微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案
一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）
第一章
1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =
3
6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为*-Z=0
4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2
1
131--=
-=+z y x 5．计算2
3
2
lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．
6．设()(sin )t t t =+f i j ，2
()(1)t
t t e =++g i j ，求0
lim(()())t t t →⋅=f g 0．
7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2
t u =，t v sin =，则
d d t
=r
(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2
t =θ，则
d (,)
d t
ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知4
2
()d (1,2,3)t t =-⎰r ，6
4
()d (2,1,2)t t =-⎰
r ，求
4
6
2
2
()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b
10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =
r 2
12
t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4
d
()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章
13．曲线3
()(2,,)t
t t t e =r 在任意点的切向量为2
(2,3,)t
t e
14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b
16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为
2111
-=--
=-z e
e y e e x 17．设有曲线t
t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章
18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ⨯≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是 一一的，则称参数曲面是简单的．
19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v
21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 2cosh E u =,0F =,2cosh G u =
22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =2
23．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2
2
2
2
d ()d u u b v ++． 24
．
双
曲
抛
物
面
(,)((),(),2)
u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是
2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++
25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =
2227．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++= 28．函数λ是主曲率的充要条件是
0E L
F M
F M
G N
λλλλ--=--
29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是
d d d d 0d d d d E u F v
L u M v
F u
G v M u N v
++=++
30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面或悬链面 第四章
32．高斯方程是k ij ij k
ij k
L =
Γ+∑r r
n ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj i ik i j k
L g =-∑n r ，,1,2i j =
33．ij g 用ij g 表示为22
1212111()det()ij
ij g g g g g g -⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
． 34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *
的曲率
35．,,g n κκκ之间的关系是2
2
2
g n κκκ=+．
36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．
37．测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i j
k ij i j
u u u k s s s +Γ==∑ 38．高斯-波涅公式为
1
d d ()2k
g
i
i G
G
K s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰
39．如果G ∂是由测地线组成，则高斯-波涅公式为
1
d ()2k
i
i G
K σπαπ=+-=∑⎰⎰．
二、单选题
第一章
40．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B 1- C 0 D 1
41．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）
A ⎩
⎨⎧==1y z x B 1321+==-z y
x
C 11+==+z y x
D ⎩⎨
⎧==1
z y
x
42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B 1- C 1 D 2-
43.已知()(,,)t
t
t e t e -=r ，则(0)''r 为（ A ）．（导数；易；2分钟）
Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)
44．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ C ）．（导数；易；2分钟） Ａ
t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa
上述a 为常向量．
45.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ D ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章
46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角
4π Ｄ 有固定夹角3
π
47．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）． Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）
Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２
49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ
()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=，ϕ为()s α的旋转角
Ｃ ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r
50．对于平面曲线，"曲率恒等于０”是"曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ
52．对于空间曲线Ｃ，"曲率为零”是"曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 53．对于空间曲线C ，"挠率为零”是"曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 54．2sin
4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2
π
=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4
π
的角 第三章
55．椭球面222
2221x y z a b c
++=的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ=
B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ=
C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=
D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=
56．以下为单叶双曲面222
2221x y z a b c
+-=的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =
B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =
C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =
D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =
57．以下为双叶双曲面222
2221x y z a b c
+-=-的参数表示的是（A ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =
B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =
C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =
D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =
58．以下为椭圆抛物面22
222x y z a b
+=的参数表示的是（B ）．（参数表示；易；2分钟）
A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v =
B 2
(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =
C 2
(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =
59．以下为双曲抛物面22
222x y z a b
-=的参数表示的是（C ）．（参数表示；易；2分钟）
A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u =
B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =
C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-
D (,,)(,,)x y z au bv u v =-
60．曲面2
2
3
3
(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）
A 2135200x y z +-+=
B 1834410x y z +--=
C 756180x y z +--=
D 1853160x y z +-+=
61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）
A 2
2
2
2
(d sin d )R u u v + B 2
2
2
2
(d cosh d )R u u v + C 2
2
2
2
(d sinh d )R u u v + D 2
2
2
2
(d cos d )R u u v +
62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2分钟）
A 22d d u v +
B 22d d u v -
C 222d d u R v +
D 222
d d u R v -
63．在第一基本形式为222
(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧
长；中；2分钟）
A 21cosh cosh v v -
B 21sinh sinh v v -
C 12cosh cosh v v -
D 12sinh sinh v v -
64．设M 为3R 中的2维2
C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．
A 0E =
B 0F =
C 0G =
D 0M = 65．以下正确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
A d (d )=n r
B d (d )u =
n r
C d (d )u v =
n r D d (d )=-
n r
66．以下正确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,
(δ))(
(d ),δ)=I r r I r r D (d ,
(δ))(
(d ),δ)=I r r II r r
67．以下正确的是（A ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r C (d ,
(δ))(
(d ),δ)=-I r r I r r D (d ,
(δ))(
(d ),δ)=II r r II r r
68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 B 69．
,___________ij
ji i j
g
g =∑．
（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -1 B 70．
______j kj
l j
g
δ=∑．
（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g A 71．________k
ij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟）
A 1()2jl ij
kl il j i
l i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B 1()2jl ij
kl il j i l i
g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑
C
1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D 1()2jl ij
kl il j i l i
g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．
A 0
B 1
C 2
D 3
B 73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（*维尔定理、测地曲率；中；4分钟）
A
B
C
D A 74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线
B 75．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）
A 等于π
B 小于π
C 大于π
D 不能确定
三、多选题
第一章
76.若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ）．（导数；易；4分钟）
Ａ 11
11()((),(),())t x t y t z t ''''=r Ｂ 11
11111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 12312
3((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 12312
3123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r
77．m,n 为常向量，()t r 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）．（积分的性质；中；4分钟）
Ａ
()d ()d b
b
a
a
t t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d b
b
a
a
t t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m r
Ｃ
(,,())d ()()d b
b
a
a
t t t t =⨯⎰⎰m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d b
b
a
a
t t t t =⋅⎰⎰m n r m n r
Ｅ
(,,())d ()()d b
b
a
a
t t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r
第二章
78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。

