2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）
理科数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2
230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）
A ．{}2A
B = B ．A B =R
C ．(){}1,0R
A B
=-ð D ．(){}31R
B x x A =-<<ð
2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）
A ．12-
B ．12+
C ．12-
D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()
a a
b ⊥-”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是1
3
（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．
127 B ．481 C ．527 D ．881
5．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）
A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值
为（ ）
A ．25
B ．45
C ．55
D ．75
7．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．12
D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）
A ．2
π
ω=
B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23
x k k π
π=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
Z D ．()f x 的单调递减区间为(),6
3k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z
9．在13n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）
A ．540
B ．480
C ．320
D ．160
10．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是1
6
，则球O 的半径为（ ） A ．
32 B ．1 C ．12 D ．34
11．如图，1F ，2F 分别为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △
是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）
A
．
1 B
．1 C
D
．4-12．已知集合(){}0M f α
α=
=，(){}
0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函
数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21x
f x e -=-与函数()2x
g x x ae =-互为“1度零点函数”，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,
e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．
15．已知函数()1
32,1
,1
x e x
f
x x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．
16．如图，记椭圆
221259x y +=，221259
y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：
①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()
111n n n b b b +--；③()1n
n a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解
答．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．
（1）设平面PAB
平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；
（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP
的值；如果不存在，
请说明理由．
19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，
BD 的斜率之积为1
2
-
，椭圆的焦距为2．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为1
2
-
，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则2
2
MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．
减排器等级分布如表．
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2
l 122
n f x x x a b =
+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}
max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()
2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM
+的值．
23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求2
2
2
a b c ++的最小值； （2
）当
5≥时，求a b c ++的值．
2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）
理科数学参考答案
1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．39
14．15．(),1ln 2-∞- 16．②③
17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，
设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2
324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），
所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，
且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，
所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．
（2）若选①，则()1
212n n n n c a b n +==+⋅，
则()()2
3
4
1325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+
+-⋅++⋅，①
在上式两边同时乘以2可得，()()3
4
1223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②
①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．
即()2
2124n n S n +=-⋅+．
若选②，则()()
111n
n n n b c b b +=
--
()()1
1
2
22121n n n +++=-- 1
2
11
2
121n n ++=
-
--，
则1221111
11
11
37715
2121321
n n n n S +++=-+-+
+
-
=-
---． 若选③，则()()
()1121n
n
n n c a n n n =-+=-++，
则()()31527394121n
n S n n =-+++-++++
+-++
所以当n 为偶数时，()()()()()()()1
3579121121123n n
n S n n n -⎡⎤=-++-++
+-⋅-+-+++++
+⎣
⎦
()2132222
n n n
n n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21
4
2123212
2
n n n n S n n ---=⨯+++++-+=
综上可得，223,2
4,2
n n n
n S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．
18．（1）证明：
C AB
D ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，
AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，
AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．
（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC
平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，
以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，
()0,1,0D -，()0,1,0C
，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，
假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤
，则()
0,1E λ-
，即
()
0,2DE λ=-，
设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，
则00
n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(
)0
20y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，
取1x =
，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n
⋅∴=
12
==
， 整理得2
440λλ+-=， 解得)
[]2
10,1λ=
∈，
故存在点E
满足条件，且
)
2
1CE CP
=．
19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，
22AC b b k a a =
∴=，22BD b b
k a a
==
--， 2212
AC BD
a k
b k =-=-∴⋅，
结合2
2
2
a b c =+
，解得a =1b =，
∴椭圆E 的标准方程为2
212
x y +=．
（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,2
2x x y y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭．
当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，
由22
12
y kx t
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得(
)2
2
2124220k
x
ktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，
则1222
1224122212kt x x k t x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 由12
OP OQ k k =-
⋅，得()()22
12121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得2
2
212t k =+．
22
2
2
121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
2222
12121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛
⎫⎛⎫+-+-=
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，
221112x y ∴+=，2
22212
x y +=，
即22221212142
x x y y +++=， ()2
22221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142
x x +∴=， 22222222
12121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232
MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=
． 综上， 2232
MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，
可得221122222222
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把1212
2x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222
212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为100.66⨯=（件），
则至少有2件一级品的概率22314646464103742
C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为
710，二级品的概率为14，三级品的概率为120
， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，
则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
~，
所以()300
3312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21
133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()03
3331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 所以ξ的分布列为
所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344
E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b f
x x x
'=+． ①当0b ≥时，
()0f x '>，()f x 在区间[]
1,2上单调递增，
所以()()()min 512
f x f
g b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，
解得1x =，2x =
（i
）当1，即[)1,0b
∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()5
2g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()
f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，
此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．
综上，
()()5,1
2ln 2,4122
ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩
，
易知(){}5max 2
g b =．
（2）证明：原式转化为求证()2152
f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x
++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．
因为12x x <且10x >，20x >，
所以21x >，22
1a x x =--， 所以()()2222222122
1212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x
=
++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，
所以()()512g x g >=，即()2152
f x x >． 所以()12520x f x -<．
22．（1
）由212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，
即直线l 的普通方程为10x y +-=，
由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，
所以222
34x y y ++=，即2
214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2
214
x y +=．
（2）直线l
的参数方程也可表示为122
t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2
214
x y +=
可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1
t '，2t '，
则12t t ''+=，1265
t t ''=-， 所以1
2AP AQ t t ''+=-=
5==
，1225
t t AM ''=+=， 所以8AP AQ
AM +=．
23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b c
a b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514
c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514
．
（2）由基本不等式得2a b +
≥3a c +
≥23b c +≥
以上三个式子相加得(
)223a b c ++≥
5≤
，
5≥时，
当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩
， 即53a =，56b =，59
c =时成立， 故5518a b c ++=．。