阵列信号处理中DOA算法分类总结（大全）讲述

阵列信号处理中的DOA （窄带）
/接收过程中的信号增强。

参数
估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。

(DOA)
θ的函数，P(θ).
/经典波束形成器 注，延迟相加法和CBF 法本质相同，仅仅是CBF 法的最优权向量是归一化了的。

CBF / Bartlett 波束形成器 CBF ：Conventional Beam Former ） 最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器
MVDR ：minimum variance distortionless response ）
Root-MUSIC 算法
多重信号分类法
解相干的MUSIC 算法 （MUSIC ）
基于波束空间的MUSIC 算法 TAM 旋转不变子空间法 LS-ESPRIT TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML ：deterministic ML ）
随机性最大似然法（SML ：stochastic ML ）
最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。

同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。

只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个
传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。

知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。

①常规波束形成(CBF)法
CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。

这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。

（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）
注意：上式中，导向矩阵A表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)
示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。

将式（2.6）的阵元接收信号，写成矢量形式为：
X(t)=AS(t)+N(t)
其中，X(t)为阵列的M×1维 快拍数据矢量，N(t)为阵列的M×1维噪声数据矢量，S(t)为信号空间的N×1维矢量，A 为空间阵列的M×N 维阵列流型矩阵（导向矢量矩阵），且
A =[a 1 ω0 a 2 ω0 …a N ω0 ]
其中，导向矢量a i ω0 为列矢量，表示第i 个信号在M 个天线上的附加权值
a i ω0 = exp⁡(−jω0τ1i )
exp⁡(−jω0τ2i )⋮
exp⁡(−jω0τMi )
，i =1,2,…,N 式中，ω0=2πf =2πc λ ,其中，c 为光速，λ为入射信号的波长。

的时间延时为τki ，则有：
τki = k
−1 d sin θi c ，k =1,2,…,M ，
其中，d 为阵元间距，一般取d=λ/2。

第i
由上述的知识可知,一旦知道阵元间的延迟表达式τ,就很容易得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。

,
在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计值,如图1所示。

假设空间存在M 个阵元组成的阵列,N
w = w 1
w 2…w M T
y t =
w H x t = w i ∗M i =1
x i (t )
P w =1L |y (t )|2=w H E x t x t H w =w H Rw L
I =1 其中，R 为接收信号矢量x(t)的自相关矩阵
图1 阵列信号处理示意图
假设来自θ方向的输出功率最大,则该最大化问题可表述为：
θ=arg max
w
P w
=arg max
w
E w H x t x t H w
=arg max
w
w H E x t x t H w
=arg max
w
E s t2w H aθ2+σ2w2
为了使加权向量w的权值不影响输出信噪比，在白化噪声方差σ2一定的情况下，取w2=1，此时求解为：
w CBF=
a(θ)
a Hθa(θ)
此时Bartlett 波束形成器的空间谱为：
P CBFθ=w CBF H Rw CBF=a HθRa(θ) a Hθa(θ)
Bartlett算法相同，仅最优权向量不同，后者的最优权是归一化了的。

）（参考自：阵列信号处理中的DOA估计技术研究_白玉）
k时刻，令x(t)=u(k)，s(t)=s(k),n(t)=n(k),
令u(k)=a(θ)s(k)+n(k)，波束形成器输出信号y(k)即
y(k)=w H u(k)(2-1) 传统的波束形成器总的输出功率可以表示为：
P cbf =E[|y(k)|2]=E[|w H u(k)|2]=w H E[u(k)u H(k)]w=w H R uu w(2-2) 式中,R uu定义为阵列输入数据的自相关矩阵。

式(2-2)在传统DOA估计算法中的地位举足轻重。

自相关矩阵R uu包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息,仔细分析R uu，可以估计出信号的参数。

考察一个以角度θ入射到阵列上的信号s(k)，则有u(k)=a(θ)s(k)+n(k)。

根据窄带输入数据模型,
波束形成器的输出功率可以表示成:
P cbf(θ )=E[|w H u(k)|2]=E[|w H(a(θ)s(k)+n(k))|2]
=|w H22H|2σn2(2-3)
式中，σs2=E s k2，a(θ)是关于DOA角θn(k)是阵列输入端的噪声向量。

