晶体的结构的周期性2

面对角线OB的晶向 [110] 面对角线晶向共有12个
] 体对角线OC的晶向 [111 体对角线晶向共有8个
由于立方晶格的对称性， 以上3组晶向是等效的 表示为
100 110 111
§4 晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性是指：晶体经过某种对称操作后能 够恢复原状的性质
一、点对称操作：
c a b 三斜晶系 c 底 心 b a 正交晶系
简 单Βιβλιοθήκη c简 单 a b
c a
底 心
b
单斜晶系
简 c 单 a
b
c体 心 b a
c a b
面 心
简 单
c a3 a a1 2
120°
简 单
a c b
三角晶系
简 单
c a b
c 体 心 a 四方晶系 b
六方晶系
简 单
体 心
铁 , 铬 , 钒 , 钨 , 钼
1 1 1 h1 : h2 : h3 : : h3 h1 h2
显然：可以使用这三个数来 唯一的确定该晶面族。（h1 h2 h3） a3 a2 —— 面指数 例1：如图所示的晶面，其截 距为：（2a1，a2，a3），由上 1 式可得： a1 结论：该族晶面的 面指数为：（122）
h1 : h2 : h3
A
[l1 l2 l3 ] 称为晶向指数。
RA 3a1 a2 a3 晶向指数 [311]
a1
例：简单立方晶格的晶向标志 立方边OA的晶向 [100] 立方边共有6个不同的晶向
[100], [ 1 00], [010] [0 1 0], [001 ], [00 1 ]
几种具体的晶向指数举例
圣佛利斯符号 (Schfl.) C4 S4 C4h
422
4mm 42m 4/mmm
D4
C4v D2d D4h
3
5 三方晶系 3 32
C3
C3i D3
国际符号(HM) 6 6 6/m
圣佛利斯符号(Schfl.) C6 C3h C6h
6
六方晶 系
622
6mm 6m2 6/mmm
D6
C6v D3h D6h
1、关于群的概念： 若对集合G≡{E、A、B、C· · · · · · }，在规定了元素的“乘积” 法则后满足下列四个条件，则称为群： （1）封闭性：若有A∈G，B ∈G和AB=C，则一定有C ∈G。 （2）存在单位元素E。对G中的任意元素A有：AE=EA=A 。 （3）对G中的任意元素的逆存在于集合之中。即有： AA-1=A-1A=E 且有 A-1 ∈G （4）满足结合律：A（BC）=（AB）C。 2、关于点群： 根据宏观晶体中可能出现的对称元素种类以及组合原理，数 学上可以推导出宏观晶体中对称元素组合的类型只有32种。 由于宏观晶体的尺度在空间是有限的，它的所有对称元素 必须至少交于一点，在对称操作中至少有一点是不动的。因此 宏观晶体对称元素集合而成的结晶学群称为点群。
例2、立方晶格的几种主要晶面的密勒指数：
由于晶格的对称性，通常用 {hkl} 表示一组等价的晶面族。 例如：用 {100} 表示（ 100 ）、（ 010 ）、（ 001 ）三种等价的晶 面族。
二、晶列与晶向指数：
1、晶列与晶向： 在布喇菲格子中作一簇平行的 直线，这些平行直线可以将所有的 a3 a 2 格点包括无遗。这一平行直线族被 称为晶列。 a1 （2）每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向。 （3）在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。 2、晶向的标志——晶向指数： 取某一原子为原点O，原胞 a 的三个基矢为： 1 , a2 , a3 从原点O沿晶向到最近的一个格 a3 a2 点的位置矢量：l1a1 l2 a2 l3a3 l1, l2 , l3 是 一组整数，记为：
三、七大晶系：
七 大晶系划分情 况 表 晶系名称 构成原胞的边角关系 三斜晶系 a b c ; 90°
Z
c
单斜晶系 a b c ; = = 90° 正交晶系 a b c ; = = = 90°
X
b a
Y
晶轴及晶胞的六个参数
面 心
铁 , 铝 , 铜 , 镍 , 铅
立方晶系
五、对称性破缺（symmetry breaking ）：
