平方差公式的隐藏功能、公式变形以及灵活运用

平方差公式的隐藏功能、公式变形以及灵活运用
平方差公式是数学里最基础的公式之一，小学的有理数，初中的无理数以及高中的复数都可以应用平方差公式。

a²-b²=(a+b)(a-b)
把(a+b)(a-b)的括号打开就可以化简成a²-b²，或者用几何等很多方法都可以证明。

小学阶段经常用在简便运算：
2018²-2017²=(2018+2017)×(2018-2017)=4035
2020²-2019×2021=2020²-(2020-1)×(2020+1)=1
这些基础的应用大家都比较熟悉，今天主要介绍平方差公式的一些灵活运用。

隐蔽的平方差，打破一下思维定势，比如下面这道题题很难发现平方差公式例题：2018×2019-2017×2020
这道题其实也可以用平方差公式来简算，但是我们不容易想到变成小数的平方差。

2018与2019，2017与2020的平均数都是2018.5，所以：
2018×2019=(2018.5-0.5)×(2018.5+0.5)
2017×2020=(2018.5-1.5)×(2018.5+1.5)
原式=1.5²-0.5²=(1.5+0.5)×(1.5-0.5)=2
平方差公式的变形
a²=(a+b)(a-b)+ b²
我们利用它的变形公式可以心算一些数的平方
997×997=(997+3)×(997-3)+3×3=994009
其中a=997，b=3，通过这种变化，我们就可以简算或心算。

1011×1011=(1011-11)×(1011+11)+11×11=1022121
平方差公式的灵活运用
由于平方差公式里有平方，所以经常结合与平方有关的知识点进行考察：正方形面积，完全平方数等等。

例题1：一个大正方形纸片，从正中间剪下一个小正方形后，剩下的面积是71，已知大，小正方形的边长恰好都是整数，那么小正方形的面积是多少。

解析：设大小正方形边长为x，y
则有x²-y²=(x+y)(x-y)。

由于71是质数，所以只能分解成71×1。

x+y=71；x-y=1 解得y=35，所以答案是1225.
例题2：一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44也是一个完全平方数，那么这个自然数是多少。

提示：和例题1类似，可以自己做一下。