非线性电路简介

∵ I0 = g(U0)
泰勒（Taylor）级数展开，取线性项。
得
Δi(t )
dg du
U0 Δu(t ) Gd
U0 Δu(t )
几何意义：用过P点的切线代替曲线。
将 u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t)
代入方程 US uS (t ) RSi u
I3

5U
3 3

5(U n1
Un2 )3
U n1
I4

10U
1/ 4
3

10(U n 2
Un3 )1
3
I5

15U
1/ 5
5

15U
15 n2
G1 +
则节点方程为
US
-
I2 I3
+ U3
I1
G2
Un2 I4
+
+
U5
- I5
U4 -
Un3 IS
G1(Un1 US ) G2 (Un1 Un3 ) 5(Un1 Un2 )3 0 5(Un1 Un2 )3 10(Un2 Un3 )1 3 15Un125 0 10(Un2 Un3 )1 3 G2 (Un1 Un3 ) IS 0
RS i
i
US
+ R u_
US/RS I0
i=g(u) P
用图解法求 u(t) 和 i(t)。
O U0 US u
i=g(u)
I0=g(U0)
I0，U0 同时满足 US= RSi+ u
即
US= RS I0 + U0
P点称为静态工作点，表示电路没有小信号时的工作情况。
第二步： US 0 ， uS(t) 0
u3=u
也可以先将线性部分做戴维南等效
R1
i3
US
R2
ห้องสมุดไป่ตู้
R3
+ u_ 3
U0
u3 =20 i31/3
R
i3
R3
+ u_ 3
其中 由此得
U0= US R2 /(R1+R2) , R=R1R2 /(R1+R2)
U0 =R i3 +20 i31/3
i3
u3=u
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19.4 小信号分析（small-signal analysis）方法
R3d

du3 di3
i3 1A 2 3i32 i3 1A 5
第三步：画出小信号工作等效电路，求 u ， i 。
i1 2
+
Emsinw t_
i2
i3
7
+ _u2
5
+ _u3
i1=Emsinw t /(2+5//7)= 0.2033 Emsinw t A i2= i1 5/12 =0.0847 Emsinw t A i3= i1 7/12 =0.1186 Emsinw t A
例3 已知 u3 =20 i31/3, 求节点电压 u 。
i1
R1
u
+
u1
+
i2
i3 +
U S il1
u2 R2 il2
u3
-
-
非线性电阻为流控型电阻， 则列 KVL方程。
R1il1 R2 (il1 il 2 ) US R2 (il1 il 2 ) 20il123 0
i3=il2
u+ 1
+
u2
US-
-
b
i
US R1
u2=f(i)
i0
Q(u2 , i0 )
0
u2 US
u
u2 US R1i
其特性为一直线。 两曲线交点 Q即为
所求解答（u2，i0），u1 则可由下式求得：
u1 R1i0
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19.3 非线性电阻电路的方程
元件性能 非线性 建电路方程
电路的连接 KCL，KVL
非线性电阻电路可以有多个解或没有解，这意味着给 定的电路模型不足以确定其唯一的工作点或模型中存在有 互相矛盾的假设。
严格渐增电阻特性的定义
i i2
(u2- u1) ( i2-i1 ) >C> 0
i1
u = f (i)
0 u1 u2 u
du df (i) 0 di di
伏安特性 严格渐增
非线性电阻电路有唯一解的一个定理
第19章 非线性电路简介
本章重点 19.1 非线性电阻的伏安特性 19.2 非线性电阻的串联、并联电路 19.3 非线性电阻电路的方程 19.4 小信号分析方法 19.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性 19.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法
—— 牛顿‒拉夫逊法 19.7 用友网络模型求解非线性电阻电路
第三步：电路中总的电压和电流是两种情况下的代数和。
u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t)
讨论：分析时分两步
叠加
① uS(t)=0 ，US 0 ② US 0 ， uS(t) 0
结论：非线性电路叠加原理不适用。
例 已知 e(t)=7+Emsinw t V，w=100rad/s， Em<<7V，
∵ | uS(t) | <<US ∴ u(t) 和 i(t)必定在工作点附近。
可以写成
u(t) = U0 + u(t) （u(t) 和i(t)为信号电压引起的 i(t) = I0 + i(t) 偏差 ， 相对于U0和I0是很小的量）
由 i=g(u)
dg I0 Δi(t ) g[U0 Δu(t )] g(U0 ) du U0 Δu(t )
得 US+ uS(t )= RS [I0 + i(t) ]+ U0 + u(t)
US= RSI0 + U0 直流工作状态
1 uS (t) RSΔi(t) Δu(t) RSΔi(t) Gd Δi(t)
RSΔi(t) RdΔi(t)
上式表示工作点处由小信号产生的电压和电流的关系。
所求的电流 ，电压:
i1=2+ 0.2033 Emsinw t A i2=1+ 0.0847 Emsinw t A i3=1+ 0.1186 Emsinw t A u2=3+R2d i2 =3+ 0.5932 Emsinw t A
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19.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性
线性电路一般有唯一解。
RS
+ uS(t)
-
Us
i
已知图中Us为直流电源，us(t) 为 + 交流小信号电源，Rs为线性电阻，任
u 何时刻US >> | uS(t) |。非线性电 阻的
- 伏安特性为 i = g(u)。求 u(t) 和 i(t)。
分析： 由KVL 得方程
US uS (t ) RSi u
第一步：不考虑 uS(t) ，即 uS(t)=0，US作用。
2 i10+u20=7 u20= Uu30
2( i20+ i30 )+i20+2 i203=7 i20+2 i203= 2i30+ i303
解得
i20= i30=1A i10=2A u20= u30= 3V
第二步：求直流工作点下两个非线性电阻的动态电阻。
R2d

