苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](提高)

苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](提高)
本文介绍了相似三角形解决问题的知识点，包括平行投影和中心投影。

要点一是平行投影，介绍了物体在平行光线下产生的影子，以及物高与影长的关系。

要点二是中心投影，介绍了点光源下物体产生的影子，以及离点光源远近对影子长度的影响。

通过这些知识点，可以解决一些实际问题。

需要注意的是，在利用影长计算物高时，要注意测量两物体在同一时刻的影长。

在中心投影下，一个重要的结论是，点光源、物体边缘上的点以及它们在影子上的对应点在同一条直线上。

可以根据其中两个点来求出第三个点的位置。

要点诠释：物体的中心投影受到光源和物体位置及方向的影响。

改变光源或物体的方向会导致影子方向的变化。

但不论如何改变，光源、物体和它们的影子始终分离在物体的两侧。

要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
中心投影和平行投影都是研究物体投影的一种方法。

平行投影是在平行光线下形成的投影，例如太阳光线和月光。

中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，例如灯泡和手电筒的光线。

在平行投影中，改变物体的方向和位置会导致投影方向和位置的变化。

在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向也会导致投影的变化。

固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也会发生变化。

2.区别：
太阳光线是平行的，因此太阳光下的影子长度与物体高度成比例。

灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例。

在同一时刻，太阳光下的影子方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。

要点诠释：在解决有关投影的问题时，必须先判断是平行投影还是中心投影，然后根据它们的特点进一步解决问题。

要点四、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决。

要点诠释：测量旗杆高度的方法包括平面镜测量法、影子测量法、手臂测量法和标杆测量法。

2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常常使用如下两种相似三角形来求解：
1.如甲图所示，通常可以先测量图中线段DC、BD和CE
的距离（长度），然后根据相似三角形的性质求出AB的长度。

2.如乙图所示，可以先测量AC、DC和DE的长度，再根
据相似三角形的性质计算AB的长度。

要点诠释：
1.比例尺表示图上距离与实际距离缩小的比例，比例尺=
图上距离÷实际距离。

2.太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行
光线。

在同一时刻，两个物体的影子长度之比等于它们对应高度的比。

本文介绍了投影中的视点和仰俯角的概念，以及应用于解题的方法。

通过一个典型例题的解析，讲解了如何利用中心投影和相似三角形的性质来求解问题。

最后，给出了一道变式题供读者练。

在投影中，视点是观察事物的着眼点，通常指观察者眼睛的位置。

仰角和俯角是指观察者向上或向下看时，视线与水平方向的夹角。

典型例题中，给出了一个圆形桌面和一个圆形凳子的投影问题。

通过延长主视图上的两条直线，可以确定路灯的位置，并利用相似三角形的性质来计算路灯与地面的距离。

在变式题中，给出了一个广告墙旁的木杆和其影子的问题。

通过利用相似三角形的性质，可以求出木杆的影长。

另外一个例题中，给出了一个XXX和其影子的问题。

通
过标出XXX和影子的位置，可以利用相似三角形的性质计算
出路灯的位置和影子的位置。

需要注意的是，文章中存在格式错误和明显有问题的段落，需要删除并进行小幅度的改写来提高文章的可读性。

答案与解析】
解：如图，过点D作DE⊥XXX于E，作DF⊥AB于F，设半圆圆心为O，连接OD。

因为时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，所以
OC=2m，DE=OD=2m×sin60°=2√3m，OE=OD=2m×cos60°=1m，CE=OC-OE=1m，DF=AE=5m+1m=6m。

因为一天XXX观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到
时钟的11点的刻度上，所以∠COD=60°。

根据勾股定理可得，CF=√(CE²+DF²)=√(1²+6²)=√37m，
BF=CF-BC=√37m-2m=√37-2m，DE=2√3m。

因为同时测得一米长的标杆的影长1.6米，所以1m的影
长为1.6/1=1.6m，即1m的长度在影子中变成了1.6m。

因此，BF/DE=1.6/1，解得BF=1.6×2√3m=3.2√3m。

所以AB=BF+DE=3.2√3m+2√3m=5.2√3m，即旗杆AB的
高度为5.2√3米。

总结升华】本题考查了相似三角形和勾股定理的应用，解题的关键是构造相似三角形，利用勾股定理求出各线段长度，最终求得旗杆的高度。

本题考查了相似三角形的应用，通过作辅助线构造出直角三角形和矩形来解题。

如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架一端横切面的示意图。

立杆AB、CD相
交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，
OA=OC=51cm，OE=OF=34cm。

现将晒衣架完全稳固张开，
此时扣链EF成一条线段，EF=32cm。

1）求证：AC∥BD。

证明：证法一：因为AB、CD相交于点O，所以
∠AOC=∠BOD。

又因为OA=OC，所以∠XXX∠OCA=（180°﹣∠BOD）。

同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD）。

因此，∠XXX∠OBD，从而AC∥BD。

证法二：因为
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，所以OB=OD=85cm。

又因
为∠AOC=∠BOD，所以△AOC∽△BOD。

因此，
∠XXX∠OBD，从而AC∥BD。

2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂
在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由。

解：小红的连衣裙会拖落到地面。

在Rt△OEM中，
OM=30（cm）。

过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：
EF∥BD。

因此，∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH。

因此，AH=120（cm）。

所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总
长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm。

因此，小红的连衣裙会拖落到地面。