第13章 电力系统的次同步振荡及轴系扭振

M
1
2，定义P
=AKA，则对实际系数P非负定，可设
其特征根对角阵
A ωn2
diag
(
2 n1
,
2 n2
,,
n2N，) 并设P
的特征向量阵为U，从而PU=UA，又由于 PT P对称，
故U可取为正交阵，即 U 1 。U T
若定义线性变换阵Q=AUS，及线性变换
δ Qδ(m)
（9）
右上角标“m”表示解耦模式，S为对角阵，其对角元 的取值使发电机质块 (设为第k质块) 对应的Q阵行元素 (即第k行元素)均等于1。
为 n 的扭转振荡。
若将式 (1)改写为
(用12 作变量)
1 2
K12 M1
12
K12 M2
12
（4）
式中， 12 1 2 为转子两
质块间相对运动角位移增量。则 由式(4)可得
12
K12
1 M1
1 M2
12
def
K M
12
（5）
用12 作变量，系统降为二阶，
则式(5)的特征根为
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2
1 引言
1930s，发现电容会引起发电机自激。当时认为是纯电 气谐振问题，称之为“异步发电机效应”。
1970s，美国Mohave电站发电机大轴2次被扭振破坏。 揭示“机电扭振互作用”现象。
后来发现故障发生时，会出现“暂态力矩放大”现象。
1977年以前，统称为：次同步谐振（SSR）。共同点
N
1, N
K N 1,N N
（8a）
(Mp 2 Dp K )δ Tm Te T
M，D为对角阵，K为三对角阵，K T K 。
（8b）
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12
2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦
对于式(8)，设D=0，即无机械阻尼，可将轴系解耦如下：
令A=
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15
2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
③ 设发电机转子为第k 个质块，由Q阵特 点及式(9)可知：
δk
( i
m)
i
（12）
即发电机质块的转 子角增量为各解耦 的等值转子角增量 的代数和，这是Q 阵选择的又一优点。
图13.2 轴系模式解耦后的传递函数框图
根。
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10
2 多质块弹性轴系
2.2 多质块弹性轴系模型
设如图13.1(b)表示汽轮发电机多质块轴系，含高压、中 压和低压缸 (A和B) 以及发电机、励磁机等6个质块，则
第i个质块(i=1~6)的线性化运动方程为
M i
di
dt
Tmi Tei Dii i
Di,i1 (i
6
2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系(续)
微分方程组(2)的特征方程为
M1 p 2 K12
K12
0
K12
M 2 p 2 K12
设 p 2 ，则上式为
(M1 K12 )(M 2 K12 ) K122 0
可解出
1 2
0
K12
(M1 M M1M 2
2
)
p1,2
0
p3,4
由式(5)可知，12 只含有角频率为 n 的自由扭转成分， 而式(3)中的 p1,2 零重根，反映了轴系在无阻尼时，可作 匀速旋转运动，而含有 i c1 c2t 的成分，这时整个轴 系作为一个刚体作旋转运动。
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9
2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系(续)
物理上常把 p3,4 j n 称为轴系的“扭振模
为 K12 ，则在无外力作用时，两个质块各自自由运动标
幺值方程为
MM2112
K12 (1 K12 ( 2
2) 1)
0 0
（1）
将式(1)线性化，并化为矩阵形式的增量方程，则：
M
1p 0
2
M
0 2p
2
1 2
K12 K12
K12 K12
1
2
0
（2）
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图13.1 弹性轴系示意图 (a) 双质块轴系； (b) 六质块轴系
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5
2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系(续)
设双质块轴系如图13.1(a)所示，质块轴动惯性时间
常数、转速、转子角分别为 M1, M 2 ,1,2 及 1, 2，并
设质块运动中无机械阻尼，质块连接处的弹性系数
第13章 电力系统的次同步 振荡及轴系扭振
刘皓明
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内容
1. 引言 2. 多质块弹性轴系 3. 感应发电机效应 4. 机电扭振互作用 5. 暂态力矩放大作用 6. 装置引起的次同步振荡 7. 简单系统中串补电容引起的SSO 8. 多机系统SSO的线性化数学模型 9. SSO分析方法简介 10. 抑制SSO的对策与SSO监护
14
2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
对式(11)作一简单讨论
