初中数学最新版《 平面直角坐标系中的位似变换》精品导学案(2022年版)

第2课时 平面直角坐标系中的位似变换

学习目标：

1、 了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点.

2、 能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大或缩小.

学习重点：归纳总结坐标变化规律.

预设难点：在坐标系中准确地将一个图形放大与缩小.

【预习案】

一、链接

1、把一个图形变成另一个图形，并保持图形形状不变的几何变换叫做_________.

2、如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线__________，那么这样的几何变换叫做___________，这样的两个图形叫做___________．

3、图形在平面直角坐标系中作平移变换时坐标的变化规律是(h>0)：

向左平移h 个单位→),(b a (_ _,b)，向右平移h 个单位→),(b a (____,b)；

向上平移h 个单位,(),(a b a →___)，向下平移h 个单位,(),(a b a → __).

二、导读

阅读课本中的“阅读与思考〞答复以下问题：

1、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为K 〔K ＞0〕，原图形上点的坐标为〔x,y 〕，那么同向位似图形对应点的坐标为___________〔K ＞0〕.

2、在平面直角坐标系中，在作),(),(by ax y x →变换时，当0≠=b a 时为相似变换；当b a ≠时便不是相似变换，我们称之为___________ ．

3、在问题1中假设K ＜0，那么与K ＞0时的变换结果有什么不同？

【探究案】

1．如图，△ ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2).

〔1〕将△ ABC 向左平移三个单位得到△ A 1B 1C 1，写出三点的坐标；

〔2〕写出△ ABC 关于x 轴对称的△ A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；

〔3〕将△ ABC 绕点O 旋转180°得到△ A 3B 3C 3，写出三点的坐标．

2、在平面直角坐标系中有两点A 〔6，3〕，B 〔6，0〕，以原点为位似中心，相似比为1:2，把线段AB 缩小

方法一： 方法二： 探究：

〔1〕在方法一中，'A 的坐标是 ，'B 的坐标是 ，对应点坐标之比是 ； 〔2〕在方法二中，''A 的坐标是 ，''B 的坐标是 ，对应点坐标之比是

实验探究1：如图，ABC ∆三个顶点坐标分别为()2,3A ()2,1B ()3,1C ，以点O 为位似中心，相似比为２，将ABC ∆放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；

实验探究2：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的坐标分别为A 〔-6,6〕，B 〔-8,2〕，C(-4,0)D

〔-2,4〕画出一个以原点O 为位似中心，相似比为1：2的位似图形。

【训练案】

1、 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在 格点上，那么位似中心的坐标是多少？

2、：如图，E 〔－4，2〕，F 〔－1，－1〕，以O 为位似中心，

按比例尺1∶2，把△EFO 缩小，那么点E 的对应点E′的坐标为〔 〕．

A ．〔2，－1〕或〔－2，1〕；

B ．〔8，－4〕或〔－8，4〕；

C ．〔2，－1〕；

D ．〔8，－4〕. 3、在平面直角坐标系里有四个点：A 〔0，1〕，B 〔4，1〕，

C 〔5，4〕，

D 〔1，4〕．〔1〕顺次连结点A 、B 、C 、D ，得到一个怎样的四边形？ 〔2〕将各点的横、纵坐标都乘以2，得到点A’、B’、C’、D’，那么四边形A’B’C’D’是什么图形，它与四边形ABCD 有何关

系？

第4课时 “斜边、直角边〞

y

x

F E

O

1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)

2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)

一、情境导入

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

(1)你能帮他想个方法吗？

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？

二、合作探究

探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等

如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .

解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．

证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪

⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，

∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．

方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL 〞判定线段相等

如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .

解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .

证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .

方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．

【类型二】 利用“HL 〞判定角相等或线段平行

如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.

解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．

证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △

ADC 中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．

【类型三】 利用“HL 〞解决动点问题