小学奥数专题-位值原理.教师版

5-7-1.位值原理
教学目标
1.利用位值原理的定义进行拆分
2.巧用方程解位值原理的题
知识点拨
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中,会碰到的数越来越大,如果这种联系过程中,只用我们的手指头,那么到了“十”这个数,我们就无法数下去了,即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上,只不过能数二十。

我们显然知道,数是可以无穷无尽地写下去的,因此,我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来,抽象地研究如何表示它们,如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数,记数时,同一个数字由于所在位置的不同,表示的数值也不同。

既是说,一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。

例如,用符号555表示五百五十五时,这三个数字具有相同的数值五,但由于位置不同,因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一,最左边的五表示五个百,中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了,现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。

也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式:以六位数为例:abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝:（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式,列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答
例题精讲
模块一、简单的位值原理拆分
【例 1】一个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,7题,六年级,初赛,第8题,5分
【解析】这个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100,也就是说,十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100,所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

【答案】10
【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁,有意思的是,如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄,求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注:老师年龄都在20岁以上）
【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级,第5题
【解析】 解设张老师年龄为ab ,则李老师的年龄为ba ,根据题意列式子为:18ba ab -=,整理这个式子得
到:()918b a -=,所以2b a -=,符合条件的最小的值是1,3a b ==,但是13和31不符合题意,所以,答案为2a =与4b =符合条件的为:244266+=6岁。

【答案】66岁
【例 3】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数,比如89的逆序数为98．如果一个两
位数等于其逆序数与1的平均数,这个两位数是________．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,5年级,第3题
【解析】 设为ab ,即101102
b a a b +++=,整理得1981a b =+,3,7a b ==,两位数为37 【答案】37
【例 4】 几百年前,哥伦布发现美洲新大陆,那年的年份的四个数字各不相同,它们的和等于16,如果十位数字
加1,则十位数字恰等于个位数字的5倍,那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,10题
【解析】 肯定是1×××年,16－1＝15,百位,十位与个位和是15,十位加1后,数字和是15＋1＝16,此时十位和个位
和是6的倍数,个位不是1,只能是2,十位原来是9,百位是4,所以是在1492年。

【答案】1492
【例 5】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问:他今年多少岁?
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第11题
【解析】 设小明出生那年是
,则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b 从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时,11＋2b ＞85；在a ≤6时,11a ＋2b ≤66＋2×
9＝84,所以必有a ＝7,b ＝4。

小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).
【答案】21岁
【例 6】 将一个数A 的小数点向右移动两位,得到数B 。

那么B ＋A 是B －A 的________倍。

(结果写成分数
形式)
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第9题,5分
【解析】 将A 的小数点向右移动两位则A 变成100倍,即B=100A,那么B+A=101A,B-A=99A,B ＋A 是B －A 的
10199
倍。

【答案】10199
【例 7】 一个十位数字是0的三位数,等于它的各位数字之和的67倍,交换这个三位数的个位数字和百位数
字,得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍。

【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,5分
【解析】 令这个三位数为0a b ,则由题意可知,10067()a b a b +=+,可得2a b =,而调换个位和百位之后变
为:0100102b a b a b =+=,而3a b b +=,则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍。

【答案】34
【例 8】 一个三位数,个位和百位数字交换后还是一个三位数,它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的
差。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第18题,10分
【解析】
abc cba -个位是7,明显a 大于c ,所以10+c -a =7,a -c =3,所以他们的差为297
【答案】297
【例 9】 三位数abc 比三位数cba 小99,若,,a b c 彼此不同,则abc 最大是________
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,初赛,第7题,6分
【解析】 由题意,99abc cba +=,有9a c =+,要abc 最大,如果9a =,那么0c =,与cba 为三位数矛盾；如果8a =,
那么9c =,剩下b 最大取7,所以abc 最大是879。

【答案】879
【例 10】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888,这样的三位数有_________个。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,二试,第4题,5分
【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位,所以8a c +=、8b b +=,则4b =,a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、
4+4、5+3、6+2、7+1这7种。

所以这样的三位数有7种。

【答案】7个
【例 11】 将2,3,4,5,6,7,8,9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复）,可以组成许多不同的减法算式,
要使计算结果最小,并且是自然数,则这个计算结果是__________。