（曲线的概念；易；4分钟） Ａ 3
()(,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x Ｂ 2
3
()(,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x
Ｃ 2
3()(,)x x x =r ，),0(+∞∈x Ｄ ()(cos ,)x x x =r ，),(+∞-∞∈x Ｅ ()(,)x x x =r ，)2,1(-∈x 79．下列曲线中是正则曲线的有（ABCDE ）。

（曲线的概念；易；4分钟） Ａ (cos ,sin ,)t t t =r ， ),(+∞-∞∈t Ｂ (sin 3,3,0)t t =r ， ),(+∞-∞∈t Ｃ 2
(cos ,cos ,sin )t t t =r ， ),(+∞-∞∈t Ｄ (cos ,1cos sin ,sin )t t t t =---r ， ),(+∞-∞∈t Ｅ 2
2(2sin ,2sin tan ,)t t t t =r ， ),(+∞-∞∈t 80．下列式子正确的是（ABCE ）．（伏雷内公式；中；4分钟） Ａ =⨯γαβ Ｂ ⊥γα Ｃ k τ=-+βαγ Ｄ ⊥γβ Ｅ γ∥β． 第三章
81．曲面3
3z x y =+在点(1,2,9)M 的（AD ）．（切平面、法线；中；4分钟）
A 切平面方程为312180x y z +--=
B 切平面方程为31480x y z +-+=
C 法线方程为
139
3121x y z ---==
- D 法线方程为129
3121x y z ---==- E 法线方程为129
4121
x y z ---==- 82．正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 的（AC ）．（切平面、法线；中；4分钟）
A 切平面方程为sin cos 0xa v ya v zu auv -+-=
B 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv -+-=
C 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv ---=
D 法线方程为
cos sin sin cos x u v y u v z av
a v a v u ---==
- E 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z av
a u a u v
---==
- 83．下列二次形式中，（ ABD ）不能作为曲面的第一基本形式．（第一基本形式；易；4分钟）
A 2
2
(d ,d )d 4d d d u v u u v v =++I B 2
2
(d ,d )d 4d d 4d u v u u v v =++I C 2
2
(d ,d )d 4d d 6d u v u u v v =-+I D 2
2
(d ,d )d 4d d 2d u v u u v v =+-I E 2
2
(d ,d )d 4d d 5d u v u u v v =++I
84．一般螺面(,)(cos ,sin ,())u v u v u v f u av =+r 的第一类基本量是（ BCD ）．（第一基本量；易；4分钟）
A 2
1(())E f u =+ B 2
1(())E f u '=+ C ()F af u '= D 2
2
G a u =+
E 22
G a u =-
85．下列曲面中，（ BCD ）是旋转常高斯曲率曲面．（常高斯曲率曲面；易；4分钟）
A 正螺面
B 平面
C 球面
D 圆柱面
E 悬链面 第四章
ABC 86．对于曲面上的正交坐标网，测地曲率_____g κ=（设曲线的切方向与u r 的夹角为θ）．
A
d ds θ
θθ B
d ds θθθ+ C
cos sin u v g g d ds θ
κθκθ++ D sin cos u v g g d ds θ
κθκθ++ E cos sin u v g g d ds
θ
κθκθ+- 87．曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD （测地线的概念；中；4分钟）
A 满足方程22,d d d 0d d d k i j
k ij i j
u u u s s s +Γ=∑的曲线
B 满足0g κ=的曲线
C 除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线
D 满足0κ=的曲线
E 满足0n κ=的曲线
四、叙述题
第三章
88．曲面。

