微分方程数值解

一是大量用于设计工作的实验被数学 模型的研究逐步取代，如航天飞机设 计、反应堆设计、人工心瓣膜设计等； 二是能获取和存储大量的数据，并能 提取隐秘的信息，如计算机层析X射 线摄影，核磁共振等。
3．战略计算
“战略计算”一词首次 出现在1995年美国为了 确保核库存的性能、安 全性、可靠性和更新需 要而实施的“加速战略 计算创新（ASCI）计 划”。
绝对误差还不能完全表示近似值的好坏
Def 1.2 （相对误差/* relative error */ ）
e x x 近似值 的误差 与准确值 的比值：
e x x
x x 称为近似值 的相对误差，记作
x 注： 实际计算时，相对误差通常取
er

e x
因为 e x
e x
由于核武器研制需要，1950年全球只 有15台，到了1962年9月仅美国就有 16187台计算机。
60年代中期开始推出小型计算机，70 年代末推出个人计算机，80年代中期 又推出高性能的超级微机。而计算物 理发展所涉及的大规模科学计算和模 拟所需要的大型计算机却未得到发展。
1981年以哈佛大学普雷斯(W. H. Press) 为首的11位著名科学家联名上书，向 美国国家科学基金会(NSF)呈送“发 展计算物理的建议书”，大声疾呼计 算物理发展正处于一个危机阶段，是 NSF采取实质性行动的时候了。
１９９８年９月，美国ＤＯＥ在全国 范围内倡议实施“科学模拟计 划”(SSP)，提出要加速“燃烧系统” 与全球气候系统“这两大应用领域的 科学模拟研究。
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日 丽的北京就刮起台风来了？！
纽约
北京
这是一个病态问题
蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意 为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶 尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引
２.科学计算
1983年一个由美国著名数学家拉克斯 (P. Lax)为首的不同学科的专家委员 会向美国政府提出的报告之中，强调 “科学计算是关系到国家安全、经济 发展和科技进步的关键性环节，是事 关国家命脉的大事。”
1984年美国政府大幅度地增加对科学 计算经费的支持, 新建成五个国家级 超级计算中心（分别在普林斯顿大学、 圣地亚哥、伊里诺大学、康奈尔大学、 匹兹堡），配备当时最高性能的计算 机，建立NSF-net新网络。
80年代中期我国将“大规模科学与工 程计算”列入国家资助重大项目。
1987年起美国NSF把“科学与工程计 算”、“生物工程”“全局性科学” 作为三大优先资助的领域。
1990年美国国家研究委员会发表《振 兴美国数学：90年代的计划》的报告 ，建议对由计算引发的数学给予特殊 的鼓励和资助。
报告指出由于大存储的高速计算机的 使用已导致了科学和技术方面的两大 突出进展：
注意在e此理(N公论1式上1)与等公价IN式。一N1 1
可取
I
N

1 2
1

e(
N

1)

1 N 1

IN
当N
时, EN

IN

I
* N
0
取
I15

1 2

e
1 16

1 16


0.042746233

I14

1 15
(1

I15
)

0.063816918

er

e x

x x
x
e(x x) (e)2 xx x(x e )

(
e x
1
)2
e x
Def 1.3 （数值稳定性/* Numerical Stability */）
一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过 程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此 算法就称为不稳定的。

0.63289600
?
I 13

1

13

I 12

7.2276480??
I 14

ห้องสมุดไป่ตู้
1

14

I 13

94.959424?
!
I 15

1

15

I 14

1423.3914
!
!
What happened
?!
考察第n步的误差 En
| En | | In In | | (1 nIn1) (1 nIn1) | n |En1| n !| E0 |
1 xnexdx,
0
n 0,1,2,......

公式一：In
1[xnex e
1 0

n
1 0
xn1e
xdx]