1、晶体的出现是对称性破缺的结果： 晶体是从液体或气体经相变而产生的。 物质的气相与液相是一种均匀的高度对称的无序相。 它对任意的平移或转动均保持不变。 而对晶体，由于其原子的排列具有周期性，也具有一定 的平移对称性，但这种平移对称性与气体或液体的平移对称 性相比，使晶体保持不变的平移不再是任意的。它要求向某 方向的平移不能小于该方向的格点周期，否则晶格就不能自 身重合。所以，晶体的对称性要比气态与液态物质的对称性 低。同样的道理，晶体的转动对称性也要比气态与液态物质 的转动对称性低。 原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，使其对称 程度降低的这种现象叫做对称性破缺。 所以，可认为晶体的出现是对称性破缺的结果。
1、旋转对称操作： （1）对称轴： 旋转对称操作是指晶体绕某一轴线旋转某一角度后恢 复原状的操作。这种对称操作中的对称元素被称为对称轴。 （2）n重对称轴： 若晶体绕对称轴线旋转(2π/n)角度而恢复原状，则称该 晶体具有n重对称轴，用符号 n （或Cn）表示。 （3）晶体对称性定律： 由于晶格的周期性，n 的取值只能等于1、2、3、4、6。 n = 5和 n ＞ 6 的对称轴是不允许的。 —— 晶体对称性定律
美国芝加哥大学恩里科费米研究所的南部阳一郎yoichironambu由于发现亚原子物理中的对称性自发破缺机制而获得一半奖金日本高能加速器研究组织的小林诚makotokobayashi和日本京都大学汤川理论物理研究所的益川敏英toshihidemaskawa则由于发现破缺对称性的起源并预言自然界中至少存在三代夸克而分享了另一半奖金
§ 3 晶面与面指数
一、晶面与面指数：
1、晶体的晶面： 在布喇菲格子中作一簇平行的平面这些相互平行、等 间距的平面可以将所有的格点包括无遗 —— 这些相互平行的平面称为晶体的晶面
同一种格子的两组不同的晶面族
显然：同一个晶格可有无穷多个晶面族。
2、密勒指数： （1）面指数： ① 取原胞基矢a1、a2、a3为坐标轴。 a1 , h2 a2 , h3 a3 分别表示某晶面族中任意一个不 ② 用 h1 通过原点的晶面在这三个坐标轴上的截距。 ③ 设：h1 , h2 , h3 分别表示由三个截距系数的倒数约化 成的具有相同比率的三个互质整数。即有：
n in
i
i
i
i
2m
3 3i
4
6 3 m
（3）镜转对称操作也是一种复合对称操作，可以表示为：
Sn m n
即镜转对称操作是绕某一轴旋转（2π /n ）角度，接 着以某一平面作镜像反映的一种对称操作。可以验证有：
S1 2 , S2 1 , S3 6 , S4 4 , S6 3
2008年诺贝尔物理学奖
观测表明，我们这个宇宙是物质为主的，这就产生了一个 问题：为什么宇宙中的反物质远少于物质？对于这个问题，目 前还没有完整的答案，但对称性破缺是解决问题的关键之一。 诺贝尔奖官方网站的在线投票结果显示，有58%的人不知 道宇宙存在的原因是“对称性破缺”。 10月7日，2008年诺贝尔物理学奖揭晓，美国和日本的三名 科学家因为在“对称性破缺”研究中做出的贡献而获奖。美国 芝加哥大学恩里科· 费米研究所的南部阳一郎 (Yoichiro Nambu) 由于“发现亚原子物理中的对称性自发破缺机制”而获得一半 奖金，日本高能加速器研究组织的小林诚(Makoto Kobayashi) 和日本京都大学汤川理论物理研究所的益川敏英 (Toshihide Maskawa)则由于“发现破缺对称性的起源并预言自然界中至少 存在三代夸克”而分享了另一半奖金。
1 2 cos m
2 2 2 2 2 , , , , 2 3 4 6
即有： n = 1，2，3，4，6
在直观上，如果存在5重对称 性，则在垂直于轴的晶面上的格点 分布至少应是正五边形。但正五边 形不可能无缝隙无交叠地充满整个 平面从而不能保证晶格的周期性所 以不存在 n = 5 的对称轴。对 n > 6 的情况也可作类似的说明。 2、中心反演对称操作： 中心反演对称操作是以一点（取为原点）为中心，将 所有 r 变换到 – r 的对称操作。这种对称操作中的对称元素 被称为对称中心。用符号 i （或Ci）表示。 3、镜面反映对称操作： 镜面反映对称操作是以某一平面作镜像反映的对称操 作。这种对称操作中的对称元素被称为对称面。用符号 m （或σ ）表示。
所以Sn不能得出新的对称操作 。 结论：独立的对称操作只有8种，它们分别是：
