2-1衍射和傅里叶光学基础详解

2.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1） 矩形函数
又称为门函数，表示为
rect(x)
rect x 或 x
1
1 rect(x) 1/ 2
0
x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2
x -1/2 O 1/2
rect( x)dx 1
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
（2）sinc 函数
与某函数相乘使其极性翻转
sgn(x)
1 x
0 -1
（5）阶跃函数
• 定义：
1 step(x) 1/ 2
0
x0 x0 x0
step(x )
1 x
0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r) 1/ 2
0
r 1 r 1 r 1
Circ (r)
1
y
x
O
1
circ(
x2 a
y2
22
1、直角坐标系中的二维非初等函数
(1)二维矩形函数，定义式为：
1
rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
————可分离变量函数
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2 | x || y | 1/ 2
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2
rect(x, y)
1
在光学问题中，常用来描述一个均匀 照明方形小孔的振幅透射系数。
二维矩形函数的一般表达式为：
1
1
2

rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
图11
ab
a
b
它表示中心位于(x0，y0)，边长为a×b的均匀照明矩形孔的振幅透射 系数。
y x
23
(2)二维三角形函数（ 2D trigonometric functions ） 标准形式的二维三角形函数的定义为：
The local maxima and minima (small white dots) of the unnormalized, red sinc function correspond to its intersections with the blue cosine function.
sinc2函数
f (x) rect( x nx0 ) sin c2 ( x )
n
l
L
f(x)
1
sin c2 ( x ) L
l
-L -x0
0 x0
L
x -2L0
图10 矩形调制波
21
2.1.3 常用二维非初等函数
如果二维函数f(x，y)可以表示为 f(x，y)=f1(x)•f2(y)的形
式，则称f(x，y)为可分离变量函数。将二维可分离变量作
(1 | x |)(1 | y |)
tri(x, y)
0
| x | 1and | y | 1 | x | 1and | y | 1
tri(x, y)
1
y
图形:
在x=0或y=0的截面是一 维的三角形函数；
1x
0
1
1
图12
在x=y的截面则是一对抛 物线，构成一个曲线四 棱锥图形
24
Z
(3)二维阶跃函数 二维阶跃函数又称为直边函数，它的定义式为：
1
2
2
2step( x 3) 1
1
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
1
2
2
2step( x 3) 1 1
1
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
1
2
图9 具体阶跃函数的作图
20
2．非初等函数的四则运算和复合
某些复杂的物理过程可以通过非初等函数之间的四则 运算和复合来描述。
例如矩形调制波可表示为：
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傅里叶光学与光学理论
一门新的理论总是要完成下列几项任务： 逻辑上自洽，也就是讲，自身要完整 能够解释原有理论的可以解释的那些内 容，并且得出相同的结论 能够解释原有理论难以解释甚至无法解 释的内容 能够增添新的内容，得到新的结论，开 拓新的领域，提出新的观点
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傅里叶光学与光学理论
傅里叶光学自身理论是完整的 它可以解释几何光学的成像原理 它可以合理完整的解释光的波动学说： 干涉和衍射现象 它可以得到传递函数、相衬理论、全息 光学等新的现象和新的领域
• 定义：
tri( x)
1
x
x 1
0
x 1
• 或者
1 x tri(x) 1 x
1 x 0 0 x1
0
其他
tri(x) 1
x
-1
0
1
tri(x)dx 1
曲线下面积为1，表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
（4）符号函数
• 记为： sgn x
• 定义：
1 sgn(x) 0
1
x0 x0 x0
)
1,
x2
0, 其它
y2
a
描述均匀照明圆形孔径的透射系数
（7）高斯函数 Gaus x
• 定义：
Gaus(x) exp( x2 )
-2
-1
1.0
Gaus (x)
0.8
0.6 0.50
0.4
0.2
0.043
0.47 1.48 2
各阶导数连续，是平滑化函数，其傅里叶变换仍然是高斯 函数(自傅里叶函数)。描述激光器发出的高斯光束
x0, y0 ,z0表示x，y,z 方向上的平移量
自变量线性变换：坐标变换，x’y’z’ to x，y，z
x' a1x b1y c1 y' a2x b2 y c2
(1)二维狭缝函数的坐标变换
g(x'，y')=rect(x')
令x'=ax+by+c
g(x，y)=rect(ax+by+c)
y
x
a>0，b<0，c<0
1 g(x, y) rect(ax by c) 1/ 2
0
| ax by c | 1/ 2 图15 | ax by c | 1/ 2 | ax by c | 1/ 2
所以方程：
ax by c 1/ 2
确定了(x，y)坐标系中该二维狭缝函数取值为1的区域。
为一维函数来处理，可以使运算过程简化。 二维物理量可以在不同的坐标系中来描述，而选择坐 标系的原则是有利于简化运算，即：描写二维某物理 量的二维函数→可分离变量函数: 非对称性的物理量通常在直角坐标系中描述； 而具有圆对称分布的物理量则最好在极坐标系中描述。
例如，rect(x，y) →rect (r，θ)
x0表示横向 平移因子；
f new ( x)
afold
(
x
x0 L
)
b
fnew(x)一般形式的非 初等函数
fold(x)表示标准形式 的非初等函数
b为纵向平移因子；
17
f new ( x)
afold
(
x
x0 L
)
b
L为横向缩放因子，确定函数fold(x)的横 向缩放比例及反射(对于对称函数而言，
• 定义：
sinc x sin x
x
sin c(x)dx 1
-2
sinc( x) 1.0
0.8
0.6 0.4 0.2
-1
0
-0.2
0.50
1.43 1
-0.217
0.128
3.47 x
2 2.46 3
4
-0.091
曲线下面积为1，中央主瓣宽度为2，旁瓣宽度为1 表示单缝夫琅和费衍射的复振幅
The normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale.
