第6章 平行四边形- 北师大版数学八年级下册教材习题课件

边数
3
4
5
6…
多边形的内角和 180° 360° 540° 720°
正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120°
知识技能
13. 过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分 成7个三角形，这个多边形是几边形？ 解：过n边形某个顶点的对角线，将这个多边形分 成(n－2)个三角形，根据题意，得n－2=7，解得n=9. 所以这个多边形是九边形.
位线定理可知连接各边的中点得到的三角形的三边长
分别是 1 a， 1 b， 1 c，所以此三角形的周长为 1(a+b+c)，
222
同理，再次得到的三角形的周长为
2A
1 (a+b+c).
4
B
C
知识技能
12. 分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边 形……的内角和，以及正三角形、正四边形、正五 边形、正六边形……内角的度数，并填入下表：
于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G.
求证：AF=DE.
AF
ED
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， G
∴AB=DC，AD∥BC.
B
C
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB.
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
知识技能
∴∠ABE=∠EBC，∠DCF=∠FCB.
∴∠AEB=∠ABE，∠DFC=∠DCF.
A
F
∴AB=AE，DF=DC.
ED
∵AB=DC，
G
∴AE=DF.
B
C
∴AE－EF=DF－EF，即AF=DE.
知识技能
11. 如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边 中点为顶点组成一个新三角形，再以这个新三角形
三边中点为顶点又组成一个小三角形. 求这个小三角
形的周长.
A
B
C
知识技能
解：因为△ABC的三边长分别为a，b，c，由三角形中
C，D处均有一颗大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，
想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边
不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，
请问能否实现这一设想？若能，请
D
你设计出所要求的平行四边形；若
不能，请说明理由.
A
C
B
问题解决
解：能实现这一设想，有多种设计方法.
如：如图，连接AC，分别过点B，D作EF∥AC，
问题解决
21. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3 cm，将
纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此
时△CDE恰为等边三角形. 求：
B′
(1)AD的长度；
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， A
E D
∴∠B=∠D，AB=CD=3 cm.
B
由题意将纸片沿对角线AC对折可知，
C
∠B′=∠B，AB′=AB，
O
C
D
□BCDO，□CDEO，□DEFO，□EFAO，选择
□FABO加以证明.
数学理解
证明如下：
∵△AOF和△AOB都是等边三角形，
∴AF=OA，OA=OB，∠FAO=∠AOB=60°.
∴AF=OB，AF∥BO.
A
F
∴四边形FABO是平行四边形.
B
E
O
C
D
数学理解
19. 已知：如图，直线MN与□ABCD的对角线AC平行，
B
数学理解
17. 如图，DE是△ABC的中位线，过点E作AB的平行线
交BC于点F，过点A作BC的平行线交直线EF于点G.
线段DE，BF，FC之间有怎样的关系？请证明你的
结论.
解：DE=BF=FC. 证明如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= 1 BC.
2
A
G
D
E
B
F
C
数学理解
∵EF∥AB，
知识技能
5. 已知：如图，点E在□ABCD边BC的延长线上，且
CE=BC. 求证：四边形ACED是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC.
A
D
∵点E在BC的延长线上，且CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE. ∴四边形ACED是平行四边形.
B
C
E
知识技能
6. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， 转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形. 线段 AB和CD的长度有什么关系？ 解：线段AB和CD的长度相等.
GH∥AC，过点C任作一条直线 H (只要保证四边形ABCD在所求
D
G
作的平行四边形内部即可)交GH A
C
于点G，交EF于点F，过点A作
EH∥GF，分别交EF，GH于点
EB
F
E，H，则□EFGH为扩建后的平行四边形.
知识技能
7. 如图，在□ABCD中，已知AB=4 cm，BC= 9 cm， ∠B=30°，求□ABCD的面积.
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
则在Rt△ABE中，∵∠B=30°， A
∴AE= 1 AB= 1×4=2 (cm).
22
B
E
∴S□ABCD=BC•AE=9×2=18 (cm²).
D C
∴AB=CD，AB∥CD.
Q
∴∠ABP=∠CDQ.
D
又∵BP=DQ，
B P C
∴△APB≌△CQD.
知识技能
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD.
∴∠APQ=∠CQP(等角的补角相等). A
∴AP∥QC. ∴AP ∥ QC.
Q D
B P C
知识技能
10. 已知：如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD
知识技能
8. 画一个□ABCD，使∠B=45°，AB=2 cm，BC=3 cm.
已知：如图，∠H=45°，a=2 cm，b=3 cm.
求作：□ABCD，使∠B=45°，AB=2 cm，BC=3 cm.
45° H
2 cm a 3 cm b
知识技能
作法：(1)如图，作∠MBN=45°.
(2)分别在BM，BN上截取BA=2cm，BC=3cm.
问题解决
∴∠B′=∠D，AB′=CD.
