人教版八年级数学下册特殊平行四边形课后练习及详解

第十九章特殊平行四边形练习题
题一：以下说法中，正确的选项是( )
A．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线必然相互垂直
题二：如图，四边形ABCD中，AB∥CD．那么以下说法中，不正确的选项是( )
A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形
B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形
C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形
D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形
题三：如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H别离为AB、BC、CD、DA的中点，题四：①求证：四边形EFGH是平行四边形．
题五：②探索下列问题，并选择一个进行证明．
题六：a．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形E FGH是矩形．题七：b．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形EFGH是菱形．题八：c．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形EFGH是正方形．
题九：如下图，在△ABC中，别离以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，
等边△ACE、等边△BCF．
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)
①当△ABC知足_________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC知足_________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC知足_________条件时，以D、A、E、F为极点的四边形不存在．
题十：如下图，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．
题十一：(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
题十二：(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？什么缘故？
题十三：(3)若四边形AECF是矩形，试判定四边形ABCD是不是为矩形，没必要写理由．
题十四：如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各极点别离作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH 的形状会有哪些转变？完成以下题目：
题十五：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；
题十六：②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；
③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；
④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；
(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．
(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH别离是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必需知足如何的条件？
题十七：如图，在矩形ABCD中，M、N别离是AD、BC的中点，P、Q别离是BM、DN的中点．题十八：(1)求证：△MBA≌△NDC；
题十九：(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
题二十：在折纸这种传统手工艺术中，包括许多数学思想，咱们能够通过折纸取得一些特殊图形．把一张正方形纸片依照图①～④的进程折叠后展开．
(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；
(2)请证明你所得到的数学猜想．
题二十一：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．
题二十二：(1)试说明△PCM≌△QDM；
题二十三：(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
题二十四：如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D动身，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D动身，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N 同时动身，当一个点抵达终点时，另一个点也随即停止运动．
题二十五：(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，通过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？题二十六：(2)动点M、N在运动的进程中，线段MN是不是通过矩形ABCD的两条对角线的交点？若是线段MN过此交点，请求出运动的时刻；若是线段MN只是此交点，请说明理由．
题二十七：如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
题二十八：已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD的面积．
特殊平行四边形
课后练习参考答案
题一：C．
详解：A．对角线相互垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；
D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选C．
题二：C．
详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；
选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；选项C的结论错误，判定结果为矩形，不必然是正方形；
选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；
故选C．
题三：见详解．
详解：①连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H别离为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．
②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EH G=90°，∴四边形EFGH是矩形．
b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=1
2
AC，EH=
1
2
BD，
∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；
c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD知足AC⊥BD且AC=BD时，
四边形EFGH是正方形．
故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．
题四：见详解．
详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，
∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．
∴四边形ADFE是平行四边形．
(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．
当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为极点的四边形不存在．
题五：见详解．
详解：连AC，设AC、BD相交于点O，
(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，
∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．
∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；
(3)四边形ABCD不是矩形．
题六：见详解．
详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；
(2)结合图形，联想特殊四边形的特点及识别很容易发觉，其中的桥梁为AC、BD．
①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．
②若ABCD为矩形，那么EFGH为菱形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．
∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．
∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．
∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四边形EFGH为菱形．
(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必需知足：对角线相互垂直．
当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必需知足：对角线相等．
题七：见详解．
详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N别离是AD、BC的中点，∴AM=1
2
AD，CN=
1
2
BC，∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，那么四边形ABNM是矩形，
∴AN和BM相互平分，那么A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，
∵P、Q别离是BM、DN的中点，∴PM=NQ，
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=1
2
AN，∴MQ=
1
2
BM，
∵MP=1
2
BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．
题八：见详解．
详解：(1)四边形ABCD是菱形；
(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，
∴∠MAD=∠DAC=1
2
∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=
1
2
∠CAN，
∠DCA=∠MCD=1
2
∠ACM，∠ACB=∠NCB=
1
2
∠ACN，
∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，
∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．
题九：见详解．
详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，
∵M是CD的中点，∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；
(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)÷2=，
∴当PC=时，四边形ABPQ是平行四边形．
题十：见详解．
详解：(1)∵点N只在AD上运动，
∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，
即＜t＜，
设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：
①当M点在E点右边，
如图：此时AN=EM，那么四边形AEMN是平行四边形，
∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，
∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，
∵＜t＜，∴t =1舍去；
②当M点在B点与E点之间，如图，那么MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，
∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t-11=10-t，解得t =7，现在符合，
∴当t =7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；
(2)动点M、N在运动的进程中，线段MN能通过矩形ABCD的两条对角线的交点，现在M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，
在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，
∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，
设N运动的时刻是t秒，那么10-t=2t -5，解得：t =5，即动点M、N在运动的进程中，线段MN能通过矩形ABCD 的两条对角线的交点，现在运动的时刻是5秒．
题十一：8．
详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°，
又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．
题十二：18．
详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，
又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，
∴EB=AD=3，DE=AB=4，
∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3，
∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，
∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，
∴四边形ABCD的面积是：1
2
(AD+CB)•DE=
1
2
(3+6)×4=18．。