当
时，系统的输出（信号）θ的信
在DOA估计的经典波束形成方法中，波束形成器产生的波束在感兴趣的区域中离散地扫描，对应不同的θ可以产生不同的权向量：
w yanchi=a(θ)
从而得到的输出功率也不相同。

利用式(2-3),经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:
P cbf(θ)=w H R uu w=a H(θ)R uu a(θ) (2-4)
常规波束形成器法)，CBF法(Bartlett
但是当存在着来自多个方向的信号时，该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的制约，因而这种方法的分辨率较低，只能大致分辨出信号所处的角度范围。

这是因为，延迟—相加法是把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。

就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向。

但是当信号空间中存在多个信号的时侯，因为波束宽度的限制，受到同一个波束内信号之间的相互干扰，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。

增加阵列的阵元数（M）可以改善延迟—相加法的性能，提高分辨率，但是这会使系统更加复杂，还会增加算法的计算量和数据存储空间。

②Capon 最小方差法
(Capon 波束形成器，也称MVDR波束形成器)
最小方差无畸变响应（MVDR）波束形成器解决了延迟—相加法分辨率差的缺点，用一部分自由度在期望方向上形成一个波束，利用剩余的一部分自由度在干扰方向形成零陷。

这种方法使得输出功率和信号方差达到最小，使得非期望干扰信号的贡献为最小，同时使观测方向上的增益达到最大，
约束条件为
其优化问题表述为：
P w
θ=arg min
w
约束条件为：
w H aθ=1综合上式求解w为：
w CAP=
R−1a(θ) a H R−1a(θ)
此时Capon 波束形成器的空间谱为：
P CAP=w CAP H Rw CAP=
1
a H R−1a(θ)
Capon算法比延迟—相加法有了一定程度的改进，可以对多个信号进行DOA 估计。

但是Capon
Capon 算法在运算的过程中使用到了信号的自相关矩阵，因而不能对干扰信号形成零陷。

也就是说，在使得输出功率为最小的过程当中，相关分量可能会恶性合并。

此外，Capon算法运算时需要对信号的自相关矩阵求逆，当阵列加大时会有巨大的运算量。

对于任意的Φ,P Capon(Φ )是来自方向Φ的信号功率的最大似然估计。

子空间分解类算法开始兴起。

这一类算法有一个共同的特点，就是需要对阵列的接收数据矩阵进行数学分解（如奇异值分解、特征值分解和QR 分解等），将数据分解成两个互相正交的特征子空间：一个是信号子空间，另一个是噪声子空间。

子空间类算法按照处理方式的不同可以分成两类：
一种是以 MUSIC 算法为代表的噪声子空间类算法
另一种是以ESPRIT 算法为代表的信号子空间类算法。

式中, R s 是信号相关矩阵( signal correlation matrix ),E[ss H ]。

R 的特征值为{ λ0,λ1,,λ2, ….,λM-1 },使得
|R −λi I |=0 (2-12)
利用式(2-11),我们可以把它改写为
|AR s A
H +σn 2I-λi I |=|AR s A H -(λi -σn 2)I |=0 (2-13)
因此AR s A H 的特征值(eigenvalues)νi 为 νi = λi -σn 2 (2-14)
因此A 是由线性独立的导引向量构成的,因此是列满秩的,信号相关矩阵R s 也是非奇异的,只要入射信号不是高度相关的。

列满秩的A 和非奇异的R s 可以保证,在入射信号数L 小于阵元数M 时,M×M 的矩阵AR s A H 是半正定的,且秩为D 。

这意味着AR s A H
的特征值νi 中,有M-L 个为零。

由式(2-14)可知,R 的特征值λi 中有M-L 个等于噪声方差σn 2。

该M-L 个最小特征值λi 相关的特征向量,和构成A 的L 个导引向量正交。

噪声子空间和信号子空间是相互正交的，而由导向矢量所张成的空间与信号子空间是一致的。

应当指出，与传统方法不同，MUSIC 算法在估计信号功率时并没有考虑波达角。

在噪声与信号源非相关的环境下，可以确保 P MUSIC (θ) 的谱峰对应着信号的真实方向。

由于P MUSIC (θ)的峰值是可以分辨的，并且与信号之间的真实角度间隔没有关系，因此从理论上来讲，只要阵元位置校准的足够高度相关时，自相关矩
旋转不变子空间算法（ESPRIT ）是空间谱估计算法中的典型算法之一，它和前面介绍的 MUSIC 算法一样，也需要对阵列接收数据的协方差矩阵进行特征分解。

