各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法.

一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法
整理稿
方程含有未知数的等式叫方程。

等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。

则：
(1)a+c＝b+c
(2)a-c＝b-c
等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。

(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。

【方程的一些概念】
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系。

解方程的步骤：1.能计算的先计算；2.转化——计算——结果
例如：3x=5*6
3x=30
x=30/3
x=10
移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。

方程有整式方程和分式方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

一元一次方程
人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章
定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。

通常形式是kx+b=0(k，b 为常数，且k≠0）。

一般解法：
⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

但顺序有时可依据情况而定使计算简便。

可根据乘法分配律。

⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。

⒍得出方程的解。

同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

做一元一次方程应用题的重要方法：
⒈认真审题
⒉分析已知和未知的量
⒊找一个等量关系
⒋设未知数
⒌列方程
⒍解方程
⒎检验
⒏写出答
二元一次方程（组）
人教版7年级数学下册会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：
代入消元法
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。

加减消元法
例：解方程组x+y=9①x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=9，解得y=-2
∴x=7，y=-2
这种解法就是加减消元法。

二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5①6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。

2.有无数组解
如方程组x+y=6①2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解
如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

二元一次方程组的解法
一．基本概念
1．二元一次方程
含有两个未知数（x和y），并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
一般形式：，其中a≠0，且b≠0.
1. 在下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？
①，②，③，
④，⑤，⑥
分析：②③应在化简之后再进行判断；④中尽管每个未知数的次数都是1，但是含未知数的项是
4pq，它的次数是2；⑤中未知数x在分母上，不是整式方程.
解析：①，⑥是二元一次方程.
2．二元一次方程组
我们把两个方程合在一起，写成，像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
二元一次方程组的一般形式：（其中a1、a2，b1、b2不同时为零）.
2．
（1）方程（a＋2）x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
（2）若方程x2 m –1 + 5y3n – 2 = 7是二元一次方程，求m、n的值
解析：
（1）据题意，列，解得
（2）据题意，列，解得
3．二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特点：
(1)二元一次方程的解是一对数值，即；
(2)一个二元一次方程有无数多解，但非任意一对数值都适合.
3．已知下列三对值：，，
（1）哪几对数值使方程x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）哪几对数值是方程组的解？
解析：
（1）将代入方程x－y＝6，左式＝＝右式
即使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
同理可得：
不能使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
所以和使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
（2）将及分别代入中可知，
不能使方程的左、右两边的值相等
使方程的左、右两边的值相等
所以是方程组的解
4.求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
提示：采用“穷举法”，按照一定大小顺序，找到所有整数解。

解析：
当x＝1时，y＝8；
当x＝3时，y＝5；
当x＝5时，y＝2；
所以二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解为或或
5. 某球迷协会组织72名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威. 可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.
①请你给出不同的租车方案（至少三种）；
②若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车
方案，并说明理由.
解析：
①设租用乘8人的车为x辆，租用乘4人的车为y辆.
则8x+4y=72，∴ y=18-2x
方案一：乘8人的车1辆，乘4人的车16辆；
方案二：乘8人的车2辆，乘4人的车14辆；
方案三：乘8人的车3辆，乘4人的车12辆. ……
②租车费用为：300x+200y=300x+200(18-2x)=300x+3600-400x=3600-100x
当x=9时，租车费用最少=3600-900=2700（元）
二．二元一次方程组的解法
怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝20说明y＝20－x，将第2个方程2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程.
二元一次方程组中有两个未知数，若消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
1．代入消元法
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
6．把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3（2）3x＋y－1＝0
解析：
（1）
（2）
7．用代入法解方程组
解析：将②代入①，得
y=1
将y=1代入②，得
方程组的解是
注意：选择相对较简易的式子代入计算，如计算y的值时代入②比代入①好
小结：
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示
出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
2．加减消元法
对于方程组，可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
8．用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
(1) ,消元方法________.(2) ,消元方法________.
解析：
（1）将①×2－②，消去y；
（2）将①×2＋②×3，消去n.
9．用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同呢？
解析：①×3，得③
②×2，得④
③＋④，得
将代入①，得
方程组的解是
3．思维拓展与综合运用
10．已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值.
解析：由题意得三元一次方程组
化简得
①＋②－③得：
④
②×2－①×3得：
⑤
由④⑤得：
∴ 练习.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k 的取值为（ ）
A. 3
B. －3
C. －4
D. 4
答案：D.
11．解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是，那么、b 、c 的值各是多少？
分析：将正确的解代入方程组
解得c 的值，并得到一个关于、b 的方程，
再将代入方程组中的第一个方程（把看错但是没有看错、b ）， 又得到一个关于、b 的方程，进而解出、b 、的值.
答案：＝4，＝5，＝－2。