① 通过上述巧妙选择的线性变换阵Q，使原轴系转化为 模式解耦的等值转子，每个等值转子只含一个独立的
模式。且外力 Te均匀地加在每一个等值转子上，分
析方便。
② 进一步可证明 Q 1M 1KQ Α ，从而Q的形成可直接对 [ M 1K ]求特征根及右特征向量，并将之规格化，使发 电机质块(设为第k个质块)对应的特征向量元素(第k个 元素)均等于1，则各右特征向量构成的矩阵即为Q，这 样形成的Q是惟一的。
为其非对角元很小，即各模式间几乎无耦合及影响，即
QT DQ D(m) diag. ，则
M (m)δ D(m)δ K (m)δ(m) Te(m)
（13）
有机械阻尼时，若无外力( Te(m) =0)，则式(13)的各扭振模式均
为负实部根，从而轴系稳定，为衰减性扭振。
无外力而有机械阻尼时，零重根一般转化为一个零根、一个负实 根。
（15）
Re{[Ke ( j)De ](ke( j)t ]}
式中；Ke , De 为与 j 有关的实数，分别称之为
电气同步力矩系数和电气阻尼力矩系数，并称
Ke ( j)De 为复数力矩系数。
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2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
定义
D
( j
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2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
④ 上述系统无外力 ( Te(m) =0) 时，自然扭振频率即为 n2中的非零对
角元的平方根， N个质块的转子有N—1个自然扭振频率，从而有
N一1对共轭虚根，另外有一对零重根 (无阻尼时)。
⑤ 在有机械阻尼时，QT DQ 并不一定能成为对角阵 ，但一般可以认
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2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
⑥
在有外力作用( Te(
有一个以复频
m) ≠0)时，若设发电机转子角
j 振荡的激励(扰动)，记之为
k
k Re[ k e( j)t ]
（14）
设 k 引起的 Te 为
Te Re[Tee( j)t ]
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2 多质块弹性轴系
2.2 多质块弹性轴系模型(续)
设有N质块，Dij D ji 0(i j) ，写成矩阵形式为
K12
M 1
D11
p2
M N
DNN
p
K12
记作
Tm1
Te1
TmN
TeN
K12 K12 K 23
K N 1,N
SSO分析方法特点：
不能采用工频准稳态电路 轴系模型复杂 发电机计及定子暂态（派克方程） 网络用电磁暂态模型
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4
2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系
在低频振荡研究中，发电机大轴看作一个刚体。 在SSO中，发电机大轴看作若干弹性连接的集中质
量块，他们之间在同步旋转的同时还存在相对扭转 振荡。
KQ
SU T
AKAUS
S2A
M
ω (m) 2 n
K (m)
为对角阵。
则式(10)可化为解耦模式形式
M (m)δ(m) K (m)δ(m) Te(m)
（11a）
或
δ(m) n2δ(m) [M (m) ]1 Te(m)
（11b）
显然
2 n
之不为零的对角元的平方根即为轴系的自然扭振频率。
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2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
对式(8)二边左乘以 QT ，并将式(9)代入，有(设D=0)
QT MQδ(m) QT KQδ(m) QT T
（10）
def
式中， QT MQ SUT AMAUS S 2 M (m) 为对角阵；
def
QT
地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室36简单系统中串补电容引起的sso续图中系统有集中参数rlc元件无穷大母线电压在同步坐标下为u0uconst机械功dqfdqdqfdqadadaqadadadad2223地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室37发电机轴系模型发电机轴系设为6质块分别为高压缸hp中压缸mp低压缸lpa及lpb发电机gen和励磁机exc编号依次为16即发电机质块为第k5块则相应线性化轴系方程为1212121223565656式中质块惯性时间常数质块自阻尼系数质块间扭转弹性系数简单系统中串补电容引起的sso续地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室38励磁系统模型设励磁系统模型为一阶即简单系统中串补电容引起的sso续地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室39网络方程若网络参数对称则abc坐标下方程为下标abc从略liri简单系统中串补电容引起的sso续地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