高二物理竞赛课件：流体力学的运动分析(13张PPT)

x y z
t
dx,dy,dz,δ t 0，即在一点上仍成立。
ρ t
ρu
x
ρv
y
ρw
z
ρ t
(ρ
v
)
0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt
ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
（2） 设k =1,t =0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于图中
所示位置,求 t = t’ 时刻点a(1,3)到达点a’(3,3)时流体面a’b’c’d’的
位置和形状。
解：(1)按（B2.3.5a）式，因v =0, 流线微分 方程为dy = 0，积分可得流线方程为
y = c ( c为常数 ) 说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为
v y
(2)面积扩张率
流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率
(3)体积膨胀率
v u v x y
流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率
v u v w x y z
[例] 膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-1)
已知：设平面流场为
u kx
（k>v
0，为常数）
0
求： （1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；
f
(x)
cx x2 y2
f
(x)
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而 是受到（B3.1.11）式制约的。
1. 一点邻域内相对运动分析 1.1 亥姆霍兹速度分解定理
在 xy 平面流场中，M0 点邻近 M 点 的速度在 x 方向的分量可分解为
扩张了3倍. （此流场纯属假想，很难找到与之相符的实际例子）。
1.2 流体的变形(续）
2.角变形速率
两正交线元的夹角在 xy 平面内的局
部瞬时变化速率
xy
v x
u y
1.3 流体的旋转
• 旋转角速度 两正交线元在xy 面内绕一点的旋转角速度平均值
z
1 v
2
x
u
y
（规定逆时针方向为正） i jk
不可压缩流体连续性方程
v 0
[例] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u
x
2
cy
y
2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
（C为常数）
v u v 0 x y
（B3.1.11）
可得
v u 2cxy y x (x2 y2 )2
v
2cxy (x2 y2 )2 dy
M0 平移速度
M 相对M0的速度
u(M
)
u(M
0
)
1 2
(
u y
v x
)dy
u x
dx
1 2
(
u y
v x
)dy
旋转速率 线变形速率 角变形速率
1.2 流体的变形
1.线变形（以平面流动为例）
(1)线应变率
流体面元的线尺度在 x 方向的局部瞬时
相对伸长速率
εxx
=
(
u x
δx)δt
δxδt
=
u x
同理 yy
xx
Hale Waihona Puke u xkyy
v y
0
[例] 膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-2)
说明x方向的线元以恒速率k 伸长，y方向的线元长度保持不变。 面积扩张率为
v u v k x y
说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流 体面均以恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k < 0时为收 缩流）。
流场中的速度分布如图所示。由流线微分方程 k y dy = 0,积分得流线方 程为
y = C (C为常数)
说明流线是平行于x轴的直线族。x, y方向的线应变率和x y平面内的角变
形率分别为
xx
u x
0,
yy
v y
0,
v u k
x y
[例1] 线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-2)
说明x，y方向的线元既不伸长也不缩短，但xy平面内互相正交的线元 随时间增长夹角不断变化。图中的流场相应于k > 0 的情况，即 >0， 流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的旋转角速度为
边长为dx, ,dy dz 的长体控制体元，δt 内x方向净流出的质量
ρ
u
(ρxu)dx
dydzδt
ρ
udydzδ
t
(ρxu)dxdydzδt
单位时间单位体积内
x，y，z方向净流出质量为
ρu , ρv , ρ w
x
y
z
因密度变化引起的质量减少 ρ
t
由质量守恒定律 ρu ρv ρw ρ
流体力学的运动分析
本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数不仅 在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的 横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用 多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流 动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供 理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定
必要的基础。
1 2
v x
u y
k 2
说明一点邻域内的流体作顺时针旋转，实际上正是由于在每条流线上 的所有流体元都作顺时针旋转才形成速度沿y方向的线性增加。一点 邻域内的面积扩张率为
v u v 0 x y
说明该流场属不可压缩流动。图中四边形流体面在运动过程中面积保持 不变，对角线与x轴的夹角不断减小，流体面不断拉长和变窄。
对流体面abcd和a’b’c’d’内所有质点均满足(a)，(b)式。现 t’ 相同，x’/x也相同。设k =1，由点a和a’，x’/x = 3，即x’=3x， y’=y，因此M’(x’,y’) = M’(3x,y)。
abcd和a’b’c’d’四角点的坐标分别为a(1,3)，b(2,3)，c(2,4)， d(1,4)，a’(3,3)，b’(6,3)，c’(6,4) d’(3,4)，a’b’c’d’的位置 和形状如图B2.5.2中虚线所示，说明从 t=0到t=t’，流体面在x方向
• 涡量（三维流场）
2 v
x y z
u vw
[例1] 线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-1)
已知：设平面流场为
u k y
v
（k
0
>
0，为常数）
求：试分析该流场的运动学特征。
解：该流场代表平行板之间、同轴旋转圆筒之间的狭缝内的粘性流动， 称为库埃特流。利用该流动根据牛顿粘性定律可测量液体的粘度，又称 为测粘流。这里仅讨论它的运动学性质（动力学分析见C3.3节）。
（2）设 t = 0时，质点位于M（x, y），t = t’ 时位于M ’ (x’， y’ )。
按（B2.3.2a）式求质点轨迹方程
dx dt
kx
dy dt
0
x' dx
t'
kdt
x x 0
y c
ln x' kt' x
(a)
y y'
(b)
[例] 膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-3)