[解]设G 是初等区域，S ⊂3R ，如果存在一个连续一一映射3:G →r R 使得()G S =r ，则称S 是一*曲面，而()x =r r 叫S 的参数表示．
89．坐标曲线。

【解】曲面:(,),(,)S u v u v G =∈r r ，0(,)u v r 的像叫u -曲线，0(,)u v r 的像叫v -曲线，u -曲线和v -曲线都叫坐标曲线．
90．第一基本形式。

【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v E u F u v G v =++I （其中u u E =⋅r r ，u v F =⋅r r ，v v G =⋅r r ）为
曲面的第一基本形式．而E 、F 、G 叫曲面的第一类基本量． 91．内蕴量。

【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量．
92．第二基本形式。

【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v L u M u v N v =++II （其中uu L =⋅r n ，uv M =⋅r n ，vv N =⋅r n ）
为曲面的第二基本形式．而L ，M ，N 为曲面的第二类基本量． 93．【解】若在P 点有20LN M ->，则称P 点为曲面的椭圆点．
94．法曲率。

【解】给定曲面S 上一点P 处的一个切向量(d)d :d u v =，则P 点沿方向()d 的法曲率定义为
(d)(d ,d )/(d ,d )n κ=II r r I r r ．
95．主曲率。

【解】使法曲率(d)n κ达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率． 96．高斯曲率。

【解】曲面的两个主曲率之积12K κκ=⋅叫曲面的高斯曲率． 97．极小曲面。

【解】平均曲率0H =的曲面叫极小曲面．
五、计算题
第二章
98．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．（弧长；中；5分钟）
【解】旋轮线()((sin ),(1cos ))t a t t a t =--r 的切向量为()(cos ,sin )t a a t a t '=-r ，则它的π20≤≤t 一段的弧长为：
22
00()d 8s t t t a ππ
'===⎰⎰r ．
99．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．（基本向量；中；10分钟
【解】由题意知()(sin cos ,cos sin ,)t t
t t t t t t t e te '=+-+r ， ()(2cos sin ,2sin cos ,2)t t t t t t t t t e te ''=---+r ，
在原点时有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)'''==r r 。

又
(,)(,), '''''''''-=
='''''⋅⨯r r r r r r r αβr r r r ，'''⨯='''
⨯r r γr r ， 所以有
===αβγ。

100．圆柱螺线为()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 。

（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）
①求基本向量α，β，γ；
②求曲率κ和挠率τ；
【解】①由题意有
()(sin ,cos ,)t a t a t b '=-r ，()(cos ,sin ,0)t a t a t ''=--γ， 又由公式()(),,''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r αβγr r r r r r
有 ②由一般参数的曲率公式3()t κ'''⨯=
'r r r 及挠率公式2(,,)()t τ''''''='''
⨯r r r r r 有22a a b κ=+，22b a b +=τ。