-□□□□□□□□
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第5题,6分
【解析】 设原式1000()100()10()()abcd efgh a e b f c g d h =-=-+-+-+-,其中a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 从2~9
中选择。

显然, 7a e -≤-,b f -,c g -,7d h -≤,要让这个差最小,则应使1a e -=,7b f -=-,5c g -=-,3d h -=-,即6a =,5e =,2b =,9f =,3c =,8g =,4d =,7h =,∴这个计算结果是1000700503247---=
【答案】247
【巩固】 用1,2,3,4,5,7,8,9组成两个四位数,这两个四位数的差最小是___________。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第5题,5分
【解析】 千位数差1,后三位,大数的尽量取小,小者尽量取大,最大的可以取987,小的可以取123,所以这两个四
位数应该是4987和5123,差为136. 【答案】136
【例 12】 在下面的等式中,相同的字母表示同一数字, 若abcd dcba -=□997,那么□中应填 。

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,五年级,决赛,第3题,10分
【解析】 由题意知,a ≥d ,由差的个位为7可知,被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位,则10+d －a =7,即a －d =3.
又因为差的十位及百位均为9,由分析可知b =c ,故被减数的十位要向百位借一位,百位要向千位借一位,即()12a d --=,因此□内应填入2。

【答案】2
【例 13】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除,商等于______与______的差；
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,初赛,第6题,4分
【解析】 本题属于基础型题型。

我们不妨设a ＞b ＞c 。

(abc -cba ）÷99＝[(100a +10b +c )-(100c +10b +a )]÷99＝(99a -99c )÷99＝a -c ；
【答案】a 与c 的差
【巩固】
ab 与ba 的差被9除,商等于______与______的差； 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 (ab -ba ）÷9＝[(10a +b )-(10b +a )]÷9＝(9a -9b )÷9＝a -b ；
【答案】a 与b 的差
【巩固】
ab 与ba 的和被11除,商等于______与______的和。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 (ab +ba ）÷11＝[(10a +b )+(10b +a )]÷11＝(11a +11b )÷11＝a +b 。

【答案】a 与b 的和
【例 14】
xy ,zw 各表示一个两位数,若xy +zw =139,则x+y+z+w= 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,初赛,第5题,4分
【解析】 和的个位为9,不会发生进位,y+w=9,十位明显进位x+z=13,所以x+y+z+w=22
【答案】22
【例 15】 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换,得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后
的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】美国,小学数学奥林匹克
【解析】 设原来的两位数为ab ,交换后的新的两位数为ba ,根据题意,
(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=,5a b -=,原两位数最大时,十位数字至多为9,即9a =,4b =,原来的两位数中最大的是94．
【答案】94
【例 16】 一个两位数的中间加上一个0,得到的三位数比原来两位数的8倍小1,原来的两位数是______。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第13题,6分
【解析】 设这个两位数是ab ,则100a+b=8(10a+b)-1,化为20a+1=7b,方程的数字解只有a=1,b=3,原来的两位数是
13。

【答案】13
【例 17】 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】清华附中
【解析】 设这样的四位数为abcd ,则2008abcd a b c d ++++=,即10011011122008a b c d +++=,
则1a =或2．
⑴若2a =,则1011126b c d ++=,得0b c ==,3d =,2003abcd =；
⑵若1a =,则1011121007b c d ++=,由于11211929117c d +≤⨯+⨯=,所以1011007117890b ≥-=,所以8b >,故b 为9,112100790998c d +=-=,则c 为偶数,且11982980c ≥-⨯=,故7c >,由c 为偶数知8c =,5d =,1985abcd =；
所以,这样的四位数有2003和1985两个,其和为:200319853988+=．
【答案】3988 【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 原式:1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370,
所以a ＝1, 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259,111b ＋11c ＋d ＝259
推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259,11c ＋d ＝37
进而推知c ＝3,d ＝4所以abcd ＝1234。

【答案】1234
a a
则这四位数abcd = 或 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,16题
【解析】 原式可表示成:8898991787a b c d +++=,则知a 只能取:1或2,当1a =时,b 无法取,故此值舍去。

