中考数学压轴题集锦
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第 10 题图 1
第 10 题图 2
第 10 题图 3
（3）因为△PAB 的面积为 10，AB＝5，所以 AB 边上的高为 4，即点 P 到 AB 的距离
PH 为 4．
等腰三角形 PAB 分三种情况：
①如图 3，当 PA＝PB 时，P 是抛物线的顶点，由于抛物线开口向上，此时 P (5 , 3) ． 2
所以 3a＝－3．解得 a＝－1． 所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x－3． （2）由 y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得 D(0,－3)，C(2, 1)． 如图 1，由 B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．
所以∠CBD＝90°，且 BC 2 1 ． BD 3 2 3
沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t＞0）． （1）当点 F 是 AB 的三等分点时，求出对应的时间 t； （2）当点 F 在 AB 边上时，连结 FN 、FM： ①是否存在 t 值，使 FN＝MN？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在 t 值，使 FN＝FM？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
NM BC
(x 1)(x 3)
解得 x 8 ＞1，不符合题意（如图 3）． 3
③当 NA BC 1 ，且 M 在 A 右侧时， x 1 1 ．
NM BD 3
(x 1)(x 3) 3
解得 x＝6．此时 M(6,－12)（如图 4）．
④当 BC 1 ，且 M 在 A 左侧时， 1 x 1 ．
第 4 题图 1
第 4 题图 2
第 4 题图 3
因此△AMN 与△BCD 都是直角三角形，它们相似分 4 种情况讨论：
①当 NA BD 3 ，且 M 在 A 右侧时， x 1 3 ．
NM BC
(x 1)(x 3)
解得 x 10 ．此时 M (10 , 7) （如图 2）．
3
39
②当 NA BD 3 ，且 M 在 A 左侧时， 1 x 3 ．
将 P(3,－3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 2 ． 3
③如图 5，当 BP＝BA＝5 时，根据对称性，与情况②一样， m 1 或 m 2 ．
6
3
第 10 题图 4
第 10 题图 5
4．如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 D，顶
9.（1）由 AB//DC，得 AF AE ．由 AC 9 2 ， AE 2t ，得 CE 2(9 t) ． CD CE
点 F 是 AB 的三等分点，存在两种情况：
①如图 1，当 AF＝3 时， 3 2t ．解得 t 9 ．
9 2(9 t)
4
②如图 2，当 AF＝6 时， 6 2t ．解得 t 18 ．
因此 AN＝DM＝9－t． ①如图 4，如果 FN＝MN，那么 Rt△AFN≌Rt△DNM． 又因为△AFD∽△DNM，所以△AFN≌△AFD．此时 N、D 重合，t＝0． ②如图 5，当 FM＝FN 时，FD 垂直平分 MN，因此 DN＝DM．
解方程 t＝9－t，得 t 9 ． 2
第 9 题图 4
点为 C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N，使以 A、M、N
为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）因为抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点， 所以 y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a．
将 P (5 , 3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 16 ．
2
25
②如图 4，当 AP＝AB 时，在 Rt△PAH 中，AP＝5，PH＝4，所以 AH＝3．
所以点 P 的坐标为(－3, 5)或(3,－3)．
将 P(－3, 5) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 1 ． 6
第 9 题图 5
10.（2014 年南京市雨花栖霞浦口化工园区四区联合模拟第 26 题） 已知二次函数 y＝mx2－5mx＋1（m 为常数，m＞0），设该函数图像与 y 轴交于点 A，图
像上一点 B 与点 A 关于该函数图像的对称轴对称． （1）求点 A、B 的坐标； （2）点 O 为坐标原点，点 M 为函数图像的对称轴上一动点，求当 M 运动到何处时
NM BD 3
(x 1)(x 3) 3
解得 x＝0．此时 M(0,－3)（如图 5）．
第 4 题图 4
△MAO 的周长最小； （3）若该函数图像上存在点 P 与点 A、B 构成一个等腰三角形，且△PAB 的面积为 10，
求 m 的值．
10．（1）由 y＝mx2－5mx＋1，得 A(0, 1)，抛物线的对称轴为直线 x 5 ． 2
所以点 B 的坐标为(5, 1)． （2）如图 1，当 M 运动到线段 OB 与对称轴的交点时，△MAO 的周长最小，这是因为： 如图 2，AO 为定值，MA＝MB，在△MOB 中，MO＋MB＞OB． 因此当 O、M、B 三点共线时，MB＋MO 最小． 如图 1，此时点 M 的坐标为 (5 , 1) ，△MAO 的周长的最小值为 26 1 ．
9．（2014 年杭州市拱墅区中考模拟第 22 题） 如图，在一个边长为 9cm 的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC、CD 上的动点，
连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于点 H，交 AD 于点 N．设点 M
从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动；点 E 同时从点 A 出发，以 2 cm/s 速度
9 2(9 t)
5
第 9 题图 1
第 9 题图 2
（2）如图 1，由 AB//DC，得 AF AE ． CD CE
如图 3，由△AFD∽△DNM，得 AF DN ． AD DM
第 9 题图 3
而 CD＝AD，所以 AE DN ．因此 2t DN ．所以 DN＝t．
CE DM
2(9 t) 9 t
第 10 题图 1
第 10 题图 2
第 10 题图 3
（3）因为△PAB 的面积为 10，AB＝5，所以 AB 边上的高为 4，即点 P 到 AB 的距离
PH 为 4．