第三章 101．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的切平面和法线方程．（切平面、法线；中；5分钟）
【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，切平面方程为 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bv b v b v u
---==-． 102．求球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )a a a ϕθϕθϕθϕ=r 上任一点处的切平面与法线方程．
【解】
(sin cos ,sin sin ,cos )a a a ϕϕθϕθϕ=--r ，
(cos sin ,cos cos ,0)a a θϕθϕθ=-r ，
∴球面上任意点的切平面方程为
即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，
法线方程为 即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ
---==． 103．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）
【解】参数表示为22
(,)(,,())x y x y a x y =+r ， (1,0,2)x ax =r ，(0,1,2)y ay =r ，
2214x x E a x =⋅=+r r ，24x y F a xy =⋅=r r ，
2214y y G a y =⋅=+r r ，
2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．
104．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）
【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，
1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G u b =⋅=+r r ，
2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．
105．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）
【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，
(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，
cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v v b v b v u u v u v b
⨯==--i
j k r r ，
||u v u v ⨯==⨯r r n r r ， 1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G u b =⋅=+r r ，
0uu L =⋅=r n
，uv M =⋅=r n 0vv N =⋅=r n ． 106．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟）
【解】设抛物面的参数表示为22
(,)(,,)x y x y x y =+r ，则 (1,0,2)x x =r ，(0,1,2)y y =r ，
(0,0,2)xx =r ，(0,0,0)xy yx ==r r ，(002)yy =r ，，，
102(2,2,1)012x y x x y y
⨯==--i j k
r r ，
||x y
x y ⨯==⨯r r n r r ，
214x x E x =⋅=+r r ，4x y F xy =⋅=r r ，214y y G y =⋅=+r r ，
xx L =⋅=r n 0xy M =⋅=r n ，
yy N =⋅=r n ，
2222222222404441(14)(14)(4)(441)
LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 2232
222
124422(441)GL FM EN x y H EG F x y -+++=⋅=-++． 107．计算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟）
【解】直接计算知
1E =，0F =，22G u a =+，0L =
，M =
，0N =，
22
2222
()LN M a K EG F u a -∴==--+． 第四章 108．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．（测地曲率、*维尔定理；中；15分）
【解】因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v-曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s
θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得
220g u u a
κ==+． 六、证明题
第二章
109．证明曲线(cos ,sin ,0)t t
e t e t =r 的切向量与曲线的位置向量成定角．（切向量、夹角；较易；5分钟） 【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为(cos ,sin ,0)t t
e t e t =r ，该点切线的切向量为：((cos sin ),(sin cos ),0)t t e t t e t t '=-+r ，则有：
2cos
2t θ'⋅==='r r r r ， 故夹角为
4
π。

由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角． 110．证明：若'r 和''r 对一切t 线性相关，则曲线是直线．（曲率；中；10分钟） 【证明】若'r 和''r 对一切线性相关，则存在恒不同时为0的(),()f t g t 使
()()()()f t t g t t '''+=r r 0。

则()() t t t '''⨯=∀r r 0。

又3()t κ'''
⨯='r r r ，故()0k t =t ∀。

于是该曲线是直线．
111．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．（主法线、夹角；中；10分钟）
【证明】由题意有
()(sin ,cos ,),()(cos ,sin ,0)t a t a t b t a t a t '''=-=--r r 。

由(,)(,)''''''''-=''''
⋅⨯r r r r r r βr r r 知(cos ,sin ,0)t t =--β。

另一方面z 轴的方向向量为(0,0,1)=a ，而0⋅=a β，故⊥a β，即主法线与z 轴垂直．
112．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2
===的所有法平面皆通过坐标原点．（法平面；较易；5分钟） 【证明】由题意可得()(sin 2,cos 2,sin )t a t a t a t '=-r ，则任意点的法平面为
0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有
左边
)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．
113．证明曲线t z t
y t t x +=-=-+=
11,11,112为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。