du2 di2
i2 1A 1 6i22 i2 1A 7
非线性代数方程
例1 已知i1 = u1 , i2 =u25, i3 =u33 ，求 u 。
u
非线性电阻是压控电阻，
i1
i2
i3
列KCL
R1
+ _u1
R2
+ _u2
R3
+ _u3
i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0
+ 2V_
+
+
1V_
4V_
u-2+(u-1)5+(u-4) 3=0
u
例2 G1和G2为线性电导，非线性电阻为压控电阻。列 节点方程。
一、线性电阻元件（linear resistor）
i
i+
Ru
-
i
P

uu
R u tg const
i
二、非线性电阻元件（nonlinear resistor）
电路符号
伏安特性（Volt-ampere characteristic）
i
u=f(i)
+
u-
i=g(u)
例1 隧道二极管 i
i+ u_
非线性电阻电路可以有多个解或没有解。
例1
iR
+ U-S
解 R i + ud = US i = f ( ud )
i
US A
+R -ud
B
i = f ( ud )
C
u
0
US
有3组解,每一组表示电路 的一个工作点
例2 i
IS
i
IS1 + -uD
P u
-I0
当 IS > - I0 时 有唯一解
IS2
当 IS < -I0 时 无解
R1=2。 r2 : u2=i2+2 i23 r3 : u3=2i3+ i33
求电压u2和电流i1 ， i2 ， i3 。
i1 R1
i2
i3
+ e(t_)
r2
+ _u2
r3
+ _u3
第一步: 直流电压单独作用，求解静态工作电压，电流。
i10 R1
+ 7V_
i+20 R2 u_20
i+30 R3 u_30
例3 整流二极管
i+ u_
i -IS
伏安特性
i IS (ebu 1) 式中
b>0 b：与电荷、温度有关 u
IS >0 IS：反向饱和电流
三、非线性电阻的静态电阻 RS 和动态电阻 Rd
u

P
u
0i
i
静态电阻（static resistance）
RS

u i
tg
，GS
动态电阻（dynamic resistance）
Rd

du di
tg
，Gd
说明 （1）静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点位置
不同时，RS 与 Rd 均变化。
（2） RS反映了某一点时 u 与 i 的关系，而 Rd 反映了在 某一点 u 的变化与 i 的变化的关系，即 u 对i 的变化率。
（3）对“S”型、“N”型非线性电阻，下倾段 Rd 为负， 因 此，动态电阻具有“负电阻”性质。
0
u
给定一个电压，有一个对应的电流；而给定一个电流， 最多可有3个对应的电压值。即 i = f (u)。称为“压控型” 或 “ N型”。
例2 充气二极管
i
i
+
u_
0
u
伏安特性
给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压，最多 可有3个对应的电流值。即 u = f (i)。称为“流控型”或 “ S型”。
19.8 非线性动态电路元件 19.9 二阶非线性动态电路的状态方程 19.10 非线性动态电路方程的数值求解方法
本章重点
非线性电阻的伏安特性 非线性电阻电路的方程 小信号分析方法
非线性动态元件的伏安特性 非线性动态电路的方程 非线性动态电路的数值求解
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19.1 非线性电阻的伏安特性
I2
G2
U n1
I3
+
Un2 I4
U3
+
+ U4 -
Un3
G1 I1
+
US
U5
- I5
IS
-
I3

5U
3 3
I4

10U
1 4
3
I5

15U
1 5
5
解
I1 I2 I3 0
I3 I4 I5 0
I4 I2 IS 0
I1 G1(Un1 US )
I2 G2 (Un1 Un3 )
i
i
0
u
0
u
含有非线性电阻的电路都是非线性电路。 注意：
KCL和KVL对非线性电路都适用。 叠加定理对非线性电路是不成立的。
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19.2 非线性电阻的串联、并联电路
一、非线性电阻的串联
i i1
+ + u1(i) -
u
i2
-
+ u2 (i) -
串联电路电流相等，总 电压等于各分电压之和。
i i1 i2 u u1 u2
（1）电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的，且 每个电阻的电压 u 时，电流分别趋于 。
（2）电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅由独 立电流源构成的割集。
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19.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法—— 牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Algorithm）
i
u2 (i) u(i)
在每一个i 下，图 解
法求 u，得一个交点，将
u1 (i )
一系列交点连成曲线即得
i'
串联等效电阻的伏安特性
0
u2 u1
u u1 u2 u （仍为非线性）。
二、非线性电阻的并联
i
+ i1
u
-
i
+ i2
u1 -
并联电路电压相等，总 + 电流等于各分电流之和。
u1 uS→P→I0→ u2
i
u1= iR1
i
+
+ R1
+ u_ 1
uS _
u _ R2
+ u_ 2
u2= f2(i)
u= f (i)
I0
P
工作点（operating point）
0 u2 u1 uS
u
也可先用戴维南等效电路化简，再用图解法求解。
a
线性 含源 电阻 网络
i+ u2
-
b
ai
R1 +
-
u2 -
i i1 i2
u u1 u2
i(u)
i i2
i1
i1
o u
i1 (u) i2 (u)
u
同一电压下将电 流 相加可得并联等 效电阻的伏安特性 。
三、含有一个非线性电阻元件电路的求解
用图解法求解非线性电路（nonlinear circuit）
u1=iR1，u2 = f2(i) → u= f(i)
据式 uS (t ) RSΔi(t ) RdΔi(t ) ，画小信号工作等效电路。
+ uS(t)_
RS i(t)
+ u (t)
_
Rd 1 U 0 Gd U 0
得
u(t)=uS(t) •Rd /(RS+Rd) i(t)= uS(t)/(RS+Rd)