但是两者也存在着明显的不同点，即 MUSIC 算法利用了阵列接收数据的协方差矩阵的噪声子空间和导向矢量之间的正交特性，而 ESPRIT 算法则利用了阵列接收数据的协方差矩阵信号子空间的旋转不变性，所以 MUSIC 算法与 ESPRIT 算法可以看成为是一种互补的关系。

和 MUSIC 算法相比，ESPRIT 算法直接给出了待估角的闭式解．．．
，不需谱峰搜索，计算复杂度更小 总的来说 ESPRIT 算法的性能要差于 MUSIC 算法。

ESPRIT 算法的优势在于它的实时性，一般的情况下，只要有两个子阵列满足旋转不变性，就可以用 ESPRIT 算法来实现，且其实现速度要优于MUSIC 算法。

与 MUSIC 算法不同的是，ESPRIT 算法不需要知道精确的导向矢量，只需要各子阵之间的阵元保持一致。

这种
将接收阵列在几何结构上分为两个完全一致的位置平移的子阵列，两个子阵列之间具有平移不变性，两个子阵列的间距△是已知的。

使信号源入射角在两个子阵列上只相差一个旋转不变因子，这一旋转不变因子包含了各个入射信号的到达角信息，可以通过求解一个广义特征值方程得到。

ESPRIT 利用特征值直接估计DOA 。

子空间类 DOA 估计算法的分辨率确实高于传统的 DOA 估计算法。

子空间类算法在计算的过程中同样用到了信号的自相关矩阵，不能消除相干信号间的相互干扰。

MUSIC 算法和ESPRIT 算法都是基于信号的二阶统计量——协方差矩阵进行处理的。

当信号相干时,由
于信号的相关性使阵列协方差矩阵降秩,矩阵中的大特征值个数将少于信号数,从而不能正确的得到信号的DOA估计。

对于相干信号的DOA估计,一般使用空间平滑的技术。

该方法通过子阵之间的滑动平均来
弥补相干信号引起协方差矩阵降秩的问题。

从而能够正确的估计相干信号的波达方向。

Evans提出的前向空间平滑技术最多可以估计M/2个相干信号(M为阵元数)。

Pillar和Kwon利用前向和共扼后向子阵,使得同时可以检测的相干信号源数达到了2M/3个。

空间平滑算法：考虑间距d=λ/2的M元的均匀线阵，λ为工作波长。

有L个相干信号入射。

将阵元
均匀的划分为不同的子阵,每个子阵的阵元数为m,那么{0,1,…,m−1}组成第一个子阵列,{1,2,…,m}组成第二个子阵列,依次类推。

这样组成的子阵列将有D=M−m+1个。

那么第k个子阵列上的接收信号为:
X k=AF(k-1)S(t)+N k(t)(4-1)
其中，
F=diag{exp(-jφ1),…,exp(-jφD)}(4-2) (4-1)式中，F k表示矩阵F的k次幂。

定义第k个子阵列协方差矩阵为：
R k=E[X k(t)X k H(t)]=AF(k-1)R s F H(k-1)A H+σ2I(4-3)
那么将得到D=M-m+1个协方差矩阵，前向空间平滑的思想是把得到的D个协方差矩阵进行算术平均，这样得到前向平滑矩阵R f如（4-4）式：
R f=1
D
R k
D
i=1
(4-4)
当D≥L时(协方差矩阵个数D ≥相干入射信号L个数),无论信号是否相干,通过空间平滑后的矩阵R f都是非奇异的,将R f代入经典的DOA算法,如MUSIC算法,就可以得到正确的波达方向估计。

而后向平滑则采用共轭后向子阵列,也是将M阵元均匀分为D个子阵,定义第一个共扼后向子阵列由{M,M−1,…,M−m+1}组成,第二个子阵列由{M−1,M−2,…,M−m}组成,依次组成的子阵列个数为
D=M−m+l个,m为子阵列中的阵元数。

