型，对各区域的地理坐标和土壤重金属浓度进行空间数据插值。

然后，利用Suffer10．0专业地理绘图软件中的克里格插值模块，绘出各区域的3维地理分布图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图（见图1-9）。

最后，应用Newerow综合污染指数法对各重金属元素的污染情况进行评价，利用Matlab12.0软件，得到了生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区的污染比例分布为97.7%、100.0%、86.4%、99.3%、94.3%，重度污染比例分别为40.9%、55.6%、4.5%、56.5%、34.3%。

问题二，研究该城区重金属污染的主要原因。

首先，建立基于因子分析的数据分析模型。

然后，利用Spss19.0软件中多元统计分析的因子分析法对8种元素进行相关性分析及主成分提取，得到该区域内重金属污染的主要原因是工业污染、交通污染和生活污染。

其主要污染元素为Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn。

问题三，研究该城区污染源的位置。

首先，利用等浓度线图（见图10）确定重金属污染的传播特征。

然后，根据此传播特征及质量守恒定理（即平衡原理），建立一个纯扩散方程模型。

最后，采用计算机仿真技术，利用Matlab12.0软件，求解出重金属元素As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn的污染源个数分别为4、3、3、2、3、2、2、5个，8种重金属元素的污染源的具体坐标见表7。

问题四，更好的研究了该城区地质环境的演变模式。

首先，利用已知数据对问题三中的纯扩散方程模型进行检验，发现纯扩散方程模型存在着误差。

然后，为更好的研究了该城区地质环境的演变模式，需要收集重金属元素沿各方向的扩散系数，建立偏微分方程模型，提高模型的广泛性。

文章最后，对所建模型进行了优缺点评价，并提出了相应的推广方案。

关键词：重金属污染；Kriging插值；Newerow综合污染指数法；因子分析；扩散方程
1、问题重述
1.1 问题背景
由于近来城市经济快速发展和人口不断增加，人类活动对于城市土壤地质环境的影响日益显著，土壤地质环境已经成为人们越来越关注的焦点和研究的热点[1-2]。

近年来，随着工业化与城市化也迅速发展，土壤地质环境受重金属污染已经变成全球性问题[3]。

由于含重金属的污染物通过各种途径进入土壤，造成土壤严重污染。

土壤重金属污染可影响农作物产量和质量的下降，并可通过食物链危害人类的健康，也可以导致大气和水环境质量的进一步恶化，因此引起世界各国的广泛重视[4]。

重金属，特别是汞、镉、铅、铬等具有显著和生物毒性。

它们在水体中不能被微生物降解，而只能发生各种形态相互转化和分散、富集过程(即迁移)[5]。

重金属污染的特点是：(1)除被悬浮物带走的外，会因吸附沉淀作用而富集于排污口附近的底泥中，成为长期的次生污染源；(2)水中各种无机配位体(氯离子、硫酸离子、氢氧离子等)和有机配位体(腐蚀质等)会与其生成络合物或螯合物，导致重金属有更大的水溶解度而使已进入底泥的重金属又可能重新释放出来；(3)重金属的价态不同，其活性与毒性不同。

其形态又随pH和氧化还原条件而转化。

1.2 需要解决的问题
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、L、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同（假设）。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值（假设）。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
2、模型假设
整体假设
[1]不同的区域环境受人类活动影响的程度不同；
[2]在远离人群和工业活动的自然区的重金属浓度作为对应元素的标准值；
[3]污染源是位于表层土壤的点污染源。

问题三的假设
[1]重金属污染以同心圆趋势扩散，且符合扩散原理；
[2]重金属元素沿各方向的扩散系数相同；
[3]重金属的扩散符合质量守恒原理。

3、符号说明
问题一的符号
i
i
C重金属元素i的实测浓度i
L重金属元素i的评价标准
问题二的符号r相关系数
ij
x第i个区域的重金属元素j的浓度Y标准化后的浓度矩阵
i
F主成分
问题三的符号D重金属元素的扩散系数m该区域的全部污染物质量
问题四的符号
x
E重金属元素在x轴上的扩散系数y
E重金属元素在y轴上的扩散系数z
E重金属元素在z轴上的扩散系数
4、问题分析
4.1 总体分析
首先，本文通过对城市表层土壤重金属污染进行分析，建立Kriging插值模型[6]确定8种主要重金属元素在研究城区的空间分布情况。