当
2a =时,0b =,0c =或1,d 相应的取9或0.所以这个四位数是:2009或2010。

【答案】2009或2010
【例 19】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大
8802．求原来的四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设原数为abcd ,则新数为dcba ,
(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．
根据题意,有999()90()8802d a c b -+-=,111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+．
推知8d a -=,9c b -=,得到9d =,1a =,9c =,0b =,原数为1099．
【答案】1099
【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同,且没有0
的四位数M ,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338．求这个四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a ,b ,c ,d (91a b c d ≥>>>≥),
则有383443388172abcd dcba -=+=,
可得999()90()81727992180a d b c -+⨯-==+,
则8a d -=,2b c -=,9a =,1d =,194338M cb =+,且M 的四位数字分别为1、c 、b 、9,由于8917+=的个位数字为7,所以b ,c 中有一个为7,但2b c -=,所以c 不能为7,故7b =,5c =,157943385917M =+=．
【答案】5917
【例 20】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和,正好等于这个自然数,我们就称这个自然数为
“巧数”。

例如,99就是一个巧数,因为9×9＋(9＋9)＝99。

可以证明,所有的巧数都是两位数。

请你写
出所有的巧数。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设这个巧数为ab ,则有ab +a +b ＝10a +b ,a (b +1)＝10a ,所以b +1＝10,b ＝9。

满足条件的巧数有:19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【答案】巧数有:19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【例 21】 聪聪和明明做猜数游戏,聪聪让明明任意写出一个四位数,明明就写了明年的年号2008,聪聪让明明
用这个四位数减去它各个数位上的数的和,明明得到2008(2008)1998-+++=,聪聪又让明明将所
得的数随便圈掉一个数,将剩下的数说出来,明明圈掉了8,告诉聪聪剩下的三个数是1,9,9。

聪聪一下
就猜出圈掉的是8,明明感到莫名其妙,于是又做了一遍这个游戏,最后剩下的三个数是6,3,7,这次明
明圈掉的数是多少,聪明你猜出来了么？
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设任意一个四位数为abcd 依题意中的计算方法可得
()9999999(11111)abcd a b c d a b c a b c -+++=++=++即任意一个四位数减去其各个数位数字之和后的结果是9的倍数,根据被9整除的数字特点:各位数字之和应是9的倍数,而6＋3＋7＝16,16不是9的倍数,所以圈掉的数字是2。

【答案】2
【例 22】 设八位数017A a a a =具有如下性质:0a 是A 中数码0的个数,1a 是A 中数码1的个数,……,7a 是A
中数码7的个数,则0127a a a a +++= 。

567a a a ++= ,该八位数A = 。

【关键词】学而思杯,6年级
【解析】 (1)由于0a 是A 中数码0的个数,1a 是A 中数码1的个数,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,7a 是A 中数码7的个数,那么
0127a a a a +++⋅⋅⋅+表示A 中所有数码的个数；而实际上A 中共有8个数码,所以01278a a a a +++⋅⋅⋅+=。

(2)略
(3) 5670a a a ++=,说明5a 、6a 、7a 都是0,这就表明A 的末三位都是0,另外还表明A 的各位数码中都没有出现5、6、7,所以A 的数码中最大的最多为4,所以034a ≤≤。

如果03a =,也就是A 的首位为3,末位都为0,中间的四位中还有一位为0,另外的三个数之和为4,只能是2个1和1个2。

由于1出现了两次,所以11a =,由于2和4各出现了1次,所以2a 和4a 都是1,这样可得A 为42101000。

【答案】01278a a a a +++⋅⋅⋅+=,5670a a a ++=,42101000
模块二、复杂的位值原理拆分
【例 23】 有3个不同的数字,用它们组成6个不同的三位数,如果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字
分别是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯,培训试题 【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba , 因为10010abc a b c =++,10010acb a c b =++,……,它们的和是:222()1554a b c ⨯++=,所以15542227a b c ++=÷=,由于这三个数字互不相同且均不为0,所以这三个数中较小的两个数至少为1,2,而7(12)4-+=,所以最大的数最大为4；又12367++=<,所以最大的数大于3,所以最大的数为4,其他两数分别是1,2．
【答案】1,2,4
【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数,这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三位数中最小的
三位数的最小值．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】迎春杯,决赛
【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ,那么6个不同的三位数的和为:
2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=,最小的三位数的百位数应为1,十位数应尽可能地小,由于十位
数与个位数之和一定,故个位数应尽可能地大,最大为9,此时十位数为13193--=,所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为139．
【答案】139
【例 24】 从1～9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。