如对rect(x)进行积分，其积分域可取为：
1 2
,
1 2
16
§1.2.2 一维非初等函数的一般形式
在描述复杂的物理过程时，常常需要将标准形式的非初等函数 进行比例缩放、平移、反射或四则运算，构成复杂的函数形式。
• 1．比例缩放、平移和反射
a为纵向缩放因子，确定函数fold(x) 的纵向缩放比例和反射(对于对称 函数而言，其反射轴为fnew(x)=b)；
f(x，y)=step(x)
step(x, y)
1 y
0
x
图13
在光学问题中，常用二维阶跃函数表示无穷大半平面的振 幅透射系数或刀口滤波器函数。
26
Z
2、极坐标系中的二维非初等函数
(1)二维高斯函数： 由于是圆对称函数，因此可以用极坐标表示：
Gaus(r, ) exp( r 2 )
r x2 y2
| a1x b1 y c1 | 1/ 2and | a2x b2 y c2 | 1/ 2
存在方程： | a1x b1 y c1 | 1/ 2 | a2x b2 y c2 | 1/ 2
这是两组相交的平行线，显然，只要a1b2-a2b1≠0，两组平行线将部分重 叠。
33
sinθ2/a2 θ2=arctan(-a2/b2)
所以二维高斯函数分布与θ无关。
Guas
28
(2)圆域函数
圆域函数又称为圆柱函数，记为circ(r)或cycl(r)。 在极坐标系中，圆域函数的定义为：
1
r 1
circ(r) 1/ 2
r 1
0
r 1
圆域函数在直角坐标系中的定义为：
1 circ(x, y) 1/ 2
0
x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 1
第二章 衍射和傅里叶光学基础
傅里叶光学：
现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方 法移植到光学领域而形成的新学科。 在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号， 一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。 在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性 理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。 电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时 间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换； 在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不 同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数 的傅里叶变换。
小结：
七种非初等函数的定义：
严格来讲其中的sinc函数和高斯函数并不属于非初等函数， 但是它们在描述光场及其变换的作用与其它非初等函数类似；
在某些非初等函数的定义式中，给出了间断点处的函数值， 规定它等于该间断点处左、右极限的平均值，在实际运算中， 可以不考虑间断点处的函数值，即可以将这些点看作连续点。
31
Z Z
(2)二维矩形函数的坐标线性变换
g(x'，y ')=rect(x')rect(y')
x' y'
a1x a2 x
b1 b2
y y
c1 c2
g(x, y) rect(a1x b1y c1)rect(a2x b2 y c2 )
1 1/ 2
0
| a1x b1 y c1 | 1/ 2and | a2x b2 y c2 | 1/ 2 | a1x b1 y c1 || a2x b2 y c2 | 1/ 2
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• §2.1 常用非初等函数
• 在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数称为基本初等函数。而初 等函数则是指在自变量的定义域内，能用单一解 析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运 算和复合所构成的函数。
• 非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单 一解析式表示的函数
在光学中，圆域函数常常用来描述均匀照明圆形孔 径的透射系数。
step(x, y) 1
y
x
0
图14
29
3、两维非初等函数一般形式
函数的比例 a,b表示x，y方向上缩小的倍数
f (x, y) cf (ax,by)
c表示z方向上放大的倍数
平移
f (x, y)
f (x x0 , y y0 ) z0
y sinθ1/a1
θ1=arctan(-a1/b1) x
b
x
0
x0
图2-8 一般形式的矩形函数
19
例1、画出函数
x3 fnew(x) 2step( 1 ) 1
的图形。
解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成
2step(x 3) 2
1 x
4 3 2 1 0 1 2 3 4 1
2
2step( x 3)
2
1
1
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
18
例如，将标准形式的矩形函数进行比例缩放、平移和反射。 一般形式的矩形函数表示为：
a b
f
new
(
x)
arect
(
x
x0 L
)
b
a 2
b
b
f new ( x)
ab
L
| (x x0 ) / 2 | 1/ 2 | (x x0 ) / 2 | 1/ 2 | (x x0 ) / 2 | 1/ 2
• 定义：
sinc2 (x) sin2 ( x) ( x)2
-2
-1
sinc2 (x) 1.0
0.8
0.6
0.50 0.4
0.2
0.047
0.016 0.008 x
0 0.44 1 1.43 2 2.46 3 3.47 4
表示单缝夫琅和费衍射的强度分布
（3）三角函数
• 表示为 tri x或Λ(x)
其反射轴为x=x0)。
对于
rect( x x0 ) L
tri( x x0 ) L
sin c( x x0 ) Gaus( x x0 )
L
L
这一类以x=x0为轴对称的函数，参数L只表示横向缩放比例，因而可以取 绝对值；
对于阶跃函数： step( x ) 和符号函数： L
sgn( x ) L
因为其定义域无穷大，故参数L不表示横向放大，只表示函数图形以 x=x0为轴的反射。