二元一次方程组的解法 习题精选（一）
一、填空
1．一般地，解二元一次方程的方法有_______，根据方程组的系数特征，宜消去
________。

2．已知两个数的和是15，两个数的差是1，则这两个数分别是________。

4x y 73x 2y 10+=⎧⎨-=⎩
3．方程组的解是________。

4．方程组的解是_________。

5．用代入法解方程组有以下步骤。

（1）由方程_______得______③；(2)将③代入
方程_____，得_____；（3）解这个方程，得y=_____；（4）将y=______代入______得x=________；（5）所以原方程组得解为_______。

二、选择题
1．下列说法正确的个数是（ ）
①方程组的解是方程3x+4y=23的解，反之方程3x+4y=23的解也是方程组得
解。

②任何以俄各二元一次方程组都可以用代入消元法解。

③是方程2x+y=3的解，也使方程3x-y=7的解（A ）1（B ）2（C ）3（D ）0
2．如果x ，y 满足，那么xy 的值（ ）（A ）-1（B ）±1（C ）1（D ）2
3．若方程组得解也是方程2x-my=5的解，则m 为（ ）（A ）5（B ）-5（C ）3（D ）
-3
三、解下列方程组。

1．2．3．4．5．
6．7．8．
6．当x=1，
是方程组的解时，则m=______________，n=______________。

x y 13x+y=3-=⎧⎨⎩3x 5y 22x 5y 1+=⎧⎨+=⎩5x 8y=19 (1)x-y=5 (2)-⎧⎨⎩x y 7x y 3+=⎧⎨==⎩x y 7x y 3+=⎧⎨==⎩x 2y 1=⎧⎨=-⎩2x 1(x y)0-++=y 1x 3x 5y 5=-⎧⎨+=⎩3x-y=5 2x 3y 7⎧⎨+=⎩x y 233%x 6%y 2%⎧=⎪⎨⎪+=⎩m n 2325m 2n 4⎧-=⎪⎨⎪-=⎩3x 4y 143x 5y 41-=⎧⎨+=⎩2x y 13x-y=4+=⎧⎨⎩3x 4y 143x+5y=41-=⎧⎨⎩2x 5y 168x-7y=10-=⎧⎨⎩y 5x 24x+3y=65-⎧=⎪⎨⎪⎩21=y ⎩⎨⎧-=-=+23my nx ny mx
7．已知方程组的解是则______________。

8．若
，则10x+4y=______________。

一、选择题
1．四名学生解二元一次方程组提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( )
A ．由①得x =，代入②
B ．由①得y =，代入②
C ．由②得y =-，代入①
D ．由②得x =3+2y ，代入①
2．用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )
A ．由①得x =
B ．由①得y =
C ．由②得x =
D ．由②得y =2x -5
3．用加减法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四
种变形的结果：
①②③④
其中变形正确的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④
4．如果5x 3m -2n -2y n -m +11=0是二元一次方程，则( )A ．m =1，n =2 B ．m =2，n =1
C ．m =-1，n =2
D ．m =3，n =4
5．已知x b +5y 3a 和-3x 2a y 2-4b 是同类项，那么a ，b 的值是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
⎩⎨⎧=+-=432nx y x m y ⎩⎨⎧=-=,64y x =-22n m 0)y 41(|x 512|2=++-⎩⎨⎧=-=-32543y x y x 345y +45
3-x 23
-x ⎩⎨⎧=-=+52243y x y x 342y -432x -25
+x ⎩⎨⎧=-=+823132y x y x ⎩⎨⎧=-=+846196y x y x ⎩⎨⎧=-=+869164y x y x ⎩⎨⎧-=+-=+1646396y x y x ⎩⎨⎧=-=+2469264y x y x 21
⎩⎨⎧=-=21b a ⎩⎨⎧==07b a ⎪⎩⎪⎨⎧-==530b a ⎩⎨⎧-==12b a
6．将x =-y -1代入4x -9y =8，可得到一元一次方程_______．
7．用代入法解方程组由②得y =______③，把③代入①，得________，解得
x =________，再把求得的x 值代入②得，y =________．原方程组的解为_______．
8．关于x ，y 的方程组中，若x 的值为，则m =________，y =________．
9．若2a 7x -y b 17与-a 2b 2x +3y 是同类项，则x =________，y =________．
（一）选择题
（1）方程组的解是（ ）
（A ） （B ）（C ） （D ） （2）方程组的解是（ ）
（A ） （B ）（C ） （D ）
（3）方程组的解是（ ）
（A ） （B ）（C ） （D ） （4）方程组的解是（ ）
（A ） （B ）（C ） （D ）
23
⎩⎨⎧=-=+1472y x y x ⎩⎨⎧=-=+524y mx y mx 2331
⎩⎨⎧-=-=+22223y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=175y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=7874y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=7973y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=71072y x ⎩⎨⎧=-=+2463247n m n m ⎩⎨⎧-==54n m ⎩⎨⎧-==43n m ⎩⎨⎧-==32n m ⎩⎨⎧-==21n m ⎩⎨⎧=--=-+0336501643n m n m ⎩⎨⎧-==17n m ⎪⎩⎪⎨⎧-==216n m ⎪⎩⎪⎨⎧-==315n m ⎪⎩
⎪⎨⎧-==414n m ⎩⎨⎧=+=+52.014846.076n m n m ⎩⎨⎧-==02.01.0n m ⎩⎨⎧-==03.02.0n m ⎩⎨⎧-==04.03.0n m ⎩⎨⎧-==05.04.0n m
（5）方程组的解是（ ）
（A ） （B ）（C ） （D ）
（二）填空题
（1）方程组的解是_______________。