再利用专业的评价方法，对不同区域重金属的污染程度进行评价；接着，利用数值分析的方法[7]，先后对已知数据进行相关性分析、主成分分析和因子分析，以确定引起重金属污染的主要功能区；然后，分析等浓度线图[8]，确定重金属污染物的传播特征，根据平衡原理和扩散原理建立纯扩散方程模型，求解出重金属元素污染源的具体位置；最后，收集重金属污染物沿x、y、z轴方向的扩散系数，对扩散方程模型进行改进，以更好地研究城市地质环境的演变模式。

4.2 对问题一分析
首先，由于不易求解这一专业问题，所以有必要建立相应的专业模型。

查找资料可知，建立Kriging插值模型对于处理空间分布等问题比较恰当。

所以，确定建立Kriging 插值模型。

通过Kriging插值模型对各区域的地理坐标和土壤重金属浓度进行空间数据插值，确定各功能的地形特征、对土壤重金属元素进行描述性统计、确定土壤重金属元素的空间分布。

并且，绘出各区域的3维地理分布图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图。

这样，就可以解决研究区域的8种主要重金属元素的空间分布问题。

然后，分析该城区的不同区域的重金属污染程度，就建立一个以8种重金属元素的单因子污染指数为评价指标，Newerow综合污染指数法为评价方法评价模型，定量地对5个功能区的污染程度进行评价分析。

4.3 对问题二分析
问题二是通过对已知数据进行数值分析，确定重金属污染的主要原因，即确定该研究区域的重金属污染主要是由哪些功能区引起的。

在进行数值分析前，应对已知数据进行相关性分析。

因为所有的分析前提都要在相关性较好的环境中才能进行，所以离不开相关性分析的辅助。

然后，利用数值分析中的主成分分析，对5种功能区的8种重金属元素的浓度进行分析，确定出5种功能区中产生污染源的主要功能区。

在求解出主成分分析中的主要功能区后，还要确定出每个功能区中起决定作用的重金属污染元素，所以需要对确定后的主要功能区进行因子分析。

综上所述，要解决该问题，需要对已知数据进行相关性分析、主成分分析和因子分析。

通过分析，确定重金属污染的主要原因。

4.4 对问题三分析
问题三是在问题一、二的基础上，分析重金属污染物的传播特征。

根据其特征建立传播模型，并由此确定污染源的位置。

首先，利用等浓度线图确定重金属污染的传播特征。

不难发现，8种重金属元素在浓度较高的点的附近扩散呈现明显的同心圆趋势，说明其扩散主要受到污染物本身浓度的影响。

而在重金属污染物浓度很低的地方，其扩散没有明显规律，说明浓度不再是扩散的主要影响因素。

说明重金属元素是从高浓度开始，以圆形区域扩散。

然后，假设重金属元素沿各方向的扩散系数相同，根据表层土壤重金属元素在网格子区域的浓度观测值，结合表层土壤重金属的传播特征和质量守恒定理（即平衡原理），建立一个纯扩散方程模型，求解出重金属元素污染源的具体位置。

4.5 对问题四分析
问题三已建成了纯扩散方程模型，通过带入已知数据进行检验，发现所建模型存在着误差。

模型中所得的重金属污染源与8种重金属元素的等浓度线图中所得信息不完全吻合，所以需要对已建模型进行改进。

考虑到前文已假设重金属元素在各方向的扩散系数相同，所以给模型带来了误差。

故而，对问题三的纯扩散方程模型进行改进，将重金属元素沿各方向的扩散系数相同改进为沿各方向的扩散系数是与移动距离有关的函数。

在原有扩散原理和平衡原理的基础上，建立一个偏微分方程模型，提高模型的准确性。

5、模型建立与求解
5.1 问题一：土壤中重金属的空间分布与各功能区的污染程度
首先，利用地理统计学中应用广泛的一种空间插值方法——克里格(Kriging)插值方法，对各区域的地理坐标和土壤重金属浓度进行空间数据插值。

然后，利用Suffer10．0软件中的克里格(Kriging)插值模块，绘出各区域的3维地理分布图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图。

最后，应用Newerow综合污染指数法对各重金属元素的污染情况进行评价，得到了各种功能区的重金属污染程度。

5.1.1 Kriging插值模型
克里格方法概述：克里格(Kriging)插值法是地理统计学中应用广泛的一种空间插值方法，也是精确度最高的一种方法。

在考虑了采样点的形状、大小及其与自然区样本相互间的空间分布位置等几何特征及品位的空间结构之后，为了达到线性、无偏和最小方
差的估计，而对每一样本点的值分别赋予一定的权系数，最后进行加权平均来估计样本点具体情况的方法。

