高二选修2数学课件：定积分在几何中应用

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高中数学-定积分在几何中的应用-课件

求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积 S＝________.

高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解方法一如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320

高中数学 1.7.1定积分在几何中应用新人教A版选修2-2

2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计算由两条抛物线 y2x和 yx2所围成的
图形的面积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲边梯形 OABC-S曲边梯形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是

数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(17张)

b
b
b
(2) S a f (x)dx | a g(x)dx | a [ f (x) - g(x)]dx
四、新课讲解
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或
x y
1 1
B
yy x
y2 x
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
y 定 -ax2 (a 0)
代抛物线上一点入方程
积分的简单应用
则有
- h -a(b)2 得 2
a
4h b2
所以抛物线方程为
y
-
4h b2
x2
于是，抛物线拱的面积为
2S
2s 2b2 h
b 2 0
(-
4h b2
x2
)dx
2
b 2
h
(-
S 8 2xdx - 8 (x - 4)dx 40 本题还有其他解法吗？
0
4
3
四、新课讲解
另解1：将所求平面图形的面
积分割成左右两个部分。
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx - (x - 4)dx] 4
22
4
3
22
8
3
1
8 40
x2
x 2 - (x - 4)
3
x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x

高中数学选修2-2：1.7.1定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前自主梳理 02 课堂合作探究 03 课后巩固提升
曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx

定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用

S=
1
(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1. 6
答案: 1
6
【解题策略】求不分割图形面积的一般方法
【补偿训练】如图所示,f(x)=1+sin x,则阴影部分的面积是________.
【解析】所求面积为
0
(1 sin
x)dx
(x
cos
x)
0
2.
答案:π+2
类型二分割型图形面积的求解(直观想象、数学运算) 【典例】计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的面积S. 【思路导引】根据已知方程画出所围图形,选择恰当的分割线,分别计算面积.
的面积为 S 2 1( 3 x x3)dx 0
2( 3 4
4
x3
1 4
x4)
1 0
1.
(4)√.利用定积分可得,阴影部分的面积S=
(ex
ex
)
1 0
e
1 e
2.
1(ex ex )dx 0
2.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是 ( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
2.如图所示,求曲线y=x2和直线x=0,x=1及y= 1 所围成的图形(阴影部分)的面
4
积.
【解析】1.选D.由图形以及定积分的意义,得到所求阴影部分面积等价于
5
5
4
(sin
x
cos
x)dx
(cos
x
sin
x)
4
2
2.
4

《高中定积分的应用》课件

总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策者判断生产、定价和销售等方面的最优策略。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究

1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件

-4
代抛物线上一点
4, -4入方程，
y
0
4
4
x
(4, -4)
可求得抛物线方程为y - 1 x2 8 4
设抛物线拱的面积为S ,
S
4 -4
-
1 4
x2
-
-4dx
(-
1 12
x3
4x
)
4 -4
64 m2 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2 -2课件
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2 -2课件
S1
S2
0
4
8
y x-4
S S1 - S2
8 2xdx - 8 x - 4dx
0
4
40 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2 -2课件
返回
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2 -2课件
方法3
y 2x
(8, 4)
S
0
4
8
y x-4
取 y为积分变量，把函数 y x - 4变形
返回
五、总结 1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
定积分回归
两种思想
两个方法
12、、S定微转数积积化形ab分分与结 f1的基化合(x)几本归的-何定的思f2 (意理思想x)义。想方dx求方法法。；
一个公式
简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2 -2课件
例3.计算由曲线 y 2x 和
y 2x
(8, 4)
直线 y x - 4以及x轴所围
成图形的面积 S。

高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用

a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间 [a， b] 上的定积分，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

人教版数学高二《定积分在几何中的应用》精品课件

-1-
解方程组 y＝12x2，
得
x＝－23，
或
y＝3－(x－1)2，
y＝29
x＝2， y＝2.
-1-
∴两曲线交点为 A(－23，29)，B(2,2)．
-1-
-1-
• 1.正确建立平面图形的面积与定积分之间的联系
• 由于平面图形的面积为正数，定积分可以为正数、零或负数，因此，正确建立平面图形的面积与定积分之间的联系是解决面积问题的关键．
-1-
• 3．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有 •( )
-1-
• A．①③ B．②③ • C．①④ D．③④
-1-
解析：①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx， a
②应是 S＝82 2xdx－8(2x－8)dx，
0
4
③和④正确．故选 D.
• 答案：D
-1-
• 4．下图中阴影部分的面积S＝________.
-1-
[解] 如图，设 l 的方程为 y＝kx. y＝kx，
解方程组y＝－xa2＋2x，得交点 O，P 的坐标分别为(0,0)，(2a－ak,2ak－ak2)．由题意得 ∫20a－ak(－xa2＋2x－kx)dx ＝12∫20a(－xa2＋2x)dx，
-1-
解得 k＝2－3 4，故所求 l 的方程为 y＝(2－3 4)x.
a
-1-
自我校对：①>
②
b
f(x)dx
③<
④
－
b
f(x)dx
⑤<
a
a
⑥> ⑦－cf(x)dx ⑧bf(x)dx
a
c
⑨bf1(x)dx－bf2(x)dx