若这六个三位数之和是3330,
则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c 。

由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位,所以六个不同的三
位数之和为222×（a ＋b ＋c ）＝3330,推知a ＋b ＋c ＝15。

所以,当a 、b 、c 取1、5、9时,它们组成的三位数最小为159,最大为951。

【答案】最小为159,最大为951
【例 25】 用1,9,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。

作为卡片“9”,由第3题的结果可知,1,9,7可组成的六个不同的三位数之和是
（1＋9＋7）×222；同理,作为卡片“6”,1,6,7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。

这12个数的平均值是:［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。

【答案】573.5
【例 26】 a ,b ,c 分别是09中不同的数码,用a ,b ,c 共可组成六个三位数,如果其中五个三位数之和是2234,那么
另一个三位数是几？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由a ,b ,c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯,所以10a b c ++>．
若11a b c ++=,则所求数为222112234208⨯-=,但2081011++=≠,不合题意．
若12a b c ++=,则所求数为222122234430⨯-=,但430712++=≠,不合题意．
若13a b c ++=,则所求数为222132234652⨯-=,65213++=,符合题意．
若14a b c ++=,则所求数为222142234874⨯-=,但8741914++=≠,不合题意．
若15a b c ++≥,则所求数2221522341096≥⨯-=,但所求数为三位数,不合题意．
所以,只有13a b c ++=时符合题意,所求的三位数为652．
【答案】652
【例 27】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码,这个两位数就变成了三位数,有些两位数
中间插入某个数码后变成的三位数,恰好是原来两位数的9倍。

求出所有这样的三位数。

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍,所以原两位数的个位数只能是0或5。

如果个
位数是0,那么无论插入什么数,得到的三位数至少是原两位数的10倍,所以个位数是5。

设原两位数是ab ,则b =5,变成的三位数为5ab ,由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9,化简得a ＋b ＝4。

变成的三位数只能是405,315,225,135。

【答案】三位数只能是405,315,225,135
【例 28】 一辆汽车进入高速公路时,入口处里程碑上是一个两位数,汽车匀速行使,一小时后看到里程碑上的
数是原来两位数字交换后的数。

又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0
的三位数,请问:再行多少小时,可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三
位数。