1, 2 , 3 , 4 , 6 , i , m , 4
在这些对称操作中，操作时至少有一点保持不动，所以 又称为点对称操作 。 例如：在转动时，轴线上的各点是保持不动的。 在中心反演对称操作中，原点是保持不动的。
二、点群：
三角(菱方)晶系 a = b = c ; = = 90°< 120°
四(正)方晶系 a = b c ; = = = 90°
六角(六方)晶系 a = b c ; = = 90° =120°
立方晶系
a = b = c ; = = = 90°
四、十四种布喇菲晶格：
23
7 立方晶 系 m3 432
T
Th O
43m
Td
3、关于空间群： 晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。 由于晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相 交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。 晶体内原子排列的对称性称为微观对称性。 它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。 为描述晶体结构的对称性应允许有平移对称操作。 一个晶体中所有微观对称元素的集合称为空间群。晶体 共有 230 种空间群，即 230 种微观质点排列的对称集合类型。
4、象转对称操作： 象转对称操作是绕某一轴旋转（2π /n ）角度，接着 以某一点为中心进行反演的一种对称操作。这种对称操作中 的对称元素被称为象转轴。用符号 n 表示。 （1）象转对称操作是一种复合对称操作，可以表示为： 必须指出：具有象转操作对称性的晶体不一定同时具有 n 重对称轴和对称中心 i 。 （2）5种象转对称操作：由于 n 只有5种取值，所以 n 也 只有 n 1 , 2 , 3 , 4 , 6 这5种取值。且有： 1 i
2
:1:1 1: 2 : 2
④ 化为互质整数的面指 数（h1h2h3）就表示该晶 面族将基矢 a1、a2、a3 分割成h1,h2,h3等分。 如图所示：例1中 所给出的晶面族， 过A、B、C三个 a3 a2 格点的晶面， 把三个基矢 分别分割成 A C a1 B 1、2、2等分。 ⑤ 显然：选择不同的基矢，对同一晶面族，应得到不同的 面指数。 （2）密勒指数： 在晶体结构中，通常取晶胞基矢： a,b,c 为坐标轴，并按 与前 面 相 同 的 办 法 所确定的面指数称为密勒指数 。并记为 （hkl）。但（hkl）面不一定是离原点最近的晶面。
2、对称性破缺与相变： 对称破缺的概念是 1937 年 Landau 在其二级相变的理论 中首先提出来的。他认为：相变总是伴随着运动状态的有序程 度和结构的对称性的变化的。 通常：高温相的对称性较高而有序度比较低；而低温 相的对称性较低而有序度比较高。 而对称性的高低是指：相对而言所含对称元素的多少。 即：对相对含有较多对称元素的系统，我们就说它的对称 性比较高。 如果在相对来讲具有较高对称性的相中某一对称元素突 然消失，这就会导致具有较低对称性的相出现，于是就发生 了相变。因此，一种有序相的出现总是与某种对称性破缺相 联系。 只有对称性破缺才能显示物质世界的多样性与各自的特 殊性。对称破缺是一个很重要的具有普遍意义的概念。
32种晶体学点群的记号
晶系(Crystal system) 点群(Point group) 国际符号(HM) 1 1 2 2 单斜晶系 m 2/m
序号(No.)
圣佛利斯符号 (Schfl.)
C1 Ci C2 C3 C2h
1
三斜晶系
222
3 正交晶系 mm2 mmm
D2
D2v D
国际符号(HM) 4 4 4 四方晶系 4/m
证明： 在垂直于某对称轴的晶面上任 A′ 选两个最近邻的格点 A和 B。绕通过 B′ A的转轴转过角度 使B点转到B’点。 如果经过这种操作后晶格保持不 变，则B’点应是晶面上的一个格点 θ θ 注意到A和B两点等价，所以 A B 若再绕通过B点的轴逆向转过 角， 使A点转到A’点，则A’点也应是晶 面上的一个格点。由于必有：A′B′ 平行于AB ，且有B′至A′的 距离应为A至B的距离的整数倍，所以有： B' A' m AB — m为整数 但又有： B' A' AB(1 2 cos ) 所以：