1
n
In1
I0

1 e
1exdx 1
0
1 0.63212056 e
记为
I
* 0
此公式精确成立
则初始误差
E0

I0

I
0

0.5108
1
e
1 0
随着计算机软件硬件的不断更新和计算
方法的迅速发展，科学计算与实验以 及理论研究成为现代科学研究的三大主
要手段。
科学计算还能解决实验及理论无法解决 的问题，并由此发现一些新的物理现象， 加深人们对物理机理的理解和认识，促 进科学的发展。
作为三种科学研究手段之一的科学计 算是一门工具性、方法性、边缘性的 新学科，发展迅速，它的物质基础是 计算机(包括其软硬件系统)，其理论 基础主要是计算数学。
输出
上机 计算
程序 设计
收敛性：方法的可行性
可
靠
数 性 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
方析
法
误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且
的
设
能够控制误差
计
原 则
便于编程实现：逻辑复杂度要小
计 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短
算
复
杂 性
存贮量要尽量小：空间复杂度要小
误 差 /* Error */
起一场龙卷风。
蝴蝶效应在社会学界用来说明：一个坏的微小的机制， 如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大 的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微 小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将
如一阶微分方程初值问题
dy 2x dx y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
求函数y y(x)在某些点
x n 的近似函数值 i i1
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 问题
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
重点讨论
近似结果
这是因为美国克林顿总统在1995年8 月11日宣布：“美国决定谋求真正的 “零当量”全面禁止试验核武器条 约”。
这并不意味着核竞赛的结束，恰恰相 反是核武器计划新时代的开始，要求 通过逼真的建模和模拟计算来取代传 统的反复试验的工程处理方法。
这主要依赖于先进的数值计算和模拟 能力，为此应用程序必须达到高分辩、 三维、全物理和全系统的水平。
微分方程数值解
邓斌
合肥工业大学数学学院
2020/3/3
“计算数学”就是研究在计算机上 解决数学问题的理论和数值方法。
今天的数值计算方法，无论从形式到内容， 还是从工具到效果，已远非半世纪前Von Neumann、Lax等先驱们所处的环境和条 件了，计算机技术和应用软件的发展，让 计算数学展开了双翼。许多迅速发展的其 他学科和社会进步给计算数学的发展开拓 出 更为广阔的新天地。
我们常说:
计算物理的物质基础是计算机； 计算物理的关键技术是“计算方法”
和“程序设计”; 计算物理发展的原始动力是美国核
武器研制的刺激。
美国从1942年8月13日开始曼哈顿计 划，到1945年制造出三颗原子弹：代 号为：“三一”，用于试验（7月16 日），“瘦子”投于广岛(8月6日)， “胖子”投于长崎(8月9日)。历时三 年，涉及到理论物理、爆轰物理、中 子物理、金属物理、弹体弹道等大量 的数值计算。
xn

e0
dx

In

1 e
1 xn e1 dx
0

1 e(n
1
)

In

n
1
1
I 1

1

1
I 0

0.36787944
... ... ... ...
I 10

1

10

I 9

0.08812800
I 11

1

11
I 10

0.03059200
I 12

1

12

I 11
1949年8月苏联第一次原子弹爆炸后， 杜鲁门总统在1950年1月31日下令继 续研究各种类型的原子弹武器，成立 以氢弹之父特勒(E. Teller)为首的氢弹 研制小组。直到1952年10月31日爆炸 了代号为“麦克”的核试验。
在研制原子弹和氢弹过程中，许多物 理规律必须通过计算机上的计算摸清 楚。计算物理、理论物理与实验物理 相辅相成相互促进共同发展，形成现 代物理学的三大分支。
一. 引言
2
计算数学发展的历史回 顾
2
1.从计算物理谈起
计算数学的发展与科学工程 计算是紧密相联的，计算数 学的发展历史也就是与其他 学科结合，利用计算机不断 形成新的理论及数值方法并 不断形成新的学科的历史， 例如：“计算物理”。
１９５９年５月美国总统 发布命令，可以揭开曼哈 顿计划的内幕，部分内容 可以解密。故以“计算物 理方法”丛书的名义陆续 编辑出版
1995年8月22日（即美国总统宣布决 定后的11天），能源部（DOE） 就采购世界上最快的一台计算机（运 算速度超过万亿次）交付圣地亚实验 室（96年12月安装）。
１９９８年７月３０－３１日，美 国的DOE（Department of Energy ） /FNS共同联合组织召开了关于“先 进科学计算”的全国会议。会议强 调科学模拟的重要性，希望应用科 学模拟来攻克复杂的科学与工程难 题。
Def 1.4 （病态问题/* ill-posed problem */）
对数学问题本身如果输入数据有微小扰动，引起输 出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。
它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也 就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算 都将产生不稳定性。
例
计算
In

1 e
初始的小扰动 | E0 | 0.5108迅速积累，误差呈递增趋势。
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1

I n1

1 n
(1

In)
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
e x x x 称

为近似值 的绝对误差，简称误差。
注：误差可正可负，常常是无限位的
绝对误差限/* accuracy */ ——绝对值的上界
e x x 如： 3.14159
1 105 ( 3.1415926L ) 2
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
➢ 1、从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
➢ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
➢ 3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ )
I13

1 14
(1

I14
)

0.066870220
I12

1 13
(1

I13
)

0.071779214
I11

1 12
(1

I12
)

0.077351732
I10

1 11
(1

I11
)

0.083877115
M
I1

1 2
(1

I
2
)

0.36787944
I0

1 1
(1

I1
)

0.63212056
考察反推一步的误差：
|
EN 1
|
1 N
(1
IN)
1 N
(1
IN )

1 N
|
EN
|
以此类推，对 n < N 有：
| En
|
N(N
1 1) ... (n 1)
|
EN
|
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */
➢ 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */
（绝对误差/* absolute error */）
Def 1.1 x x x 设 为真值（精确值）， 为 的一个近似值