其插值的条件：变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性。

首先假设此城区的各区域空间坐标变量()Z x 满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为m ，协方差函数()h γ及变异函数c(h)存在。

即有：
[()]E Z x m =
(1) 2()[()()]c h E Z x Z x h m =+-
(2)
21
()[()()]2
h E Z x Z x h γ=
-+ (3)
假设在待估计点（x ）的临域内共有n 个实测点，即12,,,n x x x ，其样本值为()i Z x 。

那么，普通克里格法的插值公式为：
*
1()()n
i i i Z x Z x λ==∑
(4)
其中i λ为权重系数，表示各空间样本点i x 处的观测值()i Z x ，对估计值*()Z x 的贡献程度。

Kriging 插值模型的求解
首先介绍此模型在计算过程中的计算机环境：
操作系统：Windows XP 专业版 32位 SP3 ( DirectX 9.0c )； 处理器：双核； 主频：2.79GHz 内存：2GB
运用Kriging 插值对数据进行处理，得到以下结果： 结果1：各功能区的地形特征
图1 该城市各区域的地理位置空间立体图
生活区主要分布在海拔为0m ~20m 的区域，工业区主要分布在海拔为0m ~50m 的区域，山区主要分布在海拔为50m ~200m 的区域，主干道路区主要分布在海拔为10m ~70m
的区域，公园绿地区主要分布在海拔0m~80m范围内。

结果2：土壤重金属元素的空间分布
利用Surfer10.0软件时，选用克里格(Kriging)插值法，绘制出土壤重金属元素的空间分布图(按顺序依次为重金属元素As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn)。

见下图：
5.1.2 基于Newerow综合污染指数法评价各功能区重金属的污染程度
一、土壤重金属元素的描述性统计
根据附件2中各重金属的浓度数据求出土壤重金属元素浓度的数字特征，即该研究区域的每种重金属元素浓度平均值。

计算结果如下表：
表1 各种重金属元素浓度的平均值和背景值（单位：/g g μ）
元素 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 平均值 5.67 302.3 53.5 55 299 17.3 61.7 201.2 背景值 3.6 130 31 13.2 35 12.3 31 69
通过上表可知：该城区的实际重金属的平均浓度，都超出了各种重金属元素的背景值浓度，得出该城市土壤已被重金属污染。

二、评价各功能区重金属的污染程度
对于城市表层土壤重金属污染分析这一专业问题，需要采用专业的评价模型进行分析。

对于这一类问题的评价方法，最常用的是Newerow 综合污染指数法。

所以根据建模需要，建立一个以5个功能区的污染程度为评价对象，以8种重金属元素的单因子污染指数为评价指标，以单因子污染指数法和Newerow 综合污染指数法为评价方法的评价模型。

单因子污染指数
i i i P C L =
(5)
其中，i P 为重金属i 的单因子污染指数，i C 为重金属i 的实测浓度，i L 为重金属i
的评价标准。

Newerow 综合污染指数法
P 综合(6)
其中，P 综合
为综合污染指数，,max i P 为重金属i 的单因子污染指数的最大值，,i ave P 为所有重金属单项污染指数的平均值。

三、评价模型的求解
首先，根据单因子污染指数法，可得到319个采样点的8种重金属污染指数。

因此，
可确定一个319行、8列的单因子污染指数矩阵A
()3198ij A p ⨯= (7) 然后，根据Newerow 综合污染指数法，可以将单因子污染指数矩阵A 的每一行的
数据进行综合处理，即对每个样本点的8种重金属污染指数进行综合处理。

于是，得到一个319行、1列的综合污染指数矩阵B
{}3191B p ⨯=综合 (8) 最后，将各区域的综合污染指数与《土壤环境质量标准》对比，得出各个区域的重
金属污染情况。

土壤重金属综合指标质量分级标准见下表：
Ⅰ 0.7P ≤综合 安全 清洁 Ⅱ 0.7 1.0P <≤综合 警戒 尚清洁
Ⅲ 1.0 2.0P <≤综合 轻污染 土壤污染物超过北背景值，作物开始污染
Ⅳ 2.0 3.0P <≤综合 中污染 土壤、作物均受到重度污染 Ⅴ
3.0
P >综合 重污染
土壤、作物受污染已相当严重
四、评价污染程度的结果说明：
将综合污染指数矩阵B 中的319个数分别与综合指标质量分级标准进行对比，确定每一个样本点土壤的综合指标质量等级。

