绝对值不等式

绝对值不等式
知识总结：
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：
不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅
∅ |x |>a
(－∞，－a )∪(a ，＋
∞)
(－∞，0)∪(0，＋
∞)
R
(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .
题型一：绝对值不等式的解法
例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡
⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡
⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )
A ．1<a <2 B.
3－172<a <3＋17
2
C ．a <1或a >2
D ．a ≤1或a ≥2
举一反三：
变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且3
2∈A ，12
∉A ，则a ＝________.
变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．
题型二：利用绝对值不等式求最值
例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的
取值范围是________．
例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧
p ，p ≥q ，
q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，
则M (x ，y )的最小值是________．
举一反三：
变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]
D ．(－∞，5]
变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧
x ，x ≤y ，
y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，
若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．
题型三：绝对值不等式的综合应用
例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝
________.
例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.
①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；
②当x ∈(0,1]时，f (x )≤1
2x 2恒成立，求实数a 的取值范围．
举一反三：
变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .
(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；
(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．
课后练习：
1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)
C ．(－2，－1)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}
D ．{x |x <－1或x >1}
3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．7
4．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
5．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1|
|a |
对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范
围是( )
A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4
D ．－4或8
7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.
若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x
都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]
D ．[23，＋∞)
8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪
⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪
⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确
9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.
10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.
11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取
值范围是________．
12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝4
33xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．
13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋
1
|f (x －1)|
－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a
的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．
14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．
15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤1
2恒成立，则a ＋2b ＝________.。