又∵ ∠B′EA=∠DEC，
∴△AB′E≌△CDE.
B′
∴AE=CE.
A
∵△CDE为等边三角形， ∴CE=CD=ED=3 cm，AE=CE=3 cm. B
∴AD=AE+ED=3+3=6 (cm).
E D
C
问题解决
(2)重叠部分的面积.
(2)如图，过点C作CF⊥AD，交AD于点F，
求证：四边形ABCD是平行四边形. D
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
E
∴∠AED=∠CFB=90°.
A
C F
B
∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC.
知识技能
∴∠DAE=∠BCF. 又∵DE=BF， ∴△ADE≌△CBF. ∴AD=CB. ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形.
D
E A
C F
A
D
7
∴BC=AD=8.
B
C
知识技能
2. 在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=150°，∠C=30°， AB=2，求DC的长度.
解：如图，在四边形ABCD中，
D
C
∵∠A+∠B=30°+150°=180°，
பைடு நூலகம்
∴AD∥BC.
A
B
∵∠B+∠C=150°+30°=180°，∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.∴DC=AB=2.
∴四边形DBFE是平行四边形. ∴DE=BF.
∴BF= 1 BC.
2
A
∵BC=BF+FC，
D
∴DE=BF=FC.
B
F
G E
C
数学理解
18. 用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找
出其中所有的平行四边形，并选择其中之一加以证
明.
A
F
解：有6个平行四边形，这6个平行 B
E
四边形分别是□FABO，□ABCO，
知识技能
3. 如图，在□ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，
BC，CD，AD上，EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交
于点O，图中共有多少个平行四边形？
A
解：图中共有9个平行四边形，
E
有□AEOG，□GOFD， □AEFD， B
G D
O
F
HC
□EBHO，□OHCF，□EBCF，□ABHG，□GHCD，
知识技能
14. 以正八边形为“基本图形”构成的一种图案如图所示. 图中的白色缝隙所形成的的图形的轮廓是怎样的四 边形？ 解：是正四边形.
知识技能
15. 已知：如图，点O是□ABCD的对角线BD的中点，E，
F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC. 求证：EF经
过点O. 证明：如图，连接BF，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC.
□ABCD.
知识技能
4. 已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂
足分别为E，F. 求证：∠BAE=∠DCF.
证明：在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF.
A
F
D
∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°.
E
B
C
∴△ABE≌△CDF(AAS). ∴∠BAE=∠DCF.
北师版
八（下）数学教材习题
第六章复习题
知识技能
1.
在□ABCD中，已知AB=6，AD为□ABCD周长的
2 7
，
求BC的长度.
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，BC=AD.
根据题意，得AD= 2 (AB+BC+CD+AD)， ∴AD= 2 (2×6+2AD7)，解得AD=8.
延长DA，CB，AB，DC，分别交MN于点E，F，G，
H. 求证：EF=GH.
M
A
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
B F
D C
∴AD∥BC，即EA∥FC.
G
HN
又∵MN∥AC，即EF∥AC，
∴四边形AEFC是平行四边形.
数学理解
∴EF=AC.
同理可证四边形ACHG是平行四边形，
∴GH=AC， ∴EF=GH.
∵△CDE是等边三角形， ∴EF= 1 ED= 3 (cm). 在Rt△C2 EF中2，由勾股定理，得
B′
A
EF D
CF CE 2 EF 2 3 3cm. 2
B
C
∴S△AEC
1 2
AE
CF
1 3 2
3 2
39 4
3(cm2 ).
问题解决
22. 如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，
(3)在∠MBN的内部，过点A作射线AE∥BN，过点C作
射线CF∥BM，AE与CF相交于点D，
则四边形ABCD是所求作的平行四边形. M
F
A
DE
B
C
N
知识技能
9. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对 角线BD上的两个点，且BP=DQ. 求证：AP ∥ QC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， A
A
FD
O
BE
C
∴AF∥EC.
知识技能
又∵AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AF=EC.
A
FD
∴AD－AF=BC－EC，即FD=BE. ∵FD∥BE，
O
BE
C
∴四边形FDEB为平行四边形.
∴EF与BD互相平分，即EF过BD的中点O.
知识技能
16. 已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC， 垂足分别为E，F，DE=BF，∠ADB=∠CBD.
M
A
EB
D
F
C
G
HN
问题解决
20. 小华要做一个平行四边形木框，他手头有七根木条， 长度分别为：①3 cm，② 5 cm，③3 cm，④6 cm， ⑤5 cm，⑥ 8 cm，⑦9 cm. 请你帮他选一选，用哪 四根木条可以组成一个平行四边形木框？请说明理 由. 解：选择①3 cm，②5 cm，③3 cm，⑤5 cm这 四根木条可以组成一个四边形木框. 理由：两组对 边分别相等的四边形是平行四边形.