等腰三角形 PAB 分三种情况：
①如图 3，当 PA＝PB 时，P 是抛物线的顶点，由于抛物线开口向上，此时 P (5 , 3) ． 2
所以 3a＝－3．解得 a＝－1． 所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x－3． （2）由 y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得 D(0,－3)，C(2, 1)． 如图 1，由 B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．
所以∠CBD＝90°，且 BC 2 1 ． BD 3 2 3
沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t＞0）． （1）当点 F 是 AB 的三等分点时，求出对应的时间 t； （2）当点 F 在 AB 边上时，连结 FN 、FM： ①是否存在 t 值，使 FN＝MN？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在 t 值，使 FN＝FM？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
NM BC
(x 1)(x 3)
解得 x 8 ＞1，不符合题意（如图 3）． 3
③当 NA BC 1 ，且 M 在 A 右侧时， x 1 1 ．
NM BD 3
(x 1)(x 3) 3
解得 x＝6．此时 M(6,－12)（如图 4）．
④当 BC 1 ，且 M 在 A 左侧时， 1 x 1 ．
第 4 题图 1
第 4 题图 2
第 4 题图 3
因此△AMN 与△BCD 都是直角三角形，它们相似分 4 种情况讨论：
①当 NA BD 3 ，且 M 在 A 右侧时， x 1 3 ．
NM BC
(x 1)(x 3)
解得 x 10 ．此时 M (10 , 7) （如图 2）．
3
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②当 NA BD 3 ，且 M 在 A 左侧时， 1 x 3 ．
将 P(3,－3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 2 ． 3
③如图 5，当 BP＝BA＝5 时，根据对称性，与情况②一样， m 1 或 m 2 ．
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第 10 题图 4
第 10 题图 5
4．如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 D，顶
9.（1）由 AB//DC，得 AF AE ．由 AC 9 2 ， AE 2t ，得 CE 2(9 t) ． CD CE
点 F 是 AB 的三等分点，存在两种情况：
①如图 1，当 AF＝3 时， 3 2t ．解得 t 9 ．
9 2(9 t)
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②如图 2，当 AF＝6 时， 6 2t ．解得 t 18 ．
因此 AN＝DM＝9－t． ①如图 4，如果 FN＝MN，那么 Rt△AFN≌Rt△DNM． 又因为△AFD∽△DNM，所以△AFN≌△AFD．此时 N、D 重合，t＝0． ②如图 5，当 FM＝FN 时，FD 垂直平分 MN，因此 DN＝DM．
解方程 t＝9－t，得 t 9 ． 2
第 9 题图 4
点为 C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N，使以 A、M、N
为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）因为抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点， 所以 y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a．
将 P (5 , 3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 16 ．
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②如图 4，当 AP＝AB 时，在 Rt△PAH 中，AP＝5，PH＝4，所以 AH＝3．
所以点 P 的坐标为(－3, 5)或(3,－3)．
将 P(－3, 5) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到 m 1 ． 6
第 9 题图 5
10.（2014 年南京市雨花栖霞浦口化工园区四区联合模拟第 26 题） 已知二次函数 y＝mx2－5mx＋1（m 为常数，m＞0），设该函数图像与 y 轴交于点 A，图
像上一点 B 与点 A 关于该函数图像的对称轴对称． （1）求点 A、B 的坐标； （2）点 O 为坐标原点，点 M 为函数图像的对称轴上一动点，求当 M 运动到何处时
NM BD 3
(x 1)(x 3) 3
解得 x＝0．此时 M(0,－3)（如图 5）．
第 4 题图 4
△MAO 的周长最小； （3）若该函数图像上存在点 P 与点 A、B 构成一个等腰三角形，且△PAB 的面积为 10，
求 m 的值．
10．（1）由 y＝mx2－5mx＋1，得 A(0, 1)，抛物线的对称轴为直线 x 5 ． 2
所以点 B 的坐标为(5, 1)． （2）如图 1，当 M 运动到线段 OB 与对称轴的交点时，△MAO 的周长最小，这是因为： 如图 2，AO 为定值，MA＝MB，在△MOB 中，MO＋MB＞OB． 因此当 O、M、B 三点共线时，MB＋MO 最小． 如图 1，此时点 M 的坐标为 (5 , 1) ，△MAO 的周长的最小值为 26 1 ．
9．（2014 年杭州市拱墅区中考模拟第 22 题） 如图，在一个边长为 9cm 的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC、CD 上的动点，
连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于点 H，交 AD 于点 N．设点 M
从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动；点 E 同时从点 A 出发，以 2 cm/s 速度
9 2(9 t)
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第 9 题图 1
第 9 题图 2
（2）如图 1，由 AB//DC，得 AF AE ． CD CE
如图 3，由△AFD∽△DNM，得 AF DN ． AD DM
第 9 题图 3
而 CD＝AD，所以 AE DN ．因此 2t DN ．所以 DN＝t．
CE DM
2(9 t) 9 t