层次分析法

一、层次分析法内涵
层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是20世纪70年代初美国运筹学家萨蒂教授提出的一种层次权重决策分析方法，在分析问题的过
程中将定性分析与定量分析相结合，找出影响决策的关键性因素，并将因素尽
可能的量化形成指标，以达到复杂问题简单化的目的，最终根据数据配合指标
做出选择。

层次分析法基本思想是将复杂的决策系统分为N层及M个指标，对
每一层及其指标分析判断，这些指标之间存在着相互制约、相互影响的关系，
而这每一个指标并不是处于同等重要的地位，则要对其进行重要性排位，列出
权重，通过逐层计算比较各种关联指标的权重为决策提供定量的依据。

层次分析法是一种将定性分析与定量分析相结合的方法，先进行定性描述，相关专家凭借其经验及专业知识对其打分得到定量化得指标权重，结合案例可
以得出有价值的定性结论。

其局限性在于权重是凭借专家人为的进行设置，未
必完全的符合最优化的要求。

由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。

它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和
分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体
上是一样的。

不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，
你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3
个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经
济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会
优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。

其次，
你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。

最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。

二、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。

在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因
素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。

最
上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有
一个或几个层次，通常为准则层或指标层。

当准则过多时(譬如多于9个)应进
一步分解出子准则层。

2、构造成对比较阵。

从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。

3、计算权向量并做一致性检验。

对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。

若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比
较阵。

4、计算组合权向量并做组合一致性检验。

计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果
进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。

三、建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。

也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。

把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。

用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。

〔例1〕购物模型
某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则
作为评估依据，建立层次分析模型如下：
〔例2〕选拔干部模型
对三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型
四、构造成对比较矩阵
比较第i 个元素与第j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij 来描述。

设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。

成对比较矩阵中aij 的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。

ai j 在 1-9 及其倒数中间取值。

比例标度表
因素比因素l x j
x 量化值同等重要
1稍微重要
3明显重要
5强烈重要
7极端重要
9两相邻判断的中间值2，4，6，8
，n=1,2,...,9， 当且仅当aji=n 。

成对比较矩阵的特点：ij a >0，ii a =1，ji a =ij a 1。

（备注：当i=j 时候，aij=1）
对例2，选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5。

某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄重要。

14a 五、作一致性检验
从理论上分析得到：如果A 是完全一致的成对比较矩阵，应该有 =ij a jk a ik
a 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。

因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。

由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。

对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。

检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：计算衡量一个成对比矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI ：
其中λmax 是矩阵 A 的最大特征值。

从有关资料查出检验成对比较矩阵A 一致性的标准RI ：RI 称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数有关。

按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率CR ：。

平均随机一致性指标RI 标准值 矩阵阶数3456789
RI 0.580.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
可见，AHP 方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法，特别是定性因素起主导作用的决策问题。

判断方法如下：当CR<0.1时，判定成对比较阵A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A ，直到达到满意的一致性为止。

例如对例2的矩阵
计算得到,查得RI=1.12，。

这说明A 不是一致阵，但A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此时A 的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。

这个向量也是问题所需要的。

通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。

该特征向量标准化后变成U=。

经过标准化后这个向量称为权向量。

这z .1087)8,0.0981,02636,0.053(0.4759,0.里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。

各因素的相对重要性由权向量U 的各分量所确定。

求A 的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A 的特征值:〔Y,D〕=eig （A ），Y 为成对比较阵A 的特征值，D 的列为相应特征向量。

在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。

定义
，
可以近似地看作A 的对应于最大特征值的特征向量。

计算
可以近似看作A 的最大特征值。

实践中可以由λ来判断矩阵A 的一致性。

六、层次总排序及决策
现在来完整地解决例2的问题，要从三个候选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。

对此，对三个候选人y = y1,y2,y3分别比较他们的品德(x1)，才能(x2)，资历(x3)，年龄(x4)，群众关系(x5)。

先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，B1的权向量(Y)= 1x w z
44,0.674)(0.082,0.2
故的不一致程度可接受。

(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的1B 1x w 得分。

类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
通过计算知，相应的权向量为
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。

经检验知,,,的不一致程度均可接受。

2B 3B 4B 5B 最后计算各候选人的总得分。

的总得分
1y （1y ）
z w =0.4759*0.082+0.2636*0.606+0.0538*0.429+0.0981*0.636+0.1087*0.167=0.302
从计算公式可知，的总得分（1y ）实际上是各条件得分(),1y z w 1y 1x w 1y （）,...,（）,的加权平均,权就是各条件的重要性。

同理可得,2x w 2y 5x w 5y 2y 的得分为()=0.243,()= 0.452
3y z w 2y z w 3y 比较后可得：候选人y3是第一干部人选。

七、应用层次分析法的注意事项
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP 法的结果质量，甚至导致AHP 法决策失败。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。

八、层次分析法应用实例
例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接拿电冰箱整体进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。

例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型号、耗电量、外界信誉、售后服务等。

然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。

借助这种排序，最终作出选购决策。

在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。

有了这个权重向量，决策就很容易
了。

1、建立递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。

3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。

（1）几何平均法（根法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；
计算mi的n次方根；
对向量进行归一化处理；
该向量即为所求权重向量。

（2）规范列平均法（和法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；
将A的各行元素的和进行归一化；
该向量即为所求权重向量。

计算矩阵A的最大特征值?max
对于任意的i=1,2,…,n, 式中为向量AW的第i个元素
（3）一致性检验
构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。

虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。

因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。