第k个后向子阵列接收信号的复共扼可以表示为:
和前向平滑类似,定义空间后向平滑子阵列矩阵为：
R b=1
D
R k
D−1
k=1
(4-8)
后向平滑矩阵的平均值,即:
R=1
2
(R f+R b)(4-9)
通过(4-9)式得到的空间平滑矩阵R在相干信号源个数L小于平滑次数D时是满秩的。

共扼后向子阵列的协方差矩阵可以通过前向子阵列协方差矩阵的数值运算得到。

前向虚拟平滑：
如果R为满秩矩阵,就可以利用它来进行相干信号的方位估计。

假设信号为N个全相干信号,显然信号协方差矩阵R s的秩为1,可以把R s用一个矢量来表示
R s=aa H(4.40)
a=[a1,a2,…,a N](4.41) 式中a为一个行向量,a1,a2…a N为该向量的各个分量。

利用(4.39)～(4.41),可以得到：
反向虚拟平滑
本章在详细分析了经典的子空间类超分辨测向算法——MUSIC算法的基础上,主要针对其解相干的空间平滑技术,总结了
一种是运算量的减小:通过采用矩阵平滑来代替空间平滑,使得在子阵协方差计算中避免了
大量的冗余运算。

两种改进方法：
另一种是阵列孔径损失的避免:通过阵列虚拟平滑技术,
列一致,从而避免了阵列孔径的损失。

DOA 估计的综合法的主要思想是：利用基于迭代最小二乘投影的CMA(ILSP-CMA)算法，来估计M 个阵列的空间特征，并对每一个空间特征的平滑空间特征协方差矩阵运用MUSIC 或ESPRIT 等子空间算法。

对于存在多个共信道用户或每个用户具有多个分量的情况，这种方法可以确定多个用户多个分量的波达方向，并使各个分量对应于正确的用户。

算法总结比较：
延迟—相加法:把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。

就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向，但是当信号空间中存在多个信号的时侯，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。

Capon 最小方差算法:有效地解决了延迟—相加法本身分辨率差的问题，但是当信号源中存在相干信号时，Capon 算法就无法准确地估计出信号的波达方向了。

基本思想是将任意阵列输出
．．数据的协方差矩阵进行特征分解,从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间,然后利用这两个子空间的正交性来估计信
号的参数。

MUSIC 算法:
特点：精度高，运算速度慢
MUSIC算法随着信噪比SNR的增加分辨力相应提高;对于均匀线阵而言,MUSIC算法分辨力随着阵元间距的加大相应提高,但当归一化阵元间距大于0.5时,空间谱除了信号
源方向,在其他方向出现模糊,这也是通常仿真中取阵元间距为半波长的原因。

ESPRIT 算法:速度快，但是精度低。

MUSIC算法和ESPRIT 算法都不能处理相干信号源。

总的来说ESPRIT 算法的性能要差于MUSIC 算法。

在ESPRIT
算法的优点在于它的实时性，一般的情况下，只要有两个子阵列满足旋转不变性，就可以用ESPRIT 算法来实现，且其实现速度要优于MUSIC 算法。

最大似然法：当噪声平稳，且样本个数趋于无穷大时，确定性最大似然法的误差收敛趋近于零，但是由于受到初始波达方向估计值的影响，无法保证使其收敛于总体最小值。

随机性的最大似然法可以适用于高斯或非高斯的情况，但是它的优化问题比较困难。

基于传统空间谱估计方法的DOA 估计算法：尤其是其中估计性能较为优越的子空间分解类算法，它是利用阵列接收数据的统计特性来进行DOA估计的，这种方法需要大量的数据来实现信号源的DOA估计，并且它对采样系统也有较高的要求。

此外，MUSIC 等子空间类算法对于相干信号源的DOA估计效果比较差，并且对信噪比的要求也很高。

因此，研究新的DOA估计方法，使之只需要使用很少的采样数据就可以实现高精度的DOA 估计，是一个很值得研究的方向。

OOA估计法：
累积量进行阵列扩展的实质就是对阵列导向矢量的扩展,从而针对MUSIC-LIKE算法对均匀线阵的扩展。

DOA估计算法：
在常用的信号处理方法中,都是先假设信号是广义平稳的。

但在实际应用环境中,信号的统计特性随时间在变化,即信号非平稳，在这类非平稳信号中,存在着一个重要的子类，他们的统计特性随着时间呈周期或多周期的规律变化——周期平稳信号。