室40简单系统中串补电容引起的sso续27地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室41555135312521151125211511简单系统中串补电容引起的sso续地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室42分别建立各模型并整理得sso分析的状态空间线性化模型地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室43多机系统sso的线性化数学模型续axllluuluuubuauguruscccbbubcbbauaaeueegugegggrgsrgrrsgss28地区电网经济运行与自动化研究室地区电网经济运行与自动化研究室44多机系统sso的线性化数学模型续对式28简要讨论考虑全网所有元件的状态方程后式中的各子矩阵一般为原来相应方程中矩阵的扩充应作合理排列
定性的方法称为复数力矩系数法。
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2 多质块弹性轴系
2.3 多质块轴系模式解耦(续)
⑦ 从上面分析还可看到：为了抑制扭振，其方法与低频
振荡相似，在 Te 中附加一个与 成正比的阻尼力矩，
从而提供充分的扭振阻尼。这也可通过类似PSS的装 置来实现。
但困难在于，对于扭振，一个多质块轴系有多个扭振 模式，在发电机上通过PSS装置来改善扭振的特性时， 对某个模式提供正阻尼，而对另一个模式可能提供负 阻尼，因此设计相对困难。
式”，而把p1,2 称为共模(common mode)，即 轴系作为刚体相对系统的低频振荡模式。一个n 个质块的轴系有(n－1)个扭振模式及一个共模。
一个n个质块的轴系当不接入系统，轴系自由 运动时，由于有机械阻尼，这(n—1) 个扭振模 式的实部均为负，从而轴系是稳定的，且有机
械阻尼时，p1,2 =0转化为一个零根，一个负实
（6）
pj
K M
j n
亦即两个质块间相对作 n角频之 扭振， n 称为自然扭振频率。
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8
2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系(续)
式(5)和式(6)反映了 n K ，即与轴系刚度的平方根成 正比；同时，n ( M )1 ，即与等值质块的惯性时间常 数M的平方根成反比。
式(6)跟单机无穷大系统的低频振荡频率计算式形式完全相同， 只是低频振荡中K是单机和无穷大系统之间的同步力矩系数，反 映了电气联接的紧密程度(“刚度”)。
应当注意：低频振荡反映的是发电机的机轴作为一个刚体相对其 他发电机刚体轴的摇摆，由于机械上不耦合，不存在扭振问题， 只存在电气耦合而引起转子间的摇摆问题。
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3 感应发电机效应
同步电机经串补电容的线路接到无穷大系统(见 图13.3)中，在一定条件下，会发生次同步谐振 (SSR)，谐振频率即系统LC谐振频率，在发电 机相电流、相电压中均有此成分。
对于此谐振频率而言 发电机相当于一台异 步电机，且处于发电 状态，从而使谐振得 以持续。这一效应通 常称为“感应发电机 效应”。
i1 ) Di,i1 (i
i1 )
Ki,i1 ( i i1 ) Ki,i1 ( i i1 )
d
i
dt
i
（7）
式中，Di,i1 是i和i+l质块间的互阻尼系数；Di,i1类同；Dii为自阻尼 系 弹数性，常分数析，中K i常j 设K互ji阻，尼显系然数K为67零；0K；i,i1T及mi 为Kii,质i1是块相上邻机质械块力间矩的增 量；Tei为i质块上电气力矩增量。对汽轮机各质块 Te 0 ，对发 电机及励磁机质块 Tm 0，通常忽略励磁机质块的电磁力矩。
1977年，无电容时依然出现扭振现象，其由HVDC及其 控制系统引起，称之为“装置引起的次同步振荡”。
统称次同步扭振SSO（subsynchronous oscillation）。
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3
1 引言(续)
SSO研究频率范围
次同步：10－50Hz 超同步：80－100Hz
m)
为相应扭振频率下系统的机械阻尼系数。则系
统扭振不稳定的条件是
De
D(m) j
0
由于D(jm) >0，故发电机轴系扭振时，必然相应模式下的 电气阻尼系数 De <0，这是扭振的必要条件。
定义不同 值时的复数力矩系数
Te
k
[Ke ()
jDe ()]
（16）
计算不同 值时的复数力矩系数值，由此判断扭振稳
图13.3 SSR分析用系统
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3 感应发电机效应(续)
设串补电容补偿度为k，即
j
K M
def
j n
（3）
式中，
K K12 M M1M 2
M1 M2 或
1 1 1 M M1 M2
式(3)表明两个质块在扰动
下，会作角频率为 n 的
相对扭振，在有阻尼时， 将为衰减扭振。
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2 多质块弹性轴系
2.1 双质块弹性轴系(续)
对式(3)作一简要讨论
式(3)中的根 p3,4 是一对共 轭复根，反映了轴系一 旦受扰，扰动消失后两 个质块可能相对作频率