苏教版数学高二- 选修2-2试题 .2类比推理

2.1.1.2 类比推理
一、填空题
1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．
【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．
【答案】 中心
2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．
【解析】 乘积类比和，幂类比积．
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.
【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．
【答案】 1∶8
4．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．
【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．
【答案】 在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
(1)“mn ＝nm”类比得“a·b ＝b·a”；
(2)“(m ＋n)t ＝mt ＋nt”，类比得“(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c”；
(3)“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”；
(4)“ac bc ＝a b ”类比得“a·c b·c ＝a b
”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．
【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确．
【答案】 (1)(2)
6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．
【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13
h. 类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r·S ⇒r ＝14
h. 【答案】 正四面体的内切球的半径是高的14
7．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．
图2－1－9
【解析】 ，，
∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30.
【答案】 30
图2－1－10
8．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线
段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线
段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ
)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．
【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ
，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C′＝(a ＋λb 1＋λ
)2.
y ＝ln x 的图象如图所示，图象上凸，
∴y C ＜y C′，类比可得ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ
(a ＞0，b ＞0)． 【答案】 ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ
(a ＞0，b ＞0) 二、解答题
9．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：
(1)通项a n ＝a m ＋(n －m)·d.
(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .
(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p .
(4)S n ，S 2n /S n ，S 3n /S 2n 构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．
【解】 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n .
(1)通项a n ＝a m ·q n －m .
(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，
则a m ·a n ＝a p ·a q .
(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·
a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．
10．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1.请在立体几何中给出四面体性质的猜想．
【解】 如图，在Rt △ABC 中，
cos 2A ＋cos 2B ＝(b c )2＋(a c )2＝a 2＋b 2
c
2＝1. 于是把结论类比到如图所示的四面体P －A′B′C′中，我们猜想：在三棱锥P －A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
11．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，设P 为底边上任意一点，P 到两腰的距离分别为h 1，h 2，B 到腰AC 的距离为h ，则h 1＋h 2＝h ，类比到空间：在等腰四面体ABCD(对棱分别相等)中，有什么类似的结论？并给出证明．
【解】 类比可得到如下结论：在等腰四面体ABCD 中，设P 为底面上任意一点，P 到三个侧面的距离分别为h 1，h 2，h 3，B 到侧面ACD 的距离为h ，则h 1＋h 2＋h 3＝h.
证明：连结PA，PB，PC，PD，易知△ABC≌△ACD≌△ABD，记它们的面积都是S，
则四面体ABCD的体积V A—BCD＝1
3Sh1＋
1
3Sh2＋
1
3Sh3＝
1
3Sh.
故h1＋h2＋h3＝h.。