高中数学选修2-2课件1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件

1.7.1定积分在几何中的简单应用
定积分的简单应用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
y
yf (x)
Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx -aS f (x)dxc f
b
(-
4h b2
x2
)dx
b
(b ,-h)
2
2
b 2
h
(-
4h 3b2
x3)
b
2 0
2 bh 3
我们已经看到,定积分可以用来计算曲边梯形的面积,求变速运动物体的位移.事实上,定积分有着广泛的应用.下面我们介绍定积分的一些简单应用.
1.7.1 定积分在几何中的应用
例1 计算由曲线y2
x, y x2所围图形的面积S. 分析首先画草图
简单
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积
应用
（3）确定被积函数及积分区间
（4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
例2．计算由曲线 y 2x 直线 y x - 4 以及x轴
定
所围图形的面积Ｓ
积
y
分
的简单应
4
2
S2 S1
O
A 2 4
8
y
4 y 2x
y x-4
2
S1S2
O
B 2 4
由上面例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图, 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.

高中数学选修2精品课件定积分在几何中的应用

y 2x
y x4
变式训练：计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
例 3：计算由曲线 y sin x 与 y cos x 及 x 0 、 x 2
y
所围平面图形的面积．
y cos x 1
y sin x
S1 S2
O
4
2
x
例4，过原点的直线l与抛物线y x 2 x围成 9 的图形的面积为，求直线l的方程。 2
2
解题研究
例5：在曲线y x 2 ( x 0)上某一点A处作一切线使之与曲
1 线以及x轴所围成的图象面积为，试求： 12 （）切点 1 A的坐标；
（2）过切点A的切线方程.
解题研究
练习：如图，直线 y kx分抛物线 y x x 与x轴
普通高中课程标准实验教科书——选修2-2
牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理：
如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F(x) fΒιβλιοθήκη (x), ，则a f ( x )dx F (b) F (a ).
b a
b
记:
则:
F(b) F(a) F(x) |b a

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
2
所围成图形为相等两部分，求 k的值.
y y=kx
o
x
例1、计算由曲线y x, y x 所
2 2
围成图形的面积S。
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象;
2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;

高中数学定积分在几何中的应用课件

a
a
c
bx
复习回顾
求曲边梯形面积
微积分基本定理:
探究一
请画出由三条直线x=a,x=b（a<b),x轴和一条曲线y=f（x）围成的平面图形，用定积分表示出面积S，并举例说明。
探究一结论
探究二
请画出由两条直线x=a,x=b(a<b)和两条曲线y=f（x），y=g(x）(f(x）≥g(x）) 围成的平面图形，用定积分表示出面积S，并说明原因。
=
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82 =
16 3
64 3
26 3
= 18
点拨：取y为积分变量，把函数
y = x 4变形为x = y 4,函数
A
y2 = 2x变形为x = y2 2
解法2：
4
y2
S = [( y 4) ]dy
2
2
B
= y2
4 4y 4 y3
4
= 18
还需要把函数 y = x变为4
x = y ，4函数 y变=为2x
y2 x=
2
4
4 y2
40
S = 0 ( y 4)dy 0
dy = 2
3
y= x4
感悟：
1.恰当进行分割是正确求解的关键。
2.当对x 积分列式较复杂时，可选择
改变积分变量。
注意:同时要改变被积函数和积分区间.
变式练习1：计算由曲线y2 = 2x和直线 y = x 4所围成的图形面积.
探究二结论
类型2 求由曲线y=f(x)和y=g(x)(f(x)≤g(x)), 直线x=a,x=b围成的图形面积s

定积分在几何中的应用_ppt课件

S 0 ( y 4)dy 0
dy 2
40
3
10
思考：计算由曲线 y2 2x 直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.
解法1：
采用分割的方法
y2 2x
S2 S1 S1
B
A y=x-4
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2280 源自 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
成的图形的面积。
y
解：如图：由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所
求面积如图阴影所示：
所以：
S
2 ( x2 1)dx 1 ( x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
14
练习2. 求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所
得
x＝－3 y＝5
或
x＝2 y＝0
，
（-3,5）
（2,0）
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4
的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝ʃ 2－3(－x＋2)dx－ʃ －2 3(x2－4)dx ＝＝(2225x－－(12－x2)23|52－3)－＝(11326x53.－4x)|2－3
S s1 s2
a
f (x)dx
g( x)dx
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
b
b
(3) S a f ( y)dy a g( y)dy
b
a [ f ( y) g( y)]dy
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例题讲解