信号的循环平稳特性一方面属于对平稳信号的推广,另一方面也反映了信号的时变性质,是一类
循环MUSIC和循环ESPRIT算法,主要是将不同循环频率的循环自相关矩阵代入传统的MUSIC或ESPRIT算法来实现信号的DOA估计。

Gxu提出了循环谱相关子空间拟合(SC-SSF)算法是一种与信号带宽无关的DOA估计方法。

通过构造基于时间延迟的循环自相关函数,作为伪数据来达到波达方向估计的目的。

循环平稳DOA估计算法则利用了信号的循环平稳特性,即将信号的时间和空间特性全部利用起来,达到了改善估
计效果的目的。

小区的多个用户提供通信服务。

在智能天线中,必须同时解决上行以及下行两方面的问题。

上行下行问题的关键是根据各用户的方向及对各传播信道的估计,生成与各个阵元对应的调制信号,完成调制后,反馈到各阵元,形成相应的波束。

更高的分辨率、更好的噪声抑制性能、更稳健、更实时的估计算法一直是DOA 估计技术发展的主要方向。

与时域的傅立叶限制一样,将这种方法扩展至空域后,阵列的角度分辨力同样受到空域“傅立叶限”的限制。

所谓空域“傅立叶限”就是阵列天线的物理孔径限制,通常称为“瑞利限”。

即对于一个波束宽度内的空间目标不可分辨。

对于许多实际环境而言,增大天线孔径往往是不现实的,所以需要更好的算法来提高方位估计的精度,从而促进了阵列信号处理技术的兴起与发展。

波束形成器实质上是一个多输入单输出的多维系统。

波束形成可以用数字方式在基带实现或用模拟方式在微波或中频上实现。

用数字方式在基带实现通常称为数字波束形成(DBF)。

在阵列信号处理的范畴内,波束形成就是从传感器阵列重构．．源信号,这既可以通过增加期望信源的贡献来实现,也可以通过抑制干扰源来实现。

这就是波束形成的物理意义：阵列的输出经过加权求和可以把阵列接收的方向增益聚集到一个方向上,相当于形成一个“波束”。

波束形成技术的基本思想是:通过将各阵元输出进行加权求和,在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计
有源校正方法通过在空间设置方位精确己知的辅助信源来对阵列扰动参数进行离线估计。

但辅
助信源精确方位信息的要求增加了准确校正的难度。

阵列校正 自校正方法通常将空间信源的方位与阵列的扰动参数根据某种优化函数进行联合估计。

自校正
方法不需要方位已知的辅助信源,而且可以在实际方位估计时在线完成。

常规波束形成(CBF)法,也称为Bartlett 波束形成法。

(延迟—相加法)这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。

两种经典
波束形成器：capon 波束形成器也称MVDR 波束形成器。

它试图使噪声以及来自非θ方向的任何干扰所贡献的
功率为最小,但又能保持在观测方向0上的信号功率不变。

第一层：是将组成传统波束形成器的均匀线阵的阵元间距扩大N 倍,N 称为扩展因子,
这一层我们称为成型波束形成器。

空域内插波束形成器
(SIB) 第二层：波束形成器由传统波束形成器组成,作用于第一层的输出端,用于抑制旁瓣高度,
我们称为掩模波束形成器。

达到的效果是,在满足一定指标要求的前提下,使用SIB 可以减少阵元个数和相应的RF 模块、A/D 模块等;同时,阵元之间的互耦影响是实际情况中非常重要的一个因素,由于第一层增大了阵元间距,所以阵元互耦可以得到很好的控制。

旋转信号子空间算法RSS ，该算法是使聚焦后的阵列流型与参考频率点阵列流型间误差最小。

短时聚焦方法可以大大的减少采样数,不需要对协方差矩阵在时间上进行积累,可以有效消除阵列与信源相对运动引入的目标方位估计误差。

不需要对观测数据进行K 次快拍,大大减少了观测时间。

此方法适用于宽带和窄带的
混合信号。

书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔
人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金
人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫
书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉——库法耶夫
书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯
书籍便是这种改造灵魂的工具。

人类所需要的，是富有启发性的养料。

而阅读，则正是这种养料———雨果。