差分模型 (1)讲解

以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0 表示第一周期初，t=1表示第二周期初。 记 yt 为变量y在时刻t 时的取值，则称
yt yt 1 yt; y(t ) y(t 1) y(t )
为 yt 的一阶差分，称 2 yt ( yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt . 为的二阶差分。
也是方程（2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（2）也成立。
例3 试改变差分方程 3 yt 2 yt 0 的形式. 例4试确定下列差分方程的阶.
(1) yt 3 yt 2 yt 4 0;(2) 5 yt 5 3 yt 1 7.
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt b(t )
的形式，其对应的齐次方程为
（1）
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt 0 （2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 y t 与 y t 均为方程（2）的解，则
yt c1 yt(1) c2 yt( 2 )
P 记t时段初市场上的供应量 (即上 P0 一时段的生产 量)为xt ，市场上 该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即 P2 P* 1 Pt g ( xt ) P1 , Mt将趋于平衡点 随着 t M*,即商品量将趋于平衡 量x*,价 格将趋于平衡价 格P*。图中的箭 o 线反映了在市场经济下该商品的 供应量与价格的发展趋势。 P
图①和图②的区别在哪里， 不难看出，在 图①中平衡点 如何判定平衡点的稳定 性呢？ M *处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值， 而在图②中情况恰好相反。
现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是 否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在M*附近供、 需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似 来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。 设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 和 P P * a( x x * )
一般地，函数 yt 的n-1阶差分的差分称为n阶差分， n yt ，即 记为
yt
n n
n 1
yt 1
i n t i
n 1
yt (1) C y
i i 0
n
i n t n i
(1) C y
n i i 0
例1设 yt t 2 , 求 ( yt ), 2 ( yt ), 3 ( yt ).
Chap.2差分方程
一、 差分的概念与性质 在社会经济活动与自然科学研究中，我们经常遇到与时 间t 有关的变量，而人们往往又只能观察或记录到这些变量 在离散的t 时的值。对于这类变量，如何去研究它们的相互 关系，就离不开差分与差分方程的工具。 一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的 变化率是用dy/dx来刻画的；对离散型的变量y，我们常取在 规定的时间区间上的差商 y 来刻画变量的变化率。 如果选 t 择 t 1 ，则 y y (t 1) y (t ) 可以近似表示变量y的变化率。 由此我们给出差分的定义：
a i 为特征方程（3）的k重复根，则通
y t .若yt为方程(2)的 （步三） 求非齐次方程 (1)的一个特解 yt yt 通解,则非齐次方程 (1)的通解为
C i 为任意常数，i=1,…,2k。
例1 求解两阶差分方程
yt 2 yt t
解 对应齐次方程特征方程: 原方程有形如
例5指出下列等式哪性方程.
(1) 3yt 3 yt a ;
t
(2) yt 2 2 yt 1 3 yt 4.
方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 a0 n a1 n 1 L an yt 0 （3）
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(2)的通解 情况1 若特征方程（2）有n个互不相同的实根
1 …, n 则齐次方程（2）的通解为
，
C11t L Cnnt (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（3）的k重根，通解中对应 k 1 t (C1 L Ck t ) 于λ的项为
>> plot(k,y2,'r') >> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':')
筹措教育经费模型
某家庭从现在着手 , 从每月工资中拿出一部分资 金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后 开始从投资账户中每月支取1000元, 直到10年后 子女大学毕业并用完全部资金 . 要实现这个投 资目标, 20年内要总共筹措多少资金 ? 每月要在 银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为 此, 设第t个月, 投资账户资金为每月存资金为b元, 于是20年后, 关于的差分方程模型为
t
yt 2 yt 0
2 2 yt c1 sin t c2 sin t 则为它的通解，其 中c1，c2为两个 2 2
任意常数。类似于微分方程，称差分方程
与 y t cos
t
均是它的特解，而
a0 (t ) yt n a1 (t ) yt n1 L an (t ) yt b(t )
①
供应曲线 M2
M0 需求曲线
M* M1
x1 x* x2 x0 M1 M3 M2
x
②
x
o
但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图②中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。

Matlab实现 首先建立一个关于变量n ，r的m函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end


在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)'; >> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
2 t y t 3 例 2求 t 的差分
二、差分方程的概念 含有未知函数 yt 的差分的方程为差分方程。 差分方程的一般形式:
F (t, yt , yt , yt ,L , yt ) 0
2 n
G(t, yt , yt 1, yt 2 ,L , yt n ) 0.
其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程 的阶。例如，二阶差分方程
rsolve(方程，解函数,选项) ，rsolve({方 程组，初始条件}，{解函数}，选项) 选项为‘genfunc’(x)解以x为自变量；选项为 ‘makeproc’解为过程函数。 rsolve({F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1..2)=1}, F, 'genfunc'(x)); rsolve({s(n) = 2*s(n-1), s(0)=1}, s,'makeproc')
为n阶线性差分方程， 当 b( t )≠0时称其为n阶非齐次线性差 分方程，而
a0 (t ) yt n a1 (t ) yt n1 L an (t ) yt 0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。 若所有的 ai(t) 均为与t 无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n 阶常系数线性差分方程可分成
在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解， 在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要 讨论解的稳定性。对 差分方程(1),若不论其对应齐次方程的 通解中任意常 数C1,…,Cn如何取值 , 在 t 时总 有 yt 0 ,则称方程 (1)的解是稳定 的,否则称其解为不稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(1)稳定的充要条件 为其所有特征根的模均小于1。
at 1 (1.005)at 1000
a120 0, a0 x.
例（市场经济的蛛网模型） 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。 在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其 曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。
yt yt yt 0
2
也可改写成
yt 2 yt 1 yt 0
一般地
yn (1) Ck yn i yn k ,
k k i i i 0
k 1
yn k (1) Ck yn i yn
k i i k i 0
k 1
满足差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方 程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数 时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则 称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差分方 程 易见 yt sin
1, 2 i ，对应齐次方程的通解为 yt C1 cos t C 2 sin t
2 at b的特解。代入原方程求得 2
2 1 0 ,其特征根为
1 1 a ， b ，故原方程的通解为 C1 cos t C 2 sin t 1 t 1 2 2 2 2 2 2
利用plot 绘图观察数量变化趋势
可以用不同线型和颜色绘图 r gb c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型


plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画 图 plot(k,y2,‘: k’) 离散点：黑色
>> plot(k,y2,'--')
模型建立

xk+1=(1+r)xk k=0,1,2· · · · · ·
记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
（1） (Cyt ) Cyt (C为常数); （2） ( yt zt ) yt zt ; （3） ( y z ) z y y z ;
t t t t t 1 t
差分的性质：
（4 ）
yt zt yt yt zt ( zt 0). zt 1 zt zt
情况3 若特征方程（3）有单重复根
C i 为任意常数，i=1,…,k。
a i

通解中对应它们的项为 C1 t cos t C2 t sin t 2 2 arctan 为λ的幅角。 为λ的模，
情况4 若
解对应于它们的项为 (C1 L Ckt k 1 ) t cos t (Ck 1 L C2kt k 1 ) t sin t

Matlab求解
濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好

自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中 等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只 鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。