在此给出5个不同功能区的总体污染情况，即生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区土壤的不同污染程度的总采样点个数。

见下表：
工业区 36 0 0 6 10 20 山区 66 2 7 43 11 3 主干道 138 0 1 34 25 78 公园绿地区
35 0 2 11 10 12
由生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区土壤的不同污染程度的总采样点个数，可以得出生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区土壤的不同污染程度。

见下表：
重度污染比例
40.9% 55.6% 4.5% 56.5% 34.3%
由此可见，该研究城区的污染情况比较严重，需寻找重金属污染的主要原因，并进行环境合理规划。

5.2 问题二：基于因子分析的数据分析模型（重金属污染的主要原因分析）
首先，进行相关分析。

对8种重金属元素进行相关分析，找到各因子间的相互关系，相关程度比较大的元素可能来自同一污染源。

然后，进行主成分分析。

为了说明重金属污染的主要原因，需要找到影响8种重金属元素中相互独立的主要元素，可以应用多元地统计中的主成分分析法对各重金属元素进行主成分分析。

最后，对5个功能区分别进行因子分析，从而得到5个功能区中影响重金属元素浓度分布的主要因子，即重金属污染的主要原因。

一、各重金属元素的相关性分析
各重金属元素的浓度分布是互相影响、关系复杂的，且各浓度单位不同，通过相关性分析可以找到元素间的分布规律，利用Spss 软件得到元素的相关系数矩阵，相关程度
比较大的元素可能来自同一污染源。

在沉积物中重金属元素的相关性越强，表示其污染源相似或接近。

其计算公式如下
()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
(9)
其中：r 为相关系数，i x 、i y 为数据组。

利用Spss 19.0软件对已知的各区域重金属污染浓度进行相关性分析，得到8种元素的相关系数矩阵如下表：
在Spss 中的相关性的判断如下表：
2 10.8r -<≤- 高度负相关
3 0.80.5r -<≤- 中度负相关
4 0.50.3r -<≤- 低度负相关
5 0.30r -<< 极弱负相关
6 0r = 不相关
7 00.3r << 极弱正相关
8 0.30.5r ≤< 低度正相关
9 0.50.8r ≤< 中度正相关 10 0.81r ≤< 高度正相关
完全正相关
相关性的结果说明：可见，Cr 、Ni 的相关性最好，相关系数最大为0．716；其次为Cd 、Pb 相关系数为0．660；相关性较好的还有Cu 、Cr ，相关系数为0.532。

其它元素之间的相关性并不是很好。

从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。

二、各重金属元素的主成分分析
基于以上相关性分析，主成分分析是将多指标化为少数几个独立的综合指标的统计分析方法，通过降维技术把多个变量化成少数几个主成分，这些主成分能够反应原始变
量的绝大部分信息。

其模型步骤如下：
(1) 原始数据的标准化 (1,2,,;1,2,,)ij j
ij j
x x y i n j m σ-=
== (10) 1
1n
j ij i x x n ==∑
(11) 21
1()-1n
j ij j i x x n σ==-∑ (12)
()ij Y y =
(13)
其中:ij x ——表示第i 个区域的第j 种金属元素的浓度；ij y ——表示标准化后矩阵中的元素；j x ，j σ——分别表示第j 个指标的均值和标准差。

(2)计算标准化数据的相关系数矩阵： R Y Y '=
(14) (3)求相关系数矩阵的特征根及相应的特征向量：
12p λλλ≥≥≥L
(15)
11121212221212,,,,p p p p p pp a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L M M M (16)
(4)写成主成分：
1122(1,2,,)i i i pi p
F a Y a Y a Y i k =+++=L L
(17)
利用统计软件Spss 19.0进行数据的主成分分析，根据特征值相量选取原则(特征值
知>1)共提取了2个主成分。

见下表：
As 0.426 -0.200 Cd 0.711 0.281 Cr 0.735 -0.444 Cu 0.756 0.125 Hg 0.408 0.673 Ni 0.723 -0.515 Pb 0.764 0.314 Zn
0.699
-0.037
从结果中得出了2个主成分反映了75.3％的信息，2个主成分分析表征了全部数据的大部分信息。

