二次函数知识点总结与典型例题

二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212
x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2
可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a
b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b
. 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
函数
二次函数
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
图像
a >0
a <0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=a b
2-
，顶点坐标是 （a
b
2-，a b ac 442-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a
b
2-时，y 随x
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>a
b
2-
时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=a b
2-
时， y 有最小值，
a
b a
c y 442-=最小值
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=a b
2-
，顶点坐标是 （a
b
2-，a b ac 442-）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<a
b
2-时，y
随x 的增大
而增大；在对称轴的右侧，即当x>a
b 2-时，y 随x
的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=a b
2-
时， y 有最大值，
a
b a
c y 442-=最大值
五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减 六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a
b
x 2-=时，a b ac y 442-=
最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值；
若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，
如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1
x x =时，c bx ax y ++=12
1最小；
如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=12
1最大，当2
x x =时，c bx ax y ++=22
2最小。

典型例题
1.已知函数
()()
()()
2
2
113
513
x x
y
x x
⎧--
⎪
=⎨
--
⎪⎩
≤
＞
，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图为抛物线2
y ax bx c
=++的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）
A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0
3.二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，则反比例函数
a
y
x
=与一次函数y bx c
=+
在同一坐标系中的大致图象是（）.
4. 如图，已知二次函数c
bx
x
y+
+
=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．
5.在平面直角坐标系中，将抛物线223
y x x
=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．
A．2
(1)2
y x
=-++B．2
(1)4
y x
=--+
C．2
(1)2
y x
=--+D．2
(1)4
y x
=-++
6.已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图像如图，其对称轴1
-
=
x，给出下列结果①ac
b4
2>②0
>
abc③0
2=
+b
a④0
>
+
+c
b
a⑤0
<
+
-c
b
a，则正确的结论是x
y
O
1
1
（1,-2）
c
bx
x
y+
+
=2
-1
（）
A ①②③④
B ②④⑤
C ②③④
D ①④⑤
7．抛物线2
y ax bx c
=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …－2 －1 0 1 2 …
y …0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；②函数2
y ax bx c
=++的最大值为6；
③抛物线的对称轴是
1
2
x=；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线22
y x x c
=--+经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包
括△OA B的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
9．已知二次函数y= 1
4x
2+
3
2x的图像如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，是⊙O′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝
2
1
，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C 三点.
（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P ．使得P A = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请
说明理由。

（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点
Q 在什么位置时有QE QC 最大？并求出最大值。

A B
C
D
O E N
M x
y
图
12．如图，抛物线y =
2
1x 2
+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
13.在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C . （1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；
（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ，
①试求出当n =3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.
N
M
F E y x
C
B
A
O
图1
图2 图3
y
x
C
B
A
O
…
CD = 1.1厘
y
x
C B
A
O
…。