【全国校级联考】河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)

豫南九校2017-2018学年上期期末联考
高一数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合中元素的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．
故选D.
2. 已知：直线与直线平行，则的值为（）
A. 1
B. -1
C. 0
D. -1或1
【答案】A
【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，
即－1或1，经检验成立.
故选A.
3. 函数，则（）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】D
【解析】∵，∴.
故选D
4. 设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）
A. 是直线且，
B. 是异面直线，
C. 是相交直线且，
D. 是平行直线且，
【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且，，，，由直线和平面平行的判定定理可得.
故选C.
5. 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，
画出草图如图所示．
由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．
故选B.
6. 已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.
故选C.
7. 设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（）
A. B.
C. D.
【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，
，又当x≥1时，f(x)＝ln x单调递增，所以，
故选B.
8. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）
A. 0
B.
C.
D. 1
【答案】C
【解析】∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴，所以.
故选C.
9. 某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】B
【解析】
在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，该四面体的体积为.
故选B．
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
10. 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（）
A. -9，1
B. -10，1
C. -9，2
D. -10，2
【答案】A
【解析】即为
y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，
.......... ...........
故选A.
11. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，对一切，f(x)>0都成立，
即，
而，
则实数a的取值范围为.
故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若
恒成立；
（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
12. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）
A. 10
B. 13
C. 15
D. 20
【答案】B
【解析】
如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52．
则|AC|·|BD|=，
当时，|AC|·|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，
∴四边形ABCD面积的最大值为13．
故选B．
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数的单调递增区间为__________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】试题分析：因为，所以当时，而，所以函数的单调递增区间为.
考点：复合函数单调性
14. 已知集合，，则集合中子集个数是
__________．
【答案】4
【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点，
因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离，
所以直线与圆相交．集合有两个元素.
故集合中子集个数为4.
故答案为：4.
15. 如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧
的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________．
【答案】
【解析】
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形，AA1=2AB
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．
故答案为：2.
点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.
16. 已知函数，则函数的零点个数为__________．
【答案】3
【解析】由，得，
作出y＝f(x)，的图象，
由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3．
故答案为：3
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知全集，集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1)A∪B＝{x|－2<x<3}，；(2)(－∞，－2]．
【解析】试题分析：（1）求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可；
（2）由A∩B＝A，得A⊆B，从而得，解不等式求解即可.
试题解析：
（1）由题得集合A＝{x|0＜＜1}={x|1＜＜3}
当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，
则A∪B＝{x|－2<x<3}．
（2）由A∩B＝A，得A⊆B.
.
解得m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
18. 已知直线及点.
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.
【解析】试题分析：（1）直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；
（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线P A时，点P到直线l的距离最大，利用点斜
式求直线方程即可.
试题解析：
（1）证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，
由，
得，所以直线l恒过定点．
（2）由（1）知直线l恒过定点A，
当直线l垂直于直线P A时，点P到直线l的距离最大．
又直线P A的斜率，所以直线l的斜率k l＝－．
故直线l的方程为，
即15x＋24y＋2＝0．
19. 设是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
【答案】(1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．
【解析】试题分析：（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.
试题解析：
（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..
综上所述：此函数的解析式.
（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；
当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，
当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，
综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
20. 已知圆经过点，和直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．
【解析】试题分析：（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；
（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.
试题解析：
（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,
线段AB的垂直平分线方程为，即，
设圆心的坐标为C(a，－a－1)，
则，
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝．
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
（解二：可设原方程用待定系数法求解）
（2）由题知圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，
满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，
解得k＝，
∴直线l的方程为y＝（x－2）．
综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
21. 如图，四面体中，平面，，，，.
（1）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；
（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面P AC内，过点N作MN∥P A交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.
试题解析：
（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，
可得,所以,
由P A⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,
所以,
又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,
PB⊂平面PAB,所以,
所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，
．
（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面P AC内，过点N作MN∥P A交PC于点M，连接BM．
由P A⊥平面ABC知P A⊥AC，所以MN⊥AC．
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．
又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．
因为与相似，，
从而NC＝AC－AN＝．
由MN∥P A，得＝＝．
22. 已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；
（3）由，假设最大值为0，因为,则有，
求解即可.
试题解析：
（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，
因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
（2）由，
得(3－4log3x)(3－log3x)>k，
令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，
令，其对称轴为，
所以当时，的最小值为，
综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.
（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，
由.
因为,则有，解得，所以不存在实数，
使得函数的最大值为0.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；
（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
郑重声明：大联考联盟涉及所有试题及相关内容，均具有相应版权，授予络独家传播权，如有侵权可独立维权，未经授权谢绝转载，传播。

如未经授权进行转载、传播等，均视为侵权需承担相应法律责任。