高二选修2数学课件：定积分在几何中应用

y y
x
2x 得 4
:
{x=8 y=4
,
直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
y 2x
S2 S1
y x4
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
3.定积分 f (x)dx的意义: a
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y
y
x x2
得
:
{x0 y0
,{xy11
,
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
y
y y2 xx B
C
y x2
o
y xx2
1 xdx 1 x2dx
0
0
O
D
A
S =
1
(
0
x
- x2)dx (2 3
3
x2
x3 3
)
|10
1. 3
例 2.计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所围
成的图形的面积.
解:作出y=x-4,y 2x 的图
象如图所示:
解方程组
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
例3.在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12, 求过点A的切线方程.
y y=x2
A
o
x
练习 1： 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所
四.作业:P65.练习;P67.习题1.7A 组:1
例4Fra Baidu bibliotek
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
8
1
s 0
2xdx 4 (8 4) 2
22 3
3
x2
|80
8
2 2 16 2 8 40
3
3
s
4
[(4
y)
1
y2
]dy
0
2
(4
y
1 2
y
2
1 6
y3
)
|04
4 4 1 42 1 43 40
26
3
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A
0
( 2
x
3
6x
x2
)dx
3
0
(x2
x3
6
x)dx
253. 12
说明：
y x2
A1
注意各积分区间上被积函数的形式．
A2
y x3 6x
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
练习 2: 计算由曲线 y x3 6x和 y x2 所围
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y x2
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
定积分在几何中的应用
复习引入
1.平面图形的面积:
y y f (x)
y
y f2(x)
A
A
y f1( x)
oa
bx
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
2.微积分基本定理: [其中F’(x)=f(x) ]
b a
f
(x)dx
b
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
围成的图形的面积.
解1 求两曲线的交点:
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y 2x
S S1
S1 2 2
y x4
8
y2 2x
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3