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设第一个2位数为10a +b ；第二个为10b +a ；第三个为100a +b ；由题意:(100a +b )-（10b +a ）=( 10b +a )-
（10a +b ) ；化简可以推得b =6a ,0≤a ,b ≤9,得a =1,b =6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时,可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【答案】11小时
【例 29】 有一个两位数,如果把数码3加写在它的前面,则可得到一个三位数,如果把数码3加写在它的后面,
则可得到一个三位数,如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数．将这两个三位数和一
个四位数相加等于3600．求原来的两位数．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设原来的两位数是ab ,则得到的两个三位数分别为3ab 和3ab ,四位数为33ab ,由题知33333600ab ab ab ++=,即1033003003103600ab ab ab ⨯+++++⨯=,21294ab ⨯=,故14ab =．
【答案】14
【例 30】 将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(432124⨯⨯⨯=)．将这24个四位数按从
小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数；按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数；
按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从题中可以看出,这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a ,b ,c ,d ,它们组成的24个四位
数中,第二小的是abdc ,是5的倍数,又c 不为0,所以5c =．
它们组成的24个四位数中,第二大的是dcab ,是2的倍数但不是4的倍数,所以b 是偶数,而ab 不是4的倍数．由b 是偶数且5b c <=知b 为4或2．若为2,那么1a =,但此时12ab =是4的倍数,矛盾,所以,又ab 不是4的倍数,所以a 为1或3．
它们组成的24个四位数中,第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd ,abdc ,acbd ,acdb ,adbc ),第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba ,dcab ,dbca ,dbac ,dacb ),所以dacb adbc -得到的四
位数的千位为3．由于a d <,所以acb dbc <,那么减法算式中百位要向千位借位,所以13d a --=,故4d a =+．又5d c >=,所以1a >,那么3a =,7d =,
它们组成的24个四位数中最大的为dcba ,即7543．
【答案】7543
【例 31】 记四位数abcd 为X ,由它的四个数字a ,b ,c ,d 组成的最小的四位数记为X *,如果*999X X -=,那么
这样的四位数X 共有_______个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,高年级,复赛,8题
【解析】 *999X X -=得到99910001X X X **=+=+-,所以如果a 、b 、c 、d 组成的四位数X *末位数字不
是0,那么X 等于将X *的千位数字加1,个位数字减1,反过来X *等于X 的千位数字减1,个位数字加1,所以X *为()()11a bc d -+,与X 比较,b 和c 位置没有换,交换的是a 和d ,X *表示为dbca ,可以得到等式1a d -=,即1a d =+．所以a 和d 的取值组合,只有2和1,3和2,……,9和8,共8种情况．
对于其中任意一种组合,由于dbca 是由四个数字a b c d 、、、组成的最小的四位数,分别考虑b 、
c 中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0,则0b =,
d c a ≤≤)；以及b 、c 都不为0的情况(此时d b c a ≤≤≤),可知两种情况下各有3种可能,共6种可能:00d a ,0d da ,0d aa ,ddda ,ddaa ,daaa ．比如以4a =,3d =为例,dbca 可能的取值有3004,3034,3044,3334,3344,34444这6个数．根据乘法原理,满足条件的四位数一共有8648⨯=种． 如果a 、b 、c 、d 组成的最小的四位数X *末位数字是0,显然X *的百位、十位都是0,此时a 、b 、c 、d 无法组成其它的四位数,不合题意．
由于每一个X *对应一个X ,所以满足条件的四位数X 共有48个．
【答案】48
【例 32】 9000名同学参加一次数学竞赛,他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是
8210,而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样）,差为2010
的倍数．那么,这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有 对．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,高年级,复试,14题 【解析】 设abcd 与efgh 由相同的数字组成（顺序不一样）,并且2010abcd efgh -．由于abcd 与efgh 的数字和
相同,它们除以9的余数相同,即9abcd efgh -,从而6030abcd efgh -．考虑到09000abcd efgh <-<,于是6030abcd efgh -=,6030abcd efgh -=．从末位数字可知d h =,603abc efg -=．若3c ≥,603(6)(3)abc a b c -=--,但(6)(3)9a b c a b c a b c -++-=++-≠++,(6)(3)a b c efg --≠,603(6)(3)abc a b c -=--不成立．若2c ≤,0b =,6030603(7)9(7)abc a c a c -=-=-+,同上知这种情况也不成立．因此,2c ≤,1b ≥．
603(6)(1)(7)abc a b c -=--+．7c +在这里可能等于a 或者b ．
如果7a c =+,则1b c =+,此时(,,)a b c 可以等于(7,1,0)、(8,2,1)以及(9,3,2)；如果7b c =+,则6a c =+,此时(,,)a b c 可以等于(7,8,1)和(8,9,2)．(,,)a b c 确定之后,再考虑d ,d 可以等于0,1,2,…9中的任何一个数字．这样,可以得到50个不同的abcd ,继而可得到相应的efgh ．于是,一共有50对这样的考号,由相同的数字组成,并且差为2010的倍数．
【答案】50
【例 33】 有一类三位数,它的各个数位上的数字之和是12,各个数位上的数字之积是30,所有这样的三位数的
和是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设这个三位数是abc ,则根据题意可得:1230a b c a b c ++=⎧⎨⨯⨯=⎩
,由30a b c ⨯⨯=找突破口,将30分解成3个因数相乘,符合12a b c ++=的即为所求,组成三位数的三个数码只有1,5,6符合要求,即三位数
有:156,165,516,561,615,651。

其和为:156165516561615651222(156)2664+++++=⨯++=
【答案】2664
【例 34】 一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和,求这个三位数是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这个三位数是abc ,则根据题意有:10010()11a b c a b c ++=++⨯,化简得1089
b c a +=因为a ,b ,c 都是位值,即为一位数,所以1,9,8a b c ===。

【答案】198
模块三、巧用方程解位值原理
【例 35】 有一个两位数,如果把数码1加写在它的前面,那么可以得到一个三位数,如果把1写在它的后面,那
么也可以得到一个三位数,而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题可以有三种分析方法:
方法一:可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。