沉积物受污染的Cd ，Cr ，Cu ，Pb ，Ni ，Zn 在主成分1中均有较高的载荷因子，As ，Cr ，Ni ，Zn 在主成分2具有负载荷。

三、各功能区各重金属元素的因子分析
由于各功能区各重金属元素浓度为{,1,2,,8}i X i =L ，根据以上主成分分析，建立正交因子模型：
111112211221122222
1122k k k k p p p pk k p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨
⎪⎪=++++⎩
L L L L
L (18)
用矩阵表示为：
X AF ε=+
(19)
其中矩阵A 称为因子载荷矩阵，矩阵A 中第j 列元素的平方和，表示公共因子j F 对各个变量所提供的方差贡献率的总和，它是衡量公共因子相对重要性的指标。

四、数据分析模型的求解：
基于以上理论，利用统计软件Spss 19.0进行数据的因子分析，该市土壤样点重金属元素含量的数据特征完全符合因子分析的要求。

并对5个功能区进行因子分析，得到5个功能区中影响重金属元素浓度分布的主要因子，即重金属污染的主要原因。

结合重金属的分布图分析得出各重金属的污染来源，见下表：
交通主干道污染 As 、Hg 、Cr 、Ni 、Cu 、Zn
生活污染
Cu 、Ni 、Zn
五、重金属污染主要原因的结果说明：
重金属污染的主要原因[9]：工业污染、主干道污染、生活污染。

在工业污染中的主要重金属元素有Cd 、Cr 、Cu 、Hg 、Ni 、Pb 、Zn 。

在交通主干道污染中的主要重金属元素有As 、Hg 、Cr 、Ni 。

在生活污染中的主要重金属元素有Cd 、Cu 、Pb 。

对工业污染的主要金属元素来源说明：Cu 污染主要来源是铜锌矿的开采和冶炼；Zn 污染主要来源有锌矿开采；Cr 主要来自电镀，燃料，皮革，颜料，劣质化妆品原料等铬化合物制造企业所排放的“三废”；煤和原油中均含有微量的Cd ；Pb 污染主要来源于冶炼，五金，机械，电镀等。

对交通主干道污染的主要金属元素来源说明：Cr,Cu,Zn 等污染则由轮胎摩擦产生的粉尘引起）汽车尾气排放；轮胎添加剂中的重金属元素均可影响到土壤中的Pb,Zn,Cu 的含量。

对交通主干道污染的主要金属元素来源说明：生活区由于生活垃圾，如废旧电器、电池等的堆积，会引起Cu 、Ni 、Zn 等污染。

5.3 问题三：建立纯扩散方程模型确定污染源
由于凡与物质的扩散有关的现象，都能由线性或非线性偏微分方程程作为模型来定量或定性的解决。

结合表层土壤重金属的传播特征[10]，建立了关于偏微分方程的纯扩散
方程模型。

具体步骤如下：
首先，利用等浓度线图确定重金属污染的传播特征
由等浓度线图，发现8种重金属元素在浓度较高的坐标点的附近扩散呈现明显的同心圆趋势，说明其扩散主要受到污染物本身浓度的影响。

而在重金属污染物浓度很低的地方，其扩散没有明显规律，说明浓度不再是扩散的主要影响因素。

可以得到重金属污染的传播方式：从源点开始，以圆形区域扩散，距离源点越远，则浓度越低。

由此传播特征，根据元素质量守恒定律，建立以下纯扩散方程模型[11]：
由于扩散物质在单位时间内沿法线方向n r
流过单位面积的曲面的质量与物质浓度
(,,,)C x y z t 沿该法线方向n r 的方向导数C
n
∂∂成正比。

根据扩散定律知，扩散物质在时段dt 内沿法线方向n r
流过面积为dS 的曲面的质量dm 为
(,,)C
dm D x y z ds dt n
∂=-⋅
⋅⋅∂ (20)
其中，(,,)D x y z 为某种污染物传播系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗透。

在表层土壤任选任一包含污染源的闭曲面Γ。

它所包围的区域为Ω，则从时刻1t 到时刻2t 流进闭曲面的全部污染物质量为
2
1
{(,,)
}t t C
m D x y z ds dt n
Γ
∂=∂⎰⎰⎰Ò (21)
其中，C 表示污染物的浓度。

由高斯公式知，
(,,)
{()()()}C C C C
D x y z ds D D D dxdydz n x x y y z z
Γ
∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰Ò (22)
所以，
2
1{{
()()()}}t t C C C
m D D D dxdydz dt x x y y z z
∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰ (23)
同时，物质渗透到区域Ω内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔[]12,t t 内，浓度由1(,,,)C x y z t 变化为2(,,,)C x y z t ，增加的物质质量为。