（挠率；中；10分钟） 【证明】设01111112=+++-+-+D t C t B t t A ，整理比较两边同次项可得 0,02,0=+++=-=-D C B A C A D A ，
则有D C D B D A 2,4,=-==，即曲线为直线，且有0124=++-z y x ．
第三章
114．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．（坐标曲线、夹角；5分钟）
【证明】设正螺面的参数表示是(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r ，则
(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ，
(cos ,sin ,0)(sin ,cos ,)0u v v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r ，
故正螺面上的坐标曲线互相垂直．
115．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）
【证明】参数表示为(,)(,,)x y x y xy =r ，则
(1,0,)x y =r ，(0,1,)y x =r ，(0,0,0)xx =r ，(0,0,1)xy =r ，(0,0,0)yy =r ，
(,,1)x y y x ⨯=--r r
，||x y
x y ⨯==
⨯r r n r r 0xx L =⋅=r n
，xy M =⋅=r n 0yy N =⋅=r n ，
222221100011
LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++， 故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．
116．如果曲面上*点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )
u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点；难；15分钟）
【证明】设球面的参数表示为
(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R v u R v u R v =r ，则
(cos sin ,cos cos ,0)u R v u R v u =-r ，
(sin cos ,sin sin ,cos )v R v u R v u R v =--r ，
(cos cos ,cos sin ,0)uu R v u R v u =--r ，
(sin sin ,sin cos ,0)uv vu R v u R v u ==-r r ，
(cos cos ,cos sin ,sin )vv R v u R v u R v =---r ，
22cos u u E R v =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，2v v G R =⋅=r r ，
2cos L R v ==-
，0M ==，
N R ==-，
1(,,)(,,)L M N E F G R
∴=-，故球面是全脐的． 117．证明平面是全脐的．（脐点；易；5分钟）
【证明】设平面的参数表示为(,)(,,0)x y x y =r ，则
(1,0,0)x =r ，(0,1,0)y =r ，
(0,0,0)xx =r ，(0,0,0)xy =r ，(0,0,0)yy =r ，
1x x E =⋅=r r ，0x y F =⋅=r r ，1y y G =⋅=r r ，
0xx L =⋅=r n ，0xy M =⋅=r n ，0yy N =⋅=r n
(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．
118．设有曲面(,)z f x y =，试证曲面的第二基本形式与函数(,)f x y 的二阶微分成比例．（第二基本形式；较难；10分钟）
【证明】设曲面(,)z f x y =的参数表示为(,)(,,(,))x y x y f x y =r ，则
(1,0,)x x f '=r ，(0,1,)y y f '=r ，(0,0,)xx xx
f ''=r ，(0,0,)xy xy f ''=r ，(0,0,)yy yy f ''=r ， 10(,,1)01x y x x y y f f f f '''⨯==--'
i j k r r
，(,,1)||x y x y f f ''⨯--==⨯r r n r r ，
xx L ''=⋅=r n
，xy f M ''=⋅=r n ，
yy f N ''=⋅=r n
22(d ,d )d 2d d d )xx
xy yy f x f x y f y ''''''∴=++II r r ．
119．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）
【证明】记曲面的参数表示为1/3(,)(,,()
)x y x y x y =+r ，则
2/313(1,0,())x x y -=+r ，2/313
(0,1,())y x y -=+r ， 5/323(0,0,())xx x y -=-+r ， 5/329(0,0,())xy x y -=-+r ，5/329(0,0,())yy x y -=-+r ，
2/32/31133((),(),1)x y x y x y --⨯=-+-+r r ，||x y x y ⨯=⨯r r n r r ，
5/329(0,0,())xx L x y -=⋅=-+⋅r n n ，
5/329(0,0,())xy M x y -=⋅=-+⋅r n n ，
5/329(0,0,())yy N x y -=⋅=-+⋅r n n 20LN M ⇒-=，
∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．
120．求证正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v av =r 是极小曲面．（平均曲率；中；15分钟）
【证明】(cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v a =-r ，
(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，
cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v v v a v a v u u v u v a
⨯==--i
j k r r ，
||u v u v ⨯==⨯r r n r r ， 1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G a u =⋅=+r r ，
0uu L =⋅=r n
，uv M =⋅=r n 0vv N =⋅=r n ，
21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．
121．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类、平均曲率；中；5分钟） 【证明】12
02H κκ+==，12κκ∴=-，21220K κκκ∴=⋅=-≤
当0K =时，120κκ==，∴极小曲面的点都是平点；
当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．
第四章
122．证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率；难；10分钟）
【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形．根据已知条件，曲边四边形的外角和为2,π由高斯-波涅公式有
d 22G
K σππ+=⎰⎰，
d 0G
K σ=⎰⎰．
若在曲面上的*点0P 处，0K ≠，不妨设0()0K P >，则在0P 点的邻近0K >，从而对于围绕0P 点的充分小的曲边四边形有
d 0G
K σ>⎰⎰，
得出矛盾，所以0K ≡，即曲面为可展曲面．
123．求证半径为R 的球面上测地三角之和为()2
1,A R π∆+
其中()A ∆为测地三角形的面积．（高斯-波涅定理；难； 【证明】由高斯-波涅公式有 d ()G
K S σπ=∆-⎰⎰．
对于半径为R 的球面有21K R
=，所以 2
1()()S A R π∆=+∆， 其中()A ∆为测地三角形的面积．
124．若曲面S 的高斯曲率处处小于零，则曲面S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线．
【证明】设若存在所述闭测地线()C ，它所围成的曲面部分为G ，则由高斯-波涅公式
1d d ()2k
g i
i G G K s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰． 因为0K <，则d 0G
K σ≤⎰⎰，又后两项均为0，得出矛盾．所以不存在所述测地线．。