列竖式如下:
分析竖式知1减b 不够减,肯定要向前借1位,即:1014b +-=,整理得:b ＝7,b 借1给个位十位,此时6
－a ＝1,整理得:a ＝5,经百位计算验证,结果正确。

方法二:设原两位数为ab ,则数码1加写在它的前面为1ab ,数码1
写在它的后面为1ab ,分析比较知道1ab ＞1ab ,
所以可以得到:11414ab ab -=,(100101)(10010)414a b a b ++-++=,90999414a b +-=,909513a b +=,1057a b +=,即:57ab =
方法三:设两位数为x ,则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414,解得:x ＝57。

【答案】57
【巩固】 有一个三位数,如果把数码6加写在它的前面,则可得到一个四位数,如果把6加写在它的后面,则也可
以得到一个四位数,且这两个四位数之和是9999,求原来的三位数。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题可以有两种分析方法:
方法一:可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。

列竖式如下:
分析可得c ＝3,b ＝6 ,a ＝3 。

方法二:设三位数为x ,则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999,解得:x ＝363.
【答案】363
【例 36】 如果70ab a b ⨯=,那么ab 等于几？
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题可以有两种分析方法:
方法一:可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。

列竖式如下:
通过分析7
a=,所以ab＝15.
⨯+=,知道1
a a
⨯=知道5
b b
b=,同时向前进3,同时730
方法二:将70
⨯=,展开整理得:(10)71000
ab a b
⨯+⨯=⨯++
a b a b
+=+
a b a b
707100
=
306
a b
=
5a b
由于位值的性质,每个数位上的数值在0 ～9之间,得出1
a=,5
b=。

【答案】15
【例 37】已知123n
++++（n>2）的和的个位数为3,十位数为0,则n的最小值是
【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】填空
【关键词】华杯赛,决赛,第8题,10分
【解析】根据题意,前n项和等于（1+n）×n÷2,而现在的个位为3,十位上是0,则（n+1）×n的末两位是06,易知末位是6的连续的两个自然数的成积的末位只能为2×3或者7⨯8,经试验,最小的n取37时,37×38=1406符合条件,所以n的最小值为37。

【答案】37
【例 38】把7位数2ABCDEF变成7位数2
ABCDEF,已知新7位数比原7位数大3591333,聪明的宝贝来求求:（1）原7位数是几,（2）如果把汉语拼音字母顺序编为1～26号,且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数2A和BC所对应的拼音字母拼成一个汉字,再以后三个数字D,E,F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字,请写出由这两个汉字组成的词。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】解答
【关键词】2005年,祖冲之杯
【解析】（1）设ABCDEF x
=,根据题意得,(102)(2000000)3591333
x x
+-+=,解得,x＝621259, 原7位数是2621259。

（2）按顺序写出26个字母,从左到右给每个字母从1～26编号,结合2A＝26,BC＝21,D＝2,E＝5,F＝9,按对应关系有:26对应Z,21对应U,2对应B,5对应E,9对应I,ZU拼成“祖”,BEI拼成“杯”
【答案】（1）2621259,（2）祖杯
【巩固】把5写在某个四位数的左端得到一个五位数,把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数,已知这两个五位数的差是22122,求这个四位数。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答
【解析】设这个四位数为x,则有:（50000＋x）－（10x＋5）＝22122或（10x＋5）－（50000＋x）＝22122,得,x＝3097或x＝8013.
【答案】x＝3097或x＝8013
【例 39】如果把数码5加写在某自然数的右端,则该数增加1111
A,这里A表示一个看不清的数码,求这个数和A。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答
【解析】设这个数为x,则10x+5-x＝1111
A,等号右边是9的倍数,试验可得A＝1,x＝1234。

A,化简得9x＝1106
【答案】A＝1,x＝1234
【巩固】如果把数码3加写在某自然数的右端,则该数增加了12345A,这里A表示一个看不清的数码,求这个数和A。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答
【解析】设这个数码为x,则有:（10x＋3）－x＝123450＋A,解得,9x＝123447＋A,右边是9的倍数,根据被9整除的数字的特点知道,A＝6,故:x＝13717。

【答案】6。