2019-2020高考数学一模试题(附答案)

2019-2020高考数学一模试题(附答案)
一、选择题
1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测
的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+
D ．$0.3 4.4y x =-+
2．设集合(){}
2log 10M x x =-<，集合{
}
2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}
22x x -≤<
B ．{}
2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
4．已知平面向量a r
=（1，－3），b r
=（4，－2），a b λ+r
r
与a r
垂直，则λ是（ ） A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在
[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
6．一动圆的圆心在抛物线2
8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0,0)
7．已知a r 与b r
均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）
A 7
B 10
C 13
D ．4
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩
B ．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．丁可以知道四人的成绩
10．若双曲线
22
22
1 x y
a b
-=
的离心率为3，则其渐近线方程为（）
A．y=±2x B．y=2x
±C．
1
2
y x
=±D．2
2
y x
=±
11．已知
2
tan()
5
αβ
+=，
1
tan()
44
π
β-=，则tan()
4
π
α+的值等于（）
A．
13
18
B．
3
22
C．
13
22
D．
3
18
12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
二、填空题
13．如图，正方体1111
ABCD A B C D
-的棱长为1，线段
11
B D上有两个动点,E F，且
2
EF=，现有如下四个结论：
AC BE
①⊥；//
EF
②平面ABCD；
③三棱锥A BEF
-的体积为定值；④异面直线,
AE BF所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
14．已知函数
2
1,1
()
()1
a x x
f x
x a x
⎧-+≤
=⎨
->
⎩
，函数()2()
g x f x
=-，若函数()()
y f x g x
=-
恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
15．若x，y满足约束条件
x y10
2x y10
x0
--≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
，则
x
z y
2
=-+的最小值为______．
16．在平行四边形ABCD中，
3
A
π
∠=，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足
CN
CD
BM
BC
=
u u u u v u u u v
u u u v u u u v，则AM AN
⋅
u u u u v u u u v
的取值范围是_________．17．函数()
lg12sin
y x
=-的定义域是________．
18．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为_____________．
19．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
P ABC -的体积为________. 三、解答题
21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知曲线C ：
（t 为参数）， C ：
（为参数）．
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为
，Q 为C 上的动点，求
中点到直线
（t 为参数）距离的最小值．
23．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17
． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．
24．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项B ；故选A ．
考点：线性回归直线.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q {}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】
【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--r r ，由a b λ+r r 与a r 垂直可知
()
()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=-r r r
考点：向量垂直与坐标运算
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】
圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必
2,0．
过抛物线的焦点()
故选B
【点睛】
这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
7．A
解析：A
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
==，所以应选A．8．B
解析：B
【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
10．B
解析：B 【解析】
双曲线的离心率为22
3a b a
+=，渐进性方程为b y x a =±，计算得2b a =，故渐进性
方程为2y x =±.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,
()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 54
4παββππααββπαββ⎛⎫+---
⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝
⎭,
故选：B 【点睛】
本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．
解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为
所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A
点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是
．
二、填空题
13．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③
【解析】 【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】
对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；
对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；
对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是
1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】
【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11
11
a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1 【解析】 【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1
z x y 2
=-+的最小值． 【详解】
画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数1
z x y 2
=-+过点A 时取得最小值，由{
x 0
x y 10=--=，解得
()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1
z x y 2
=-+的最小值为1-．
故答案为1-． 【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
16．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，
132D ⎛ ⎝⎭
，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u r
u u u r u u u r ，[]
0,1λ∈，则(22M λ+3)，5
(22N λ-3， 所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g 35)(22λ-g 22353
542544
λλλλλλ=-+-+=--+，
因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2
252,5λλ--+∈．
故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
17．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为
解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1
sin 2
x <， 解得
51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈. 18．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数
解析：6 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式
3122
y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合1
2z 的几何
意义，可以发现直线31
22
y x z =-
+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由32z x y =+，可得3122
y x z =-+， 画出直线3
2
y x =-，将其上下移动， 结合
2z
的几何意义，可知当直线3122
y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由220
x y y --=⎧⎨
=⎩，解得(2,0)B ，
此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
19．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得
到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径
解析：
334
或93
【解析】 【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则
2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得
到
3
23sin 60
= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()2
23413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13
ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到13133
1333224
⨯⨯⨯⨯⨯=或者1319333 3.3224⨯⨯⨯⨯
⨯= 故答案为：334或3
4
【点睛】
这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
11222222212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
11
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()
()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n
n n ++-⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1
412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（Ⅰ）
为圆心是（
，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长
半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）
【解析】 【分析】 【详解】 （1）
为圆心是
，半径是1的圆，
为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，
短半轴长是3的椭圆.
（2）当时，
，故 的普通方程为，到
的距离
所以当
时，取得最小值
.
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程. 23．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为33 【解析】
分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11
sin 22
ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–
17，∴B ∈（π
2
，π），∴sin B =243
1cos B -=
．由正弦定理得
sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sin A =
3
．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．
（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =
3114372⎛⎫⨯-+⨯
⎪⎝⎭=33
． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =
h BC ，∴h =sin BC C ⋅=3333
7142
⨯=，∴AC 边上的高为
33
．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2
ρcos(θ-)=2,
∴ρ2-2ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=. 25．（1）证明见解析；（2）35
. 【解析】 【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】
(1)如图所示，连结11,A E B E ，
等边1
AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==
1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
13
30,3,0,,
,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
， 由11
AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫
⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r
，则：
()()13333
,,,,33022223333,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()
3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r 此时4cos ,53552
EF m EF m EF m
⋅===⨯⨯
u u u r u r
u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43
sin cos ,,cos 55
EF m θθ===u u u r u r .
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。