（2）方程组的解是__________________。

（3）已知方程组的解的和是12，则。

三元一次方程
定义：与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。

三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。

典型题析：
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x 吨,乙用水y 吨，丙用水z 吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40－－－－(1)
16y-9z=145-------(2)
⎩⎨⎧-=--=-5714693763818790y x y x ⎩⎨⎧==9319y x ⎩⎨⎧==9418y x ⎩⎨⎧==9517y x ⎩⎨⎧==9616y x ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++254722y x y x y x y x ()()()()⎩⎨⎧-=-+=-64135335n m m n ⎩⎨⎧+=+=+25332m y x m y x _________=m
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3<k<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨,乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>
一元二次方程
人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。

定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。

一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0)
一般解法有四种：
⒈直接开平方法
⒉公式法
⒊配方法
⒋式分解法(十字相乘法)
对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m±.
例．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解：9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
例1：解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b2-4ac≥0时，x+=±
∴x=(这就是求根公式)
注：是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，
也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用
例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=.
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

公式法是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求
根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx ＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x===
∴原方程的解为x1=,x2=
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

注：是一种常用方法，一般是首先考虑的方法
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

例5：(x+3)(x-6)=-8
解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

例6：6x2+5x-50=0
)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,x2=-是原方程的解。

x2-2(+)x+4=0
(4)解：x2-2(+)x+4=0 （∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。

典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。

⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就
一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。

如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。

⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。

若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。

如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。

可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。

⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。

⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。

解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24 所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。

例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x
1=1，x
2
=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。

解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。

∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。

当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。

一元二次方程的解法例析
安徽省亳州市利辛县教育局夏飞选自人教网
【要点综述】：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。

根据定义可知，只含有一个未知数，
且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，
如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

≥0时有解，＜0时无解。

≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。

先化为一般形式再用公式。

【举例解析】
例1：已知，解关于的方程。

分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。

解：由得：或，
当时，原方程为，即，解得.
当时，原方程为，即，
解得，.
说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于
的一元二次方程。

若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。

例2：用开平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）
（3）；（4）
分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如的方程，
其解为。

通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；
第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；
第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。

解：（1）
∴（注意不要丢解）
由得，
由得，
∴原方程的解为：，
（2）
由得，
由得
∴原方程的解为：，
（3）
∴，
∴
∴，
∴原方程的解为：，
（4）
∴，即
∴，
∴，
∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。

用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。

例3：用配方法解下列一元二次方程。

（1）；（2）
分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，
变为的形式。

第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，
即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，
接下去即可利用直接开平方法解答了。

第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解：（1）
二次项系数化为1，移常数项得：，
配方得：，即
直接开平方得：
∴，
∴原方程的解为：，
（2）
二次项系数化为1，移常数项得：
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
即
直接开平方得：
∴，
∴原方程的解为：，
说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。

配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；
再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）
分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，
然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。

但要注意